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2019-2020年高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第7講 函數(shù)的圖象 最新考綱　1.理解點的坐標與函數(shù)圖象的關(guān)系；2.會利用平移、對稱、伸縮變換，由一個函數(shù)圖象得到另一個函數(shù)的圖象；3.會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個數(shù)與不等式的解的問題． 知 識 梳 理 1．函數(shù)圖象的作法 (1)描點法作圖：通過列表、描點、連線三個步驟，畫出函數(shù)圖象．用描點法在選點時往往選取特殊點，有時也可利用函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性)畫出圖象． (2)圖象變換法作圖：一個函數(shù)的圖象經(jīng)過適當?shù)淖儞Q，得到另一個與之有關(guān)的函數(shù)圖象，在高考中要求學生掌握三種變換(平移變換、伸縮變換、對稱變換)． 2．函數(shù)圖象間的變換 (1)平移變換 對于平移，往往容易出錯，在實際判斷中可熟記口訣：左加右減，上加下減． (2)對稱變換 (3)伸縮變換 y＝f(x)y＝f(ax)． y＝f(x)y＝Af(x)． 診 斷 自 測 1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“”)　精彩PPT展示 (1)當x∈(0，＋∞)時，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的 圖象相同．() (2)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于原點對稱．() (3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．(√) (4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．() (5)將函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位得到函數(shù)y＝f(－x－1)的圖象．() 2．(xx浙江卷)在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解析　∵a＞0，且a≠1，∴f(x)＝xa在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴排除A；當0＜a＜1或a＞1時，B，C中f(x)與g(x)的圖象矛盾，故選D. 答案　D 3．(xx山東卷)已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a＞0，a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是(　　) A．a(chǎn)＞1，c＞1 B．a(chǎn)＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1 解析　由題圖可知，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以0＜a＜1.又當x＝0時，y＞0，即logac＞0，所以0＜c＜1. 答案　D 4．已知函數(shù)f(x)＝的圖象與直線y＝x恰有三個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1] B．[－1,2) C．[－1,2] D．[2，＋∞) 解析　法一　特值法，令m＝2，排除C、D，令m＝0，排除A，故選B. 法二　令x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2， 所以三個解必須為－1，－2和2，所以有－1≤m<2. 故選B. 答案　B 5．(人教A必修1P112A2)點P從點O出發(fā)，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，O，P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點P所走的圖形是(　　) 答案　C 考點一　簡單函數(shù)圖象的作法 【例1】 作出下列函數(shù)的圖象： (1)y＝|lg x|；(2)y＝. 解　(1)y＝|lg x|＝作出圖象如圖1. (2)因y＝1＋，先作出y＝的圖象，將其圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位，即得y＝的圖象，如圖2. 規(guī)律方法　(1)常見的幾種函數(shù)圖象如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x＋(m＞0)的函數(shù)是圖象變換的基礎(chǔ)．(2)常握平移變換、伸縮變換、對稱變換規(guī)律，可以幫助我們簡化作圖過程． 【訓練1】 作出下列函數(shù)的圖象： (1)y＝2x＋2；(2)y＝x2－2|x|－1. 解　(1)將y＝2x的圖象向左平移2個單位．圖象如圖1.(2)y＝圖象如圖2. 考點二　函數(shù)圖象的辨識 【例2】 (1)(xx成都三診)函數(shù)y＝的部分圖象大致為(　　) (2)函數(shù)f(x)＝則y＝f(1－x)的圖象是(　　) 解析　(1)依題意，注意到當x＞0時，22x－1＞0，2x|cos 2x|≥0，此時y≥0；當x＜0時，22x－1＜0，2x|cos2x|≥0，此時y≤0，結(jié)合各選項知，故選A. (2)畫出y＝f(x)的圖象，再作其關(guān)于y軸對稱的圖象，得到y(tǒng)＝f(－x)的圖象，再將所得圖象向右平移1個單位，得到y(tǒng)＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的圖象． 答案　(1)A　(2)C 規(guī)律方法　函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項． 【訓練2】 函數(shù)f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的圖象大致為(　　) 解析　因為f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除B；當x∈(0，π)時，1－cos x＞0，sin x＞0，所以f(x)＞0，排除A；又函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)＝sin2x－cos2x＋cos x，所以f′(0)＝0，排除D，故選C. 答案　C 考點三　函數(shù)圖象的應(yīng)用 【例3】 (1)函數(shù)f(x)＝2ln x的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖象的交點個數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 (2)已知函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析　(1)在同一直角坐標系下畫出函數(shù)f(x)＝2ln x與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的圖象，如圖所示． ∵f(2)＝2ln 2＞g(2)＝1，∴f(x)與g(x)的圖象的交點個數(shù)為2，故選B. (2)根據(jù)絕對值的意義，y＝＝ 在直角坐標系中作出該函數(shù)的圖象，如圖中實線所示．根據(jù)圖象可知，當0＜k＜1或1＜k＜4時有兩個交點． 答案　(1)B　(2)(0,1)∪(1,4) 規(guī)律方法　利用函數(shù)的圖象可解決方程和不等式的求解問題，如判斷方程是否有解，有多少個解．數(shù)形結(jié)合是常用的思想方法． 【訓練3】 (1)已知函數(shù)y＝f(x)的周期為2，當x∈[－1,1]時，f(x)＝x2，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝|lg x|的圖象的交點共有(　　) A．10個 B．9個 C．8個 D．7個 (2)(xx黃岡調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________ . 解析　(1)根據(jù)f(x)的性質(zhì)及f(x)在[－1,1]上的解析式可作圖如下 可驗證當x＝10時，y＝|lg 10|＝1；當x＞10時，|lg x|＞1. 因此結(jié)合圖象及數(shù)據(jù)特點知y＝f(x)與y＝|lg x|的圖象交點共有10個． (2)如圖，要使f(x)≥g(x)恒成立，則－a≤1， ∴a≥－1. 答案　(1)A　(2)[－1，＋∞) 微型專題　函數(shù)圖象的對稱性問題 函數(shù)圖象的對稱性反映了函數(shù)的特性，是研究函數(shù)性質(zhì)的一個重要方面，它包含一個函數(shù)圖象自身的對稱性和兩個函數(shù)圖象之間的對稱性，其中兩個函數(shù)圖象之間對稱性的實質(zhì)是兩個函數(shù)圖象上的對應(yīng)點之間的對稱性，所以問題的關(guān)鍵在于找到對應(yīng)點的坐標之間的對稱性，可取同一個y值，尋找它們橫坐標之間的對稱性或者取同一個x值，尋找它們縱坐標之間的對稱性． 例4 下列說法中，正確命題的個數(shù)為(　　) ①函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(x)的圖象關(guān)于直線y＝0對稱； ②函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(－x)的圖象關(guān)于坐標原點對稱； ③如果函數(shù)y＝f(x)對于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，那么y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱； ④函數(shù)y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱． A．1 B．2 C．3 D．4 點撥　先注意區(qū)別是一個函數(shù)圖象自身的對稱還是兩個函數(shù)圖象之間的對稱，再根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于坐標軸、原點或一條垂直于x軸的直線對稱所滿足的條件逐個分析判斷． 解析　對于①，把函數(shù)y＝f(x)中的y換成－y，x保持不變，得到的函數(shù)的圖象與原函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱；對于②，把函數(shù)y＝f(x)中的x換成－x，y換成－y，得到的函數(shù)的圖象與原函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；對于③，若對于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝＝a對稱；對于④，因為函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對稱，它們的圖象分別向右平移1個單位長度得到函數(shù)y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象；即y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱． 答案　D 點評　本題的難點在于對函數(shù)圖象的各種對稱的正確理解，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識是化解難點的關(guān)鍵．在復習備考中要對函數(shù)圖象的各種對稱進行總結(jié). [思想方法] 1．列表描點法是作函數(shù)圖象的輔助手段，要作函數(shù)圖象首先要明確函數(shù)圖象的位置和形狀：(1)可通過研究函數(shù)的性質(zhì)如定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性等；(2)可通過函數(shù)圖象的變換如平移變換、對稱變換、伸縮變換等；(3)可通過方程的同解變形，如作函數(shù)y＝的圖象． 2．合理處理識圖題與用圖題 (1)識圖 對于給定函數(shù)的圖象，要從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系． (2)用圖 要用函數(shù)的思想指導解題，即方程的問題函數(shù)解(方程的根即相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，或是方程變形后，等式兩端相對應(yīng)的兩函數(shù)圖象交點的橫坐標)，不等式的問題函數(shù)解(不等式的解集即一個函數(shù)圖象在另一個函數(shù)圖象的上方或下方時的相應(yīng)x的范圍)． [易錯防范] 1．用描點法作函數(shù)圖象時，要注意取點合理，并用“平滑”的曲線連接，作完后要向兩端伸展一下，以表示在整個定義域上的圖象． 2．要注意一個函數(shù)的圖象自身對稱和兩個不同的函數(shù)圖象對稱的區(qū)別． 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．(xx保定模擬)函數(shù)y＝21－x的大致圖象為(　　) 解析　y＝21－x＝x－1，因為0＜＜1，所以y＝x－1為減函數(shù)，取x＝0時，則y＝2，故選A. 答案　A 2．函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的圖象大致是(　　) 解析　函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的定義域為(－∞，＋∞)，又因為f(－x)＝f(x)，故f(x)為偶函數(shù)且f(0)＝ln 1＝0，綜上選A. 答案　A 3．為了得到函數(shù)y＝lg的圖象，只需把函數(shù)y＝lg x的圖象上所有的點(　　) A．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 B．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 C．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 D．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 解析　y＝lg＝lg(x＋3)－1，將y＝lg x的圖象向左平移3個單位長度得到y(tǒng)＝lg(x＋3)的圖象，再向下平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝lg(x＋3)－1的圖象． 答案　C 4．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范圍是(　　) A．(－1,0) B．[－1,0) C．(－2,0) D．[－2,0) 解析　在同一坐標系內(nèi)作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的圖象，知滿足條件的x∈(－1,0)，故選A. 答案　A 5．函數(shù)y＝的圖象可能是(　　) 解析　法一　函數(shù)y＝的圖象過點(e,1)，排除C，D；函數(shù)y＝的圖象過點(－e，－1)，排除A. 法二　由已知，設(shè)f(x)＝，則f(－x)＝－f(x)，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除A，C，當x＞0時，f(x)＝ln x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，排除D. 答案　B 二、填空題 6．函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線y＝ex關(guān)于y軸對稱，則f(x)＝________. 解析　與y＝ex圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為y＝e－x，依題意，f(x)圖象向右平移一個單位，得y＝e－x的圖象．∴f(x)的圖象可由y＝e－x的圖象向左平移一個單位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1. 答案　e－x－1 7．若方程|ax|＝x＋a(a>0)有兩個解，則a的取值范圍是________． 解析　畫出y＝|ax|與y＝x＋a的圖象，如圖．只需a>1. 答案　(1，＋∞) 8．(xx長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝且關(guān)于x的方程f(x)－a＝0有兩個實根，則實數(shù)a的范圍是________． 解析　當x≤0時，0＜2x≤1，所以由圖象可知要使方程f(x)－a＝0有兩個實根，即函數(shù)y＝f(x)與y＝a的圖象有兩個交點，所以由圖象可知0＜a≤1. 答案　(0,1] 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝. (1)畫出f(x)的草圖；(2)指出f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解　(1)f(x)＝＝1－，函數(shù)f(x)的圖象是由反比例函數(shù)y＝－的圖象向左平移1個單位后，再向上平移1個單位得到，圖象如圖所示． (2)由圖象可以看出，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(－1，＋∞)． 10．已知函數(shù)f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性； (2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四個不相等的實根}． 解　f(x)＝ 作出函數(shù)圖象如圖． (1)函數(shù)的增區(qū)間為[1,2]，[3，＋∞)；函數(shù)的減區(qū)間為(－∞，1]，[2,3]． (2)在同一坐標系中作出y＝f(x)和y＝m的圖象，使兩函數(shù)圖象有四個不同的交點(如圖)．由圖知0＜m＜1， ∴M＝{m|0＜m＜1}． 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 11．已知函數(shù)f(x)＝則對任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是(　　) A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0 C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0 解析　 函數(shù)f(x)的圖象如圖所示： 且f(－x)＝f(x)，從而函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且在[0，＋∞)上是增函數(shù)． 又0<|x1|<|x2|， ∴f(x2)>f(x1)， 即f(x1)－f(x2)<0. 答案　D 12．函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝2sin πx (－2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析　令1－x＝t，則x＝1－t. 由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4， 所以－3≤t≤3. 又y＝2sin πx＝2sin π(1－t)＝2sin πt. 在同一坐標系下作出y＝和y＝2sin πt的圖象． 由圖可知兩函數(shù)圖象在[－3,3]上共有8個交點，且這8個交點兩兩關(guān)于原點對稱． 因此這8個交點的橫坐標的和為0，即t1＋t2＋…＋t8＝0. 也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0， 因此x1＋x2＋…＋x8＝8. 答案　D 13．已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，當x∈[0,1]時，f(x)＝x，且在[－1,3]內(nèi)，關(guān)于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四個根，則k的取值范圍是________． 解析　由題意作出f(x)在[－1,3]上的示意圖如圖， 記y＝k(x＋1)＋1， ∴函數(shù)y＝k(x＋1)＋1的圖象過定點A(－1,1)． 記B(2,0)，由圖象知，方程有四個根， 即函數(shù)y＝f(x)與y＝kx＋k＋1的圖象有四個交點， 故kAB＜k＜0，kAB＝＝－，∴－＜k＜0. 答案　 14．已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)＝x＋＋2的圖象關(guān)于點A(0,1)對稱． (1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在區(qū)間(0,2]上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)設(shè)f(x)圖象上任一點P(x，y)，則點P關(guān)于(0,1)點的對稱點P′(－x,2－y)在h(x)的圖象上， 即2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)． (2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－. ∵g(x)在(0,2]上為減函數(shù)， ∴1－≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范圍是[3，＋∞).