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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.5向量的內(nèi)積與二面角的計(jì)算教案 北師大選修2-1 在《高等代數(shù)與解析幾何》課程第一章向量代數(shù)的教學(xué)中，講到幾何空間的內(nèi)積時(shí)，有一個(gè)例題（見[1]，p53）要求證明如下的公式： (1) 其中點(diǎn)O是二面角P-MN-Q的棱MN上的點(diǎn)，OA、OB分別在平面P和平面Q內(nèi)。，， 。為二面角P-MN-Q（見圖1）。 圖1 公式（1）可以利用向量的內(nèi)積來加以證明： 以Q為坐標(biāo)平面，直線MN為y軸，如圖1建立直角坐標(biāo)系。 記xOz平面與平面P的交線為射線OD，則，得 ，，。 分別沿射線OA、OB的方向上作單位向量，，則。 由計(jì)算知，的坐標(biāo)分別為 ，， 于是， 。 公式（1）在立體幾何計(jì)算二面角的平面角時(shí)是有用的。我們來介紹如下的兩個(gè)應(yīng)用。 例1．立方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為1，E、F、G、H、I分別為A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中點(diǎn)。 求面EFG和面GHI的夾角的大小（用反三角函數(shù)表示）。 解 由于圖2中所畫的兩平面EFG和GHI只有一個(gè)公共點(diǎn)，沒有交線，所以我們可以將該立方體沿AB方向平移1個(gè)單位。這樣就使平面EFG平移至平面。而就是二面角G-IH-（見圖3）。利用公式（1），只要知道了，和的大小，我們就能求出。 圖2 由已知條件，和均為等邊三角形，所以，而。因此， 圖3 ， 即 。 解得 ， 。 當(dāng)然，在建立了直角坐標(biāo)系之后，通過計(jì)算向量的外積可計(jì)算出兩平面的法向量，利用法向量同樣也可算出夾角來。 例2．計(jì)算正十二面體的兩個(gè)相鄰面的夾角的大小。 解 我們知道正十二面體的每個(gè)面都是大小相同的正五邊形，且在正十二面體的每個(gè)頂點(diǎn)上均有3個(gè)面圍繞。設(shè)P和Q是兩個(gè)相鄰的面，MN是它們的交線（如圖4），則公式（1）中的，，分別為： ， ， ， 因此它們均為正五邊形的內(nèi)角。所以 。 圖4 所以，由公式（1）知 ， 或 。 因此，，或。 如果不使用公式（1），要求出例2中的夾角的大小在計(jì)算上要復(fù)雜很多。 利用例2的結(jié)果，我們可以容易地計(jì)算出單位棱長正十二面體的體積V。 設(shè)單位棱長正十二面體的中心為O，則該十二面體可以切割成十二個(gè)全等的正五棱錐，每個(gè)五棱錐以該多面體的一個(gè)面為底面、以O(shè)為其頂點(diǎn)。設(shè)該正五棱錐為，從而可知：。 再設(shè)的底面積為S、高為h，設(shè)為單位邊長正五邊形（即的底）的中心，A、B為該五邊形的兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)，H為AB的中點(diǎn)，，則 ， ， 。 仍設(shè)為正十二面體兩相鄰面的夾角，則。所以 。 但是， ， 從而 ， 或