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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第二課時 數(shù) 列(二)教案 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo)： 了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同，會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前n項；提高學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識. 教學(xué)重點： 1.數(shù)列的遞推公式. 2.根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前n項. 教學(xué)難點： 理解遞推公式與通項公式的關(guān)系. 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 上節(jié)課我們在學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)了數(shù)列及有關(guān)概念，下面先來回顧一下上節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容. 數(shù)列的定義、項的定義、數(shù)列的表示形式、數(shù)列的通項公式及數(shù)列分類等等. Ⅱ.講授新課 我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)列的知識呢？那是因為在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常會遇到有關(guān)數(shù)列的問題，學(xué)習(xí)它，研究它，主要是想利用它來解決一些實際問題，讓其為我們的生活更好地服務(wù).也就是說，我們所學(xué)知識都來源于實踐，最后還要應(yīng)用于生活.下面，我們繼續(xù)探討有關(guān)數(shù)列的問題. 首先，請同學(xué)們來看一幅鋼管堆放示意圖. 模型一： 自上而下： 第一層鋼管數(shù)為4；即：14＝1＋3, 第二層鋼管數(shù)為5；即：25＝2＋3 第三層鋼管數(shù)為6；即：36＝3＋3, 第四層鋼管數(shù)為7；即：47＝4＋3 第五層鋼管數(shù)為8；即：58＝5＋3, 第六層鋼管數(shù)為9；即：69＝6＋3 第七層鋼管數(shù)為10；即：710＝7＋3 若用an表示自上而下每一層的鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)可構(gòu)成一數(shù)列，即：4，5，6，7，8，，9，10，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*) 同學(xué)們運用每一層的鋼管數(shù)與其層數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，這完全正確，運用這一關(guān)系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù).這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便. 模型二：自上而下 第一層鋼管數(shù)為4； 第二層鋼管數(shù)為5＝4＋1； 第三層鋼管數(shù)為6＝5＋1； 第四層鋼管數(shù)為7＝6＋1； 第五層鋼管數(shù)為8＝7＋1； 第六層鋼管數(shù)為9＝8＋1； 第七層鋼管數(shù)為10＝9＋1. 即：自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1. 若用an表示每一層的鋼管數(shù)，則a1＝4； a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1； a4＝7＝6＋1＝a3＋1；a5＝8＝7＋1＝a4＋1； a6＝9＝8＋1＝a5＋1；a7＝10＝9＋1＝a6＋1； 即：an＝an－1＋1(2≤n≤7，n∈N*) 對于上述所求關(guān)系，若知其第1項，即可求出其他各項.看來，這一關(guān)系也較為重要.這一關(guān)系，咱們把它稱為遞推關(guān)系，表示這一關(guān)系的式子，咱們把之稱為遞推公式. 1.定義 遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前n項)，且任一項an與它的前一項an－1(或前n項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式. 說明：數(shù)列的遞推公式揭示了數(shù)列的任一項an與它的前一項an－1（或前n項）的關(guān)系，也是給出數(shù)列的一種重要方法. 下面，我們結(jié)合例子來體會一下數(shù)列的遞推公式. 2.例題講解 ［例1］已知數(shù)列{an}的第1項是1，以后的各項由公式an＝1＋給出，寫出這個數(shù)列的前5項. 分析：題中已給出{an}的第1項即a1＝1，遞推公式：an＝1＋ 解：據(jù)題意可知：a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝. ［例2］已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝3an－1＋an－2(n≥3)，試寫出數(shù)列的前4項. 解：由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝3a2＋a1＝7，a4＝3a3＋a2＝23 Ⅲ.課堂練習(xí) 寫出下面數(shù)列{an}的前5項. 1.a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2) 解法一：a1＝5；a2＝a1＋3＝8； a3＝a2＋3＝11；a4＝a3＋3＝14； a5＝a4＋3＝17. 評析：由已知中的a1與遞推公式an＝an－1＋3(n≥2)，依次遞推出該數(shù)列的前5項，這是遞推公式的最基本的應(yīng)用. 是否可利用該數(shù)列的遞推公式而求得其通項公式呢？ 請同學(xué)們再仔細(xì)觀察此遞推公式. 解法二：由an＝an－1＋3(n≥2)，得an－an－1＝3 則a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，a5－a4＝3，……，an－1－an－2＝3，an－an－1＝3 將上述n－1個式子左右兩邊分別相加，便可得an－a1＝3(n－1)，即an＝3n＋2(n≥2) 又由a1＝5滿足上式， ∴an＝3n＋2(n≥1)為此數(shù)列的通項公式. 2.a1＝2，an＝2an－1(n≥2) 解法一：由a1＝2與an＝2an－1(n≥2) 得：a1＝2，a2＝2a1＝4，a3＝2a2＝8，a4＝2a3＝16，a5＝2a4＝32. 解法二：由an＝2an－1(n≥2)，得＝2(n≥2)，且a1＝2 則：＝2，＝2，＝2，……＝2， ＝2 若將上述n－1個式子左右兩邊分別相乘，便可得 ＝2n－1 即：an＝2n(n≥2)，又由a1＝2滿足上式 ∴an＝2n(n≥1)為此數(shù)列的通項公式. ∴a2＝22＝4，a3＝23＝8，a4＝24＝16，a5＝25＝32. 3.a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2) 解：由a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2), 得a1＝1，a2＝a1＋＝2, a3＝a2＋＝, a4＝a3＋＝＋＝, a5＝a4＋＝＋＝ Ⅳ.課時小結(jié) 這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的另一種給出方法，即遞推公式及其用法，課后注意理解.另外，還要注意它與通項公式的區(qū)別在于： 1.通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(或n項)之間的關(guān)系. 2.對于通項公式，只要將公式中的n依次取1，2，3…即可得到相應(yīng)的項.而遞推公式則要已知首項(或前n項)，才可依次求出其他的項. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P32習(xí)題 4，5，6 數(shù) 列(二) 1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1＝ (n∈N*), 則a5等于 （ ） A. B. C. D. 2．已知數(shù)列，，，，…，則5是數(shù)列的 （ ） A.第18項 B.第19項 C.第17項 D.第20項 3．在數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，a100等于 （ ） A.13 B.100 C.10 D.14 4．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝5，an+2＝an+1－an(n∈N*)，則a1000等于 （ ） A.5 B.－5 C.1 D.－1 5．設(shè){an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n＋1)an+12－nan2＋an+1an＝0(n∈N*)，則它的通項公式an＝ . 6．根據(jù)下列各數(shù)列的首項和遞推公式，分別寫出它的前五項，并歸納出通項公式： （1）a1＝0，an+1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an+1＝ (n∈N*) 7．若a1＝2，a2＝4，an＝log2(an－1an－2)(n≥3)，寫出{an}的前4項. 8．若a1＝3，an＝an－1＋ (n≥2)，bn＝，寫出bn的前3項. 數(shù) 列(二)答案 1．B 2．B 3．D 4．A 5．解法一：已知等式可化為：(an+1＋an)[（n＋1）an+1－nan]＝0 ∵an>0(n∈N*)，∴(n＋1)an+1－nan＝0 即an+1＝an ① 反復(fù)利用遞推關(guān)系，得 an＝an－1＝an－2＝an－3 ＝…＝…a1＝a1＝ 解法二：前面同解法一. 由①，得a2＝a1＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝，… 歸納，得an＝ (n∈N*). 評述：本題主要考查遞推公式. 6．根據(jù)下列各數(shù)列的首項和遞推公式，分別寫出它的前五項，并歸納出通項公式： （1）a1＝0，an+1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an+1＝ (n∈N*) 解：（1）a1＝0；a2＝a1＋1＝1；a3＝a2＋3＝4；a4＝a3＋5＝9；a5＝a4＋7＝16；a1＝02；a2＝12；a3＝22；a4＝32；a5＝42.可歸納出an＝(n－1)2. (2)a1＝1，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝， a1＝1＝；a2＝；a3＝＝；a4＝；a5＝＝；由此可見：an＝. 評述：適當(dāng)配湊是本題進(jìn)行歸納的前提，從整體上把握一件事情是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要手段，加強類比是探索某些規(guī)律的常用方法之一. 7．若a1＝2，a2＝4，an＝log2(an－1an－2)(n≥3)，寫出{an}的前4項. 解：∵a1＝2，a2＝4，an＝log2(an－1an－2)(n≥3) ∴a3＝log2(a2a1)＝log2(24)＝3，a4＝log2(a3a2)＝log212＝2＋log23. 8．若a1＝3，an＝an－1＋ (n≥2)，bn＝，寫出bn的前3項. 解：∵a1＝3，an＝an－1＋ (n≥2)， ∴a2＝a1＋＝3＋＝. a3＝a2＋＝＋＝＋＝. ∵bn＝, ∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝.