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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《變化率與導(dǎo)數(shù)》教案1新人教A版選修1-1 [教學(xué)目的] 1.了解導(dǎo)數(shù)形成的背景、思想和方法；正確理解導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義； 2.使學(xué)生在了解瞬時速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率，建立導(dǎo)數(shù)的概念；掌握用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)的一般方法 3.在教師指導(dǎo)下，讓學(xué)生積極主動地探索導(dǎo)數(shù)概念的形成過程，鍛煉運用分析、抽象、歸納、總結(jié)形成數(shù)學(xué)概念的能力,體會數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用。 [教學(xué)重點和難點]導(dǎo)數(shù)的概念是本節(jié)的重點和難點 [教學(xué)方法]講授啟發(fā)，自學(xué)演練。 [授課類型]：新授課 [課時安排]：1課時 [教 具]：多媒體、實物投影儀 [教學(xué)過程] 　　一、復(fù)習(xí)提問(導(dǎo)數(shù)定義的引入) 　　1．什么叫瞬時速度？(非勻速直線運動的物體在某一時刻t0的速度) 　　2．怎樣求非勻速直線運動在某一時刻t0的速度？ 在高臺跳水運動中，如果我們知道運動員相對于水面的高度（單位：）與起跳后的時間（單位：）存在關(guān)系，那么我們就會計算任意一段的平均速度，通過平均速度來描述其運動狀態(tài)，但用平均速度不一定能反映運動員在某一時刻的瞬時速度，那么如何求運動員的瞬時速度呢？問題：2秒時的瞬時速度是多少？ （2）新課 我們現(xiàn)在會算任意一段的平均速度，先來觀察一下2秒附近的情況。先計算2秒之前的時間段內(nèi)的平均速度，請同學(xué)們完成表格1左邊部分，（事先準(zhǔn)備好的），再完成表格的右邊部分〉 表格1 表格2 時，在這段時間內(nèi) 時，在這段時間內(nèi) 當(dāng)0.01時，13.051； 當(dāng)0.01時，13.149； 當(dāng)0.001時，13.095 1； 當(dāng)0.001時，13.104 9； 當(dāng)0.000 1時，13.099 51； 當(dāng)0.000 1時，13.100 49； 當(dāng)0.000 01時，13.099 951； 當(dāng)0.000 01時，13.100 049； 當(dāng)0.000 001時，13.099 995 1； 當(dāng)0.000 001時，13.100 004 9； 。。。。。。 。。。。。。 問題：1你能描述一下你算得的這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律嗎？（表格2） 關(guān)于這些數(shù)據(jù)，下面的判斷對嗎？ 2．當(dāng)趨近于0時，即無論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度都趨近于一個確定的值-13.1。 3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一個數(shù)都可以是某一段上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一個數(shù)都可以是某一段上的平均速度； 5． -13.1表示在2秒附近，運動員的速度大約是-13.1。 分析:秒時有一個確定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬時速度，所以比-13.1大的數(shù)作為2秒的瞬時速度不合理，比-13.1小的數(shù)作為2秒的瞬時速度也不合理，因此，運動員在2秒時的瞬時速度是-13.1。 這樣，我們就得到了2秒時的瞬時速度是-13.1，現(xiàn)在我們一起回憶一下是如何得到的： 首先，算出上的平均速度=，接著觀察當(dāng)趨近于0時，上式趨近于一個確定的值-13.1，這個值就是運動員在2秒時的瞬時速度。為了表述方便，我們用 表示“當(dāng)，趨近于0時，平均速度趨近于確定值-13.1”。 思考：當(dāng)趨近于0時，平均速度有什么樣的變化趨勢？ 結(jié)論：當(dāng)趨近于0時，即無論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度都趨近于一個確定的值． 從物理的角度看，時間間隔無限變小時，平均速度就無限趨近于史的瞬時速度，因此，運動員在時的瞬時速度是 為了表述方便，我們用 表示“當(dāng)，趨近于0時，平均速度趨近于定值” 小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。 3．函數(shù)在處的瞬時變化率如何表示？ 導(dǎo)數(shù)的定義（板書） 函數(shù)在處的瞬時變化率是， 我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或， 即=。例如：2秒時的瞬時速度可以表示為或。 附注：①導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率； ②定義的變化形式：=； =；=； ，當(dāng)時，，所以 ③求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)步驟：“一差；二比；三極限”。 三．典例分析 例1．（1）求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù). 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2, 再求再求 解：法一（略）； 法二： （2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)． 解： 例2．（課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第時，原油的溫度（單位：）為，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義． 解：在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率就是和 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義， 所以；同理可得: 在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率分別為和5，說明在附近，原油溫度大約以的速率下降，在第附近，原油溫度大約以的速率上升． 注：一般地，反映了原油溫度在時刻附近的變化情況． 17世紀(jì)，力學(xué)、航海、天文等方面取得了突飛猛進的發(fā)展，這些發(fā)展對數(shù)學(xué)提出了新的要求，它們突出地表現(xiàn)為四類問題，其中的兩類問題直接導(dǎo)致了導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生：一是根據(jù)物體的路程關(guān)于時間的函數(shù)求速度和加速度；二是求已知曲線的切線。 由導(dǎo)數(shù)的定義，我們知道，高度關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)是運動員的瞬時速度；氣球半徑關(guān)于體積的導(dǎo)數(shù)就是氣球的瞬時膨脹率。 實際上，導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物的瞬時變化率，如效率、點密度、國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP 的增長率等等。下面我們來看一個導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 四．課堂練習(xí) 1．質(zhì)點運動規(guī)律為，求質(zhì)點在的瞬時速度為． 2．求曲線y=f(x)=x3在時的導(dǎo)數(shù)． 3．例2中，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義． 五、小結(jié) 1．導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生是由于17世紀(jì)力學(xué)、天文學(xué)等的飛速發(fā)展，對數(shù)學(xué)提出的要求，主要是兩類問題：一是根據(jù)物體的路程關(guān)于時間的函數(shù)求速度和加速度；二是求已知曲線的切線； 2．導(dǎo)數(shù)就是瞬時變化率； 3．導(dǎo)數(shù)的計算公式：=。 4. 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)步驟：“一差；二比；三極限” 六、布置作業(yè) 教科書習(xí)題1.1A組1，2，3，4，5。