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2019-2020年高中數(shù)學(xué)特征值與特征向量教學(xué)案蘇教版選修4-2 1．設(shè)矩陣A＝，對(duì)于實(shí)數(shù)λ，若存在一個(gè)非零向量α使Aα＝λα，則λ稱為A的一個(gè)特征值，而α稱為A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量． 2．設(shè)α是矩陣A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量，則有： (1)kα(k≠0)也是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量． (2)Anα＝λnα(n∈N*)． 3．多項(xiàng)式f(λ)＝稱為矩陣A＝的特征多項(xiàng)式，方程f(λ)＝0稱為矩陣A的特征方程． 　　4.給定矩陣A＝，求A的特征向量和特征值一般步驟為： (1)首先求出特征方程f(λ)＝0的兩個(gè)根λ1、λ2即為矩陣A的特征值． (2)分別將λ1、λ2代入齊次線性方程組 分別求出與之相應(yīng)的兩組非零解α1、α2即為相應(yīng)的特征向量． 特征值、特征向量的概念 [例1]　　給定矩陣M＝，N＝及向量e1＝，e2＝.求證： (1)M和N互為逆矩陣； (2)e1和e2都是M的特征向量． [思路點(diǎn)撥]　(1)只需證明MN＝NM＝E即可；(2)只需證明Me1＝λe1，Me2＝λe2即可． [精解詳析]　(1)因?yàn)镸N＝ ＝， NM＝ ＝， 所以M和N互為逆矩陣． (2)向量e1＝ 在M的作用下，其象與其保持共線，即 ＝＝， 向量e2＝在M的作用下，其象與其保持共線，即 ＝， 所以e1和e2都是M的特征向量． 1．設(shè)A是可逆的二階矩陣，求證：若λ是A的特征值，則是A－1的特征值． 證明：∵Aα＝λα，∴A－1(Aα)＝A－1(λα)， ∴α＝A－1(λα)＝λ(A－1α)， ∴A－1α＝α.∴是A－1的特征值． 2．若向量是矩陣的一個(gè)特征向量，求m的值． 解：由題意知是齊次方程組的一組解，即解之得 故m的值為12. 特征值和特征向量的求法 [例2]　求矩陣A＝的特征值與相應(yīng)特征值的一個(gè)特征向量． [思路點(diǎn)撥]　先求特征多項(xiàng)式，令特征多項(xiàng)式為0求出特征值，再求相應(yīng)特征向量． [精解詳析]　矩陣A的特征多項(xiàng)式為 ＝λ2－－＝λ2－1. 令λ2－1＝0，解得矩陣A的特征值為λ1＝1，λ2＝－1. 當(dāng)λ1＝1時(shí)，代入齊次線性方程組得 即3x－y＝0，令x＝1，則y＝. 所以X1＝是矩陣A的屬于特征值λ1＝1的一個(gè)特征向量． 當(dāng)λ2＝－1時(shí)，代入齊次線性方程組得 即x＋y＝0，令x＝3，則y＝－. 所以X2＝是矩陣A的屬于特征值λ2＝－1的一個(gè)特征向量． 已知矩陣A＝，求它的特征值和特征向量可以分成以下兩步： (1)求出矩陣A的特征多項(xiàng)式等于零的全部根，它們就是矩陣A的全部特征值． (2)對(duì)于每個(gè)特征值λ0，解齊次線性方程組，其所有非零解就是屬于λ0的特征向量． 3．已知矩陣A＝，求A的特征值及其對(duì)應(yīng)的所有特征向量． 解：由f(x)＝ ＝(λ－3)(λ－2)－20 ＝λ2－5λ－14＝0 得矩陣A的特征值為λ1＝7，λ2＝－2. 當(dāng)λ1＝7時(shí)，由方程組得α1＝. 故矩陣A屬于特征值λ＝7的所有特征向量為(k≠0)． 當(dāng)x2＝－2時(shí)，由方程組得α2＝. 故矩陣A屬于特征值λ＝－2的所有特征向量為(k≠0)． 4．矩陣A＝的特征值為－1,2，求m，n的值． 解：f(λ)＝＝(λ－3)(λ－n)－2m ＝λ2－(3＋n)λ＋3n－2m， 據(jù)題意可知方程(關(guān)于λ的)λ2－(3＋n)λ＋3n－2m＝0的兩個(gè)根為－1,2； ∴∴ 由特征值和特征向量求矩陣 [例3]　已知二階矩陣A的屬于特征值－1的一個(gè)特征向量為，屬于特征值3的一個(gè)特征向量為，求矩陣A. [思路點(diǎn)撥]　利用矩陣，特征向量及特征值滿足的關(guān)系式構(gòu)建方程組，通過解方程組求得矩陣的所有元素即可． [精解詳析]　設(shè)A＝， 由題意知 ＝， ＝， 即解得∴A＝. 解此類問題可利用待定系數(shù)法，首先設(shè)出待求矩陣的元素，再利用矩陣A、特征向量ξ及特征值λ間滿足Aξ＝λξ構(gòu)建方程組，最后通過解方程組求出矩陣的所有元素． 5．已知矩陣A有特征值λ1＝8及對(duì)應(yīng)的特征向量α1＝，并有特征值λ2＝2及對(duì)應(yīng)的特征向量α2＝，試確定矩陣A. 解：不妨設(shè)矩陣A＝，a，b，c，d均為實(shí)數(shù)．由題意則有 ＝8及 ＝2， 即解得即矩陣A＝. 6．給定的矩陣A＝，B＝. (1)求A的特征值λ1，λ2及對(duì)應(yīng)的特征向量α1，α2； (2)求A4B. 解：(1)設(shè)A的一個(gè)特征值為λ，由題意知 ＝0， 即(λ－2)(λ－3)＝0， ∴λ1＝2，λ2＝3. 當(dāng)λ1＝2時(shí)，由 ＝2，得A屬于特征值2的特征向量α1＝； 當(dāng)λ2＝3時(shí)，由 ＝3，得A屬于特征值3的特征向量α2＝. (2)由于B＝＝＋＝α1＋α2， 故A4B＝A4(α1＋α2) ＝24α1＋34α2 ＝16α1＋81α2 ＝＋ ＝. 1．已知矩陣M＝的一個(gè)特征值為3，求其另一個(gè)特征值． 解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝ ＝(λ－1)(λ－x)－4. 由特征值為3，可解得x＝1. 因?yàn)?λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1. 所以矩陣M的另一個(gè)特征值為－1. 2．設(shè)二階矩陣M＝，其中m，n是實(shí)數(shù)且向量是矩陣M的屬于特征值λ＝1的一個(gè)特征向量，試找出適合條件的一個(gè)矩陣M. 解：由題意知 ＝， 故＝. ∴2m＋n＝1，取m＝0，n＝1， 則M＝為適合條件的一個(gè)矩陣． 3．已知矩陣M＝，向量α＝，求M4α. 解：矩陣M的特征值滿足方程 ＝(λ－8)(λ＋3)－5(－6)＝λ2－5λ＋6＝0， 解得矩陣M的兩個(gè)特征值λ1＝2，λ2＝3. 分別將λ1＝2，λ2＝3代入方程組 ＝λ， 可求得它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別可取為α1＝，α2＝. 顯然α1，α2不共線， 又因?yàn)棣粒剑剑?＝α1＋2α2， 因此，M4α＝M4(α1＋2α2)＝M4α1＋2(M4α2)＝λα1＋2λα2＝24＋234＝. 4．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，矩陣總存在特征向量，求m的取值范圍． 解：由題意知，對(duì)任意實(shí)數(shù)x， 矩陣總存在特征向量， 設(shè)λ為矩陣的一個(gè)特征值， 則f(λ)＝＝(λ－x)(λ－3)－(－2－m)(m－3)． 令f(λ)＝0，由題意知(λ－x)(λ－3)－(－2－m)(m－3)＝0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立， ∴Δ＝(3＋x)2－12x＋4(m＋2)(3－m)≥0恒成立， 即(x－3)2＋4(m＋2)(3－m)≥0恒成立． 由x的任意性可知4(m＋2)(3－m)≥0恒成立， ∴－2≤m≤3. 5．已知二階矩陣M有兩個(gè)特征值：λ1＝8，λ2＝2，其中λ1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1＝，λ2對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e2＝，求M. 解：設(shè)M＝，則 ＝8， 且 ＝2. ∴且 ∴a＝6，b＝2，c＝4，d＝4. ∴M＝. 6．已知矩陣M＝，向量α＝，β＝. (1)求向量2α＋3β在矩陣M表示的變換作用下的象； (2)試問向量＝是矩陣M的特征向量嗎？為什么？ 解：(1)因?yàn)?α＋3β＝2＋3＝， 所以M(2α＋3β)＝ ＝， 所以向量2α＋3β在矩陣 M表示的變換作用下的象為. (2)向量＝不是矩陣M的特征向量．理由如下： M＝ ＝，向量與向量＝不共線，所以向量＝不是矩陣M的特征向量． 7．已知矩陣A對(duì)應(yīng)的變換是先將某平面圖形上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將所得圖形繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90. (1)求矩陣A及A的逆矩陣B； (2)已知矩陣M＝，求M的特征值和特征向量； (3)若α＝在矩陣B的作用下變換為β，求M4β. 解：(1)A＝ ＝. B＝A－1＝. (2)設(shè)M的特征值為λ，則由條件，得＝0， 即(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6＝0. 解得λ1＝1，λ2＝6. 當(dāng)λ1＝1時(shí)，由 ＝， 得M屬于1的特征向量為α1＝； 當(dāng)λ2＝6時(shí)，由 ＝6， 得M屬于6的特征向量為α2＝. (3)由Bα＝β，得β＝ ＝， 設(shè)＝mα1＋nα2＝m＋n ＝， 則由 解得 所以β＝－α1＋2α2. 所以M4β＝M4(－α1＋2α2)＝－M4α1＋2M4α2 ＝－＋264＝ ＝. 8．已知矩陣A＝的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝ λ2－λ＋. (1)求a，d的值； (2)若α＝，且Aα＝λα，求λ的值． 解：(1)由題意，得f(λ)＝ ＝(λ－a)(λ－d)＝λ2－(a＋d)λ＋ad ＝λ2－λ＋， 即所以或 (2)由(1)，得A＝，于是由 ＝λ，得λ＝，或A＝，于是由 ＝λ，得λ＝1. 故若A＝，則λ＝；若A＝，則λ＝1.