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2019-2020年高中數(shù)學知識精要 14.平面向量教案 新人教A版 1、向量有關概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。 如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的； （3）單位向量：給定一個非零向量，與同向且長度為1的向量叫向量的單位向量. 的單位向量是； （4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性； （5）平行向量（也叫共線向量）：如果向量的基線互相平行或重合則稱這些向量共線或平行，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。 提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個平行向量的基線平行或重合, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?；④三點共線共線； （6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 如下列命題：（1）若，則。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______（答：（4）（5）） 2、向量的表示方法： （1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；（2）符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，，等；（3）坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，＝叫做向量的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。提醒：向量的起點不在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標就不相同. 如（04年上海卷.文6）已知點A(-1,5)和向量,若,則點B的坐標為 . (5,4) 3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)、，使a=e1＋e2，e1、e2稱為一組基底. 注：這為我們用向量解決問題提供了一種方向：把參與的向量用一組基底表示出來，使其關系容易溝通 如（1）若，則______（答：）； （2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）； （3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_____（答：）； （4）已知中，點在邊上，且，，則的值是___（答：0） 4、實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當>0時，的方向與的方向相同，當<0時，的方向與的方向相反，當＝0時，，注意：≠0。 5、平面向量的數(shù)量積： （1）兩個向量的夾角：對于非零向量，，作， 稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直。 提醒：（1）向量的夾角要求這兩個向量同起點.（2）角的問題（如三角形內角）可轉化為向量的夾角來解. （2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內積或點積），記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。 如（1）△ABC中，，，，則_______（答：－9）； （2）已知，與的夾角為，則等于____（答：1）；（3）已知，則等于____（答：）； （4）已知是兩個非零向量，且，則的夾角為____（答：） （3）在上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。 如已知，，且，則向量在向量上的投影為______（答：） （4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。 （5）向量數(shù)量積的性質：設兩個非零向量，，其夾角為，則： ①； ②當，同向時，＝，特別地，；當與反向時，＝－；當為銳角時，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件； 提醒：（1）若則為銳角或者0角若則為鈍角或者π角.（2）||＝可以用來證明//. ③非零向量，夾角的計算公式：；④。 如（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）； （2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是___（答：）； （3） 答案： （4）（04年全國卷二.理9）已知平面上直線l的方向向量點和在l上的射影分別是O′和A′，則，其中=（D ）. A． B． C．2 D．－2 （5）設平面上有四個互異的點 A、B、C、D，已知則△ABC 的形狀是（B） A .直角三角形 B. 等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .等邊三角形 （6）已知與之間有關系式，①用表示；②求的最小值，并求此時與的夾角的大?。ù穑孩伲虎谧钚≈禐?，） 6、向量的運算： （1）幾何運算： ①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設，那么向量叫做與的和，即； 提醒：平行四邊形法則要求參與加法的兩個向量的起點相同，三角形法則要求參與加法的兩個向量的首尾相接.可推廣到（據(jù)此，可根據(jù)需要在一個向量的兩個端點之間任意插點） ②向量的減法：用“三角形法則”：設，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同，指向被減向量(用向量的減法來引進新的起點或者消去不必要的起點)。向量加減運算的運算結果非0，在移項時要注意. 容易得出： ||－||≤||≤||+||． 如（1）化簡：①___；②____；③_____ （答：①；②；③）； （2）若正方形的邊長為1，，則＝_____（答：）； （3）若O是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為____（答：直角三角形）； （4）若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為___（答：2）； （5）若點是的外心，且，則的內角為____（答：）； （6）（04年全國卷二.文9）已知向量、滿足：||=1，||=2，||=2，則||=（ D ）. A．1 B． C． D． （7）已知△ABC 的三個頂點 A、B、C 及平面內一點 P 滿足，則點 P 與△ABC 的關系為（ D ） A .P 在△ ABC 內部 B. P 在△ ABC 外部 C .P 在 AB 邊所在直線上 D. P 是 AC 邊的一個三等分點 （2）坐標運算： 設，則： ①向量的加減法運算：，。如（1）已知點，，若，則當＝____時，點P在第一、三象限的角平分線上（答：）； （2）已知，，則 （答：或）； （3）已知作用在點的三個力，則合力的終點坐標是 （答：（9,1）） ②實數(shù)與向量的積：。 ③若，則，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。 如設，且，，則C、D的坐標分別是__________（答：）； ④平面向量數(shù)量積：。如已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夾角；（2）若x∈，函數(shù)的最大值為，求的值（答：或）； ⑤向量的模：。 距離的求法：轉化為向量的數(shù)量積： ︱︱= 如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____（答：）； ⑥兩點間的距離：若，則。 如如圖，在平面斜坐標系中，，平面上任一點P關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點斜坐標為。 （1）若點P的斜坐標為（2，－2），求P到O的距離｜PO｜； （2）求以O為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系中的方程。（答：（1）2；（2））； 7、向量的運算律： （1）交換律：，，； (2)結合律：，； （3）分配律：，。 如下列命題中： ① ； ② ； ③ ； ④ 若，則或； ⑤若則；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的是______（答：①⑥⑨） 提醒：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結合律，即，為什么？ 8、向量平行(共線)的充要條件： (1) 向量與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使得b=． 實數(shù)λ是唯一存在的，當與同向時，λ>0；當與異向時，λ<0。|λ|= |λ|的大小由及的模確定。因此，當，確定時，λ的符號與大小就確定了。這就是實數(shù)乘向量中λ的幾何意義。 (2) 若=（）,b=（），則 ． （3）∥ 如(1)若向量，當＝_____時與共線且方向相同（答：2）； （2）已知，，，且，則x＝______（答：4）；（3）設 ，則k＝_____時，A,B,C共線（答：－2或11） （04年上海卷.理6）已知點,若向量與同向, =, 則點B的坐標為 . 證明平行問題通常是取得對應的線段來構造向量，然后證明向量平行 9、向量垂直的充要條件： .特別地。 如(1)已知，若，則 （答：）； （2）以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，，則點B的坐標是________ （答：(1,3)或（3，－1））； （3）已知向量，且，則的坐標是________ （答：） （2）向量平移具有坐標不變性，可別忘了?。∪纾?）按向量把平移到，則按向量把點平移到點______（答：（－８，３））； （2）函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則＝________（答：） 證明垂直問題通常是取得對應的線段來構造向量，然后證明向量垂直 10.向量中一些常用的結論： （1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用； （2），特別地，當同向或有 ；當反向或有；當不共線 (這些和實數(shù)比較類似). （3）在中，①若，則其重心的坐標為。 如若⊿ABC的三邊的中點分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則⊿ABC的重心的坐標為_______（答：）； ②為的重心，特別地為的重心； ③為的垂心； ④向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)； ⑤的內心； （3）向量中三終點共線存在實數(shù)使得且. 如平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點,,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_______（答：直線AB）