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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 函數(shù)的單調(diào)性 第四課時(shí) 第二章 ●課 題 2.3.1 函數(shù)的單調(diào)性 ●教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.增函數(shù)、減函數(shù)的概念. 2.函數(shù)的增減性的判定. (二)能力訓(xùn)練要求 1.使學(xué)生理解增函數(shù)、減函數(shù)的概念. 2.使學(xué)生掌握判斷某些函數(shù)增減性的方法. 3.培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行判斷推理的能力. 4.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，辯證思維的能力. (三)德育滲透目標(biāo) 通過本節(jié)課的教學(xué)，啟示學(xué)生養(yǎng)成細(xì)心觀察，認(rèn)真分析，嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣. ●教學(xué)重點(diǎn) 函數(shù)單調(diào)性的概念 ●教學(xué)難點(diǎn) 函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明. ●教學(xué)方法 講授法 ●教具準(zhǔn)備 幻燈片五張： 第一張：課本P58圖2—7(記作2.3.1　A) 第二張：課本P58圖2—8(記作2.3.1　B) 第三張：課本P58圖2—9(記作2.3.1　C) 第四張：課本P59例1及圖2—10(記作2.3.1　D) 第五張：本課時(shí)教案后面的預(yù)習(xí)內(nèi)容及預(yù)習(xí)提綱(記作2.3.1　E). ●教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 ［師］前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、表示方法以及區(qū)間的概念，討論了函數(shù)的定義域、值域的求法.今天我們?cè)龠M(jìn)一步來研究一下函數(shù)的性質(zhì)(板書課題). Ⅱ.講授新課 ［師］在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)圖象的畫法，為了研究函數(shù)的性質(zhì)，按照取值、列表、描點(diǎn)、作圖等步驟分別畫出y＝x2和y＝x3的圖象.如圖(分別打出幻燈片2.3.1 A、2.3.1 B). 我們先著重來觀察一下y＝x2的圖象(打出幻燈片2.3.1 A)，圖象在y軸右側(cè)的部分是上升的，也就是說在y軸右側(cè)越往右，圖象上的點(diǎn)越高，這說明什么問題呢? ［生］隨著x的增加，y的值在增加 ［師］怎樣用數(shù)學(xué)語言來表示呢? ［生］設(shè)x1、x2∈[0，＋∞)得y1＝f（x1），y2＝f（x2） 當(dāng)x1＜x2時(shí)，f（x1）＜f（x2） (學(xué)生經(jīng)過預(yù)習(xí)可能答得很準(zhǔn)確，但為什么也許還囫圇吞棗；或許答得不一定完整，或許怎樣用數(shù)學(xué)語言來表示還感到困惑，教師應(yīng)抓住時(shí)機(jī)予以啟發(fā)) ［師］好，同學(xué)的回答很好，設(shè)x1、x2∈[0，＋∞)，體現(xiàn)了在y軸右側(cè)，按照函數(shù)關(guān)系式得到了y1＝f（x1），y2＝f（x2），即有了兩個(gè)點(diǎn)(x1，y1)、（x2，y2）而當(dāng)x1＜x2時(shí)，f（x1）＜f（x2），則體現(xiàn)了越往右圖象上的點(diǎn)越高，即體現(xiàn)了圖象是上升的，這時(shí)我們說y＝x2在[0，＋∞)上是增函數(shù). 下面大家來看圖象在y軸左側(cè)的部分情形是怎樣的? [生甲]圖象在y軸的左側(cè)也是上升的(或許生甲是別出心裁). ［師］何以見得? [生甲]越往左，圖象上的點(diǎn)越高. ［師］生甲所談對(duì)不對(duì)呢? ［生］對(duì)(部分同學(xué)這樣說，還有部分同學(xué)不吭氣，感到和預(yù)習(xí)時(shí)的情況不一樣，但又不清楚究竟該怎樣，有無所適從之感). ［師］生甲同學(xué)所述是完全有道理的!不過請(qǐng)同學(xué)們注意：他觀察的視線是從右向左看的，為了與在y軸右側(cè)部分觀察的視線方向一致.我們對(duì)y軸的左側(cè)部分也從左向右看，圖象的情形是怎樣的呢? [生甲]從左向右看，圖象是下降的，也就是在y軸的左側(cè)，越往右，圖象上的點(diǎn)越低. ［師］我們研究任何問題都要遵循一定的程序，都要在一定的條件下，否則將一塌糊涂，搞不出任何名堂. (或者在研究y軸右側(cè)部分、研究y軸左側(cè)部分圖象的變化趨勢(shì)時(shí)，就直載了當(dāng)?shù)刂赋鲭S著x的增加，圖象的變化趨勢(shì)是怎樣的，這樣給學(xué)生指定觀察方向，會(huì)減少不應(yīng)有的麻煩) 那么同學(xué)們考慮一下，在y軸的左側(cè)，越往右，圖象上的點(diǎn)越低，說明什么問題呢?怎樣用數(shù)學(xué)語言表示呢? ［生］在y軸右側(cè)，越往右圖象上的點(diǎn)越低，說明隨著x的增加，y的值在減小，用數(shù)學(xué)語言表示是： 設(shè)x1、x2∈（－∞，0）得y1＝f（x1），y2＝f（x2） 當(dāng)x1＜x2時(shí)，f（x1）＞f（x2） ［師］好，這時(shí)我們說y＝x2在（－∞，0）上是減函數(shù). 一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)棰瘢? 如果對(duì)于屬于Ⅰ內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).(打出幻燈片2.3.1　C) 如果對(duì)于屬于Ⅰ內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＞f（x2），那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù). 如果函數(shù)y＝f（x）在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有嚴(yán)格的單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間，在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的. 注意：①函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性. ②函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，它是一個(gè)局部概念. ③判定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性的方法步驟： a.設(shè)x1、x2∈給定區(qū)間，且x1＜x2 b.計(jì)算f（x1）－f（x2）至最簡(jiǎn) b.判斷上述差的符號(hào) d.下結(jié)論(若差＜0，則為增函數(shù)；若差＞0，則為減函數(shù)) Ⅲ.例題分析 ［例1］(課本P59例1，打出幻燈片2.3.1　D，與學(xué)生一塊看，一起分析作答) ［師］要了解函數(shù)在某一區(qū)間上是否具有單調(diào)性，從圖象上進(jìn)行觀察是一種常用而又粗略的方法，嚴(yán)格地說，它需要根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義進(jìn)行證明.下面舉例說明 ［例2］證明函數(shù)f（x）＝3x＋2在R上是增函數(shù). 證明：設(shè)任意x1、x2∈R，且x1＜x2 則f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）＝3（x1－x2） 由x1＜x2得x1－x2＜0 ∴f（x1）－f（x2)＜0 即f（x1）＜f（x2） ∴f（x）＝3x＋2在R上是增函數(shù) ［例3］證明函數(shù)f（x）＝在（0，＋∞）上是減函數(shù). 證明：設(shè)任意x1、x2∈（0，＋∞）且x1＜x2 則f（x1）－f（x2）＝－＝ 由x1，x2∈（0，＋∞）得x1x2＞0 又x1＜x2 得x2－x1＞0 ∴f（x1）－f（x2）＞0 即f（x1）＞f（x2） ∴f（x）＝在（0，＋∞）上是減函數(shù) 注意：通過觀察圖象、對(duì)函數(shù)是否具有某種性質(zhì)作出一種猜想，然后通過推理的辦法.證明這種猜想的正確性，是發(fā)現(xiàn)和解決問題的一種常用數(shù)學(xué)方法. Ⅳ.課堂練習(xí) 課本P60練習(xí)1~4及P59、P60兩個(gè)想一想 Ⅴ.課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的知識(shí)，同學(xué)們要切記：?jiǎn)握{(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，同時(shí)在理解定義的基礎(chǔ)上，要掌握證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟，正確進(jìn)行判斷和證明. Ⅵ.課后作業(yè) (一)課本P64習(xí)題2.3 1~7 （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：反函數(shù)的概念 2.預(yù)習(xí)提綱： （1）反函數(shù)的定義是什么？ （2）怎樣的映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)？ （3）求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的步驟是怎樣的？ （4）函數(shù)y=f(x)與它的反函數(shù)y=f-1（x)兩者之間定義域、值域存在什么關(guān)系？ ●板書設(shè)計(jì) 課題 例題 小結(jié) 定義 注意① ② ③