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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.6 1微積分基本定理教案 新人教A版選修2-2 1．變上限定積分 （1）定積分是上限變量x的函數(shù)，記為Ф(x)=或Ф(x)=，稱為變上限定積分。 定理1 （原函數(shù)存在定理）若函數(shù)f (x)在[a, b]上連續(xù)，則函數(shù) Ф(x)= （a≤x≤b） 在[a, b]上可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為Фˊ(x)= f (x)（a≤x≤b） 由此定理可知Ф(x)是連續(xù)函數(shù)f (x)在區(qū)間[a, b]上的一個(gè)原函數(shù) （2）若函數(shù)f (x)在[a, b]上連續(xù)，g (x)可導(dǎo)，則 定理2 （牛頓—萊布尼茲公式）若函數(shù)f (x)在[a, b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)為 f (x)的一個(gè)原函數(shù)，即Fˊ(x)= f (x)，則 == F(b)－F(a) 重點(diǎn)難點(diǎn)突破 1．關(guān)于變上限定積分 有時(shí)我們可能會(huì)遇到形式上更一般的變上限、變下限、上下限都變的積分，形如 G(x)=，H(x)=，Ф(x)= 這些積分就不能簡單地看成[a, b]上的函數(shù)，但同樣可以求G(x)（H(x)，Ф(x)）的導(dǎo)數(shù)（在它們可導(dǎo)的條件下）。此進(jìn)，可把α(x)，β(x)看成中間變量，再利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，求出它們的導(dǎo)數(shù)，下面給出它們的求導(dǎo)公式： G(x)== f [β(x)]βˊ(x) H(x)==－f [α(x)]αˊ(x) Ф(x)== f [β(x)]βˊ(x)－f [α(x)]αˊ(x) 2、關(guān)于牛頓—萊布尼茲公式 牛頓—萊布尼茲公式不僅在定積分這部分內(nèi)容中，而且在整個(gè)微積分學(xué)中都是一個(gè)很重要的結(jié)論，主要表現(xiàn)在以下方面： （1）將一個(gè)用復(fù)雜形式定義出的定積分的計(jì)算變?yōu)榍蟊环e函數(shù)的原函數(shù)在積分上下限兩點(diǎn)的函數(shù)值之差，或者說將一個(gè)復(fù)雜的和式極限的計(jì)算變?yōu)榍蟛欢ǚe分的計(jì)算。 （2）揭示了定積分與不定積分兩個(gè)不同概念之間的聯(lián)系，由于不定積分被看成是求導(dǎo)函數(shù)的逆運(yùn)算，進(jìn)而這一公式也反映出了微分學(xué)與積分學(xué)之間的聯(lián)系 解題方法指導(dǎo) 1．變上限的定積分對(duì)上限的求導(dǎo)方法 例1 已知 ， 求 ． 解 =+ =， =+ =． 例2 設(shè)f (x) =，求fˊ(x) 解：fˊ(x)=(sin x)ˊ= cos x 例3 設(shè)F(x) =，求Fˊ(x) 解：Fˊ(x)=(x2)ˊ=－2xarctg 例4 設(shè)G(x) =，求Gˊ(x) 解：Gˊ(x)=e-x()ˊ－(lnx)ˊ=e-x－ 小結(jié) 如果定積分上限是的函數(shù)，那么利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式對(duì)上限求導(dǎo)；如果定積分的下限是的函數(shù)，那么將定積分的下限變?yōu)樽兩舷薜亩ǚe分，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式對(duì)上限求導(dǎo)；如果復(fù)合函數(shù)的上限、下限都是的函數(shù)，那么利用區(qū)間可加性將定積分寫成兩個(gè)定積分的和，其中一個(gè)定積分的上限是的函數(shù)，另一個(gè)定積分的下限也是的函數(shù)，都可以化為變上限的定積分來求導(dǎo)． 。