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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案 北師大選修1-1 一、預(yù)習(xí)與引入過程 預(yù)習(xí)教科書56頁(yè)至60頁(yè)，當(dāng)變化的平面與圓錐軸所成的角在變化時(shí)，觀察平面截圓錐的截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是什么圖形？又是怎么樣變化的？特別是當(dāng)截面與圓錐的軸線或平行時(shí)，截口曲線是雙曲線，待觀察或操作了課件后，提出兩個(gè)問題：第一、你能理解為什么此時(shí)的截口曲線是雙曲線而不是兩條拋物線；第二、你能舉出現(xiàn)實(shí)生活中雙曲線的例子．當(dāng)學(xué)生把上述兩個(gè)問題回答清楚后，要引導(dǎo)學(xué)生一起思考與探究P56頁(yè)上的問題（同桌的兩位同學(xué)準(zhǔn)備無彈性的細(xì)繩子兩條（一條約10cm長(zhǎng)，另一條約6cm每條一端結(jié)一個(gè)套）和筆尖帶小環(huán)的鉛筆一枝，教師準(zhǔn)備無彈性細(xì)繩子兩條（一條約20cm，另一條約12cm，一端結(jié)個(gè)套，另一端是活動(dòng)的），圖釘兩個(gè)）．當(dāng)把繩子按同一方向穿入筆尖的環(huán)中，把繩子的另一端重合在一起，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出的圖形是雙曲線．啟發(fā)性提問：在這一過程中，你能說出移動(dòng)的筆?。▌?dòng)點(diǎn)）滿足的幾何條件是什么？〖板書〗2．2．1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程． 二、新課講授過程 （i）由上述探究過程容易得到雙曲線的定義． 〖板書〗把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（hyperbola）．其中這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為時(shí)，雙曲線即為點(diǎn)集． 思考題“為什么小于”? （ii）雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程 提問：已知橢圓的圖形，是怎么樣建立直角坐標(biāo)系的？類比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法由學(xué)生來建立直角坐標(biāo)系． 無理方程的化簡(jiǎn)過程仍是教學(xué)的難點(diǎn)，讓學(xué)生實(shí)際掌握無理方程的兩次移項(xiàng)、平方整理的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程． 類比橢圓：設(shè)參量的意義：第一、便于寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二、的關(guān)系有明顯的幾何意義． 類比：寫出焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 三、例題講解、引申與補(bǔ)充 例1 已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)到，距離差的絕對(duì)值等于，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 分析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義及給出的條件，容易求出． 補(bǔ)充：求下列動(dòng)圓的圓心的軌跡方程：① 與⊙：內(nèi)切，且過點(diǎn)；② 與⊙：和⊙：都外切；③ 與⊙：外切，且與⊙：內(nèi)切． 解題剖析：這表面上看是圓與圓相切的問題，實(shí)際上是雙曲線的定義問題．具體解：設(shè)動(dòng)圓的半徑為． ① ∵⊙與⊙內(nèi)切，點(diǎn)在⊙外，∴，，因此有，∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，即的軌跡方程是； ② ∵⊙與⊙、⊙均外切，∴，，因此有，∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，∴的軌跡方程是； ③ ∵與外切，且與內(nèi)切，∴，，因此，∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，∴的軌跡方程是． 例2 已知，兩地相距，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚，且聲速為，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程． 分析：首先要判斷軌跡的形狀，由聲學(xué)原理：由聲速及，兩地聽到爆炸聲的時(shí)間差，即可知，兩地與爆炸點(diǎn)的距離差為定值．由雙曲線的定義可求出炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程． 擴(kuò)展：某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀察點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀察點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響，正東觀察點(diǎn)聽到該巨響的時(shí)間比其他兩個(gè)觀察點(diǎn)晚．已知各觀察點(diǎn)到該中心的距離都是．試確定該巨響發(fā)生的位置（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為；相關(guān)點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）． 解法剖析：因正西、正北同時(shí)聽到巨響，則巨響應(yīng)發(fā)生在西北方向或東南方向，以因正東比正西晚，則巨響應(yīng)在以這兩個(gè)觀察點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線上． 如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)，正東、正北方向分別為軸、軸方向，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)、、分別是西、東、北觀察點(diǎn)，則，，． 設(shè)為巨響發(fā)生點(diǎn)，∵、同時(shí)聽到巨響，∴所在直線為……①，又因點(diǎn)比點(diǎn)晚聽到巨響聲，∴．由雙曲線定義知，，，∴，∴點(diǎn)在雙曲線方程為……②．聯(lián)立①、②求出點(diǎn)坐標(biāo)為．即巨響在正西北方向處． 探究：如圖，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，．直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，求點(diǎn)的軌跡方程，并與2．1．例3比較，有什么發(fā)現(xiàn)？ 探究方法：若設(shè)點(diǎn)，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關(guān)系式，即得到點(diǎn)的軌跡方程． 四、強(qiáng)調(diào)： 1、情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo) 通過課件（）的展示與操作，必須讓學(xué)生認(rèn)同：與圓錐的軸平行的平面去截圓錐曲面所得截口曲線是一條雙曲線而不是兩條拋物線；必須讓學(xué)生認(rèn)同與體會(huì)：雙曲線的定義及特殊情形當(dāng)常數(shù)等于兩定點(diǎn)間距離時(shí)，軌跡是兩條射線；必須讓學(xué)生認(rèn)同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的兩個(gè)原則，及引入?yún)⒘康囊饬x，培養(yǎng)學(xué)生用對(duì)稱的美學(xué)思維來體現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧美；讓學(xué)生認(rèn)同與領(lǐng)悟：像例1這基礎(chǔ)題配備是必要的，但對(duì)定義的理解和使用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須配備有一定靈活性、有一定的思維空間的補(bǔ)充題；例2是典型雙曲線實(shí)例的題目，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維方法，會(huì)用分析、聯(lián)系的觀點(diǎn)解決問題有一定的幫助，但要準(zhǔn)確判定爆炸點(diǎn)，必須對(duì)此題進(jìn)行擴(kuò)展，培養(yǎng)學(xué)生歸納、聯(lián)想拓展的思維能力． 2、能力目標(biāo) （1） 想象與歸納能力：能根據(jù)課程的內(nèi)容能想象日常生活中哪些是雙曲線的實(shí)際例子，能用數(shù)學(xué)符號(hào)或自然語言的描述雙曲線的定義，能正確且直觀地繪作圖形，反過來根據(jù)圖形能用數(shù)學(xué)術(shù)語和數(shù)學(xué)符號(hào)表示． （2） 思維能力：會(huì)把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會(huì)把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法；培養(yǎng)學(xué)生的會(huì)從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力． （3） 實(shí)踐能力：培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際動(dòng)手能力，綜合利用已有的知識(shí)能力． （4） 數(shù)學(xué)活動(dòng)能力：培養(yǎng)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究、驗(yàn)證與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)能力． （5） 創(chuàng)新意識(shí)能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑． 五、練習(xí)：第60頁(yè)1、2、3、 六、作業(yè)：第66頁(yè)1、2.