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2019-2020年高中數(shù)學 4.2 微積分基本定理（二） 教案 北師大選修2-2 教學過程： （一）創(chuàng)設問題情境 求不定積分的運算是導數(shù)運算的逆運算，結(jié)果為函數(shù)，定積分則是在求曲邊梯形的面積問題時產(chǎn)生的，結(jié)果為數(shù).這兩種運算產(chǎn)生的背景與含義似乎沒有什么共同之處.但它們的名稱如此相近，說明它們之間又存在著聯(lián)系. （二）探索新知 1、講解變上限定積分的定義，配合圖形便于讓學生明白變上限定積分是定義在上的函數(shù)，它會隨著在區(qū)間上變化而取得相應的定積分值.接著，給出定理4.2.1，讓學生知道變上限定積分的導數(shù)就是被積函數(shù)，并結(jié)合原函數(shù)與導函數(shù)（也就是被積函數(shù)）的關系讓學生主動去探索定理4.2.2，通過這個定理既讓學生發(fā)現(xiàn)了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，又初步揭示了定積分與原函數(shù)，也就是不定積分之間的關系.變上限定積分的重要性質(zhì)在下面證明微積分基本定理時有重要作用. ——以學生現(xiàn)有的知識水平想到導數(shù)和定積分的內(nèi)在聯(lián)系是很困難的，因此對于這一部分內(nèi)容以教師直接講解為主，主動揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。 根據(jù)學生實際情況，結(jié)合定理4.2.1講解例4.2.1和例4.2.2，此二例的作用是讓學生熟悉定理；在講解例4.2.2的過程中，強調(diào)學生注意當積分的下限為，上限為定值時，要變成變上限定積分才可以應用這個定理求解.例4.2.3、例4.2.2對于本班學生較為困難，省略不講。 2、牛頓—萊布尼茲公式的證明 證明的關鍵在于結(jié)合定理4.2.3的已知條件是在上的一個原函數(shù)及定理4.2.2的結(jié)論變上限的定積分也是在上的一個原函數(shù)，得到，再分別讓取得，牛頓—萊布尼茲公式即可得證. 這一過程要讓學生主動參與，因為它不僅讓學生熟悉了定理4.2.2，更重要的是揭示了定積分與不定積分之間的聯(lián)系，解決了第一階段創(chuàng)設的問題. ——在這里我插入關于牛頓和萊布尼茲的個人背景材料，以及他們的學術成果在整個社會乃至全世界的影響，有利于豐富課堂內(nèi)容。 3、牛頓—萊布尼茲公式的應用 牛頓-萊布尼茲公式絕妙地把求定積分問題轉(zhuǎn)換成求不定積分問題，從而避免了用定義來計算定積分這一極為困難的運算.因此在“不定積分”一節(jié)中掌握的求原函數(shù)的方法，在計算定積分時都能得到應用. 在講解例題前檢查學生初等函數(shù)的不定積分公式，聯(lián)想舊知識，為解決新知作準備。例題包括三部分：初等函數(shù)的定積分，簡單的換元積分問題，分段函數(shù)的定積分問題.前兩類問題較為基礎，學生掌握起來較容易.第三類問題解決的關鍵在于去掉絕對值，并利用定積分的可加性，是基礎問題的升華. 探索新知這一過程其實就是解決教學重點和化解教學難點的過程中，體現(xiàn)了教法和學法的統(tǒng)一。 （三）討論歸納 總結(jié)使用牛頓—萊布尼茲公式解題的一般方法:求不定積分→代入積分上下限求原函數(shù)在上的增量. 因為此過程較為簡單，所以讓學生自己總結(jié)，老師最后歸納. （四）鞏固練習，強化提高 將習題4.2第一大題的（4）作為第一個練習，為了體現(xiàn)牛頓—萊布尼茲公式的作用，第三大題的（1）作為第二個練習，第二個練習在不定積分的運算中是沒有的，這樣設計也是為了鞏固分段函數(shù)的定積分問題。 這一過程即能達到教學目標的要求又能進一步鞏固和深化所學知識，形成基本技能，培養(yǎng)學生的主動探索能力。 （五）布置作業(yè)： 五、板書設計 將變上限定積分的定義，性質(zhì)，牛頓—萊布尼茲公式的證明作為第一節(jié)課板書內(nèi)容，主要讓學生掌握基礎知識，基本理論；將不定積分的積分公式，牛頓—萊布尼茲公式的應用作為第二節(jié)課板書內(nèi)容，讓學生在掌握基礎知識，基本理論的基礎上，系統(tǒng)掌握定積分的求法.