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2019-2020年高三數(shù)學總復習 等差數(shù)列教案 理 教材分析 等差數(shù)列是高中階段研究的兩種最常見的數(shù)列之一．這節(jié)內(nèi)容在一些具體實例的基礎上，歸納、抽象、概括出了等差數(shù)列的定義及其通項公式．教學重點是等差數(shù)例的定義及通項公式的發(fā)現(xiàn)過程及有關知識的應用．教學難點是理解公式的實質(zhì)并加以靈活運用． 教學目標 1. 理解等差數(shù)列的概念，掌握其通項公式及實質(zhì)并會熟練應用． 2. 通過對等差數(shù)列概念及通項公式的歸納、抽象和概括，體驗等差數(shù)列概念的形成過程，培養(yǎng)學生的抽象、概括能力． 3. 培養(yǎng)從特殊到一般，再從一般到特殊的數(shù)學思想，并鍛煉學生歸納、猜想、論證的能力． 任務分析 這節(jié)課是在實例的基礎上，采用從特殊到一般，再從一般到特殊的思想，對此，學生接受起來并不太困難．對于等差數(shù)列的定義及通項公式的發(fā)現(xiàn)，要完全地放給學生自己討論，探究，以便于充分調(diào)動學生的主觀能動性，使其充分體驗到成功的樂趣．對于通項公式，不要只看表面，更要看到公式的實質(zhì)———四個量之間的一個等量關系，以便于以后運用方程思想靈活解決有關問題． 教學設計 一、問題情景 在現(xiàn)實生活中，經(jīng)常會遇到下面的特殊數(shù)列． 1. 我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5個數(shù)一次，可以得到數(shù)列： 0.5， ______________ ， ______________ ， ______________ ， ______________ ，… 2. 水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚．如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）： 18， ______________ ， ______________ ， ______________ ， ______________ ，5.5． 3. 我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息．按照單利計算本利和的公式是： 本利和＝本金（1＋利率存期）． 例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和組成的數(shù)列是 ______________ ， ______________ ， ______________ ， ______________ ， ______________ ． 問題：上面的數(shù)列有什么共同特點？ 你能用數(shù)學語言（符號）描述這些特點嗎？ 二、建立模型 一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，即ａn＋1－ａn＝d（n∈N＋）． ［問　題］ （1）如果三個數(shù)ａ，A，ｂ成等差數(shù)列，那么A叫ａ，ｂ的等差中項．你能用ａ，ｂ表示A嗎？ （2）你能猜想出問題情景中的3個數(shù)列各自的通項公式嗎？ （3）一般地，對于等差數(shù)列｛ａn｝，你能用基本量ａ1，ｄ來表示其通項嗎？ 解法1：歸納：ａ1＝ａ1，ａ2＝ａ1＋ｄ，ａ3＝ａ1＋2ｄ，…， ａn＝ａ1＋（ｎ－1）d． 解法2：累加：ａ2－ａ1＝ｄ，ａ3－ａ2＝ｄ，…，ａn－ａn-1＝ｄ，各式相加，得ａn－ａ1＝（ｎ－1）ｄ， ∴ａn＝ａ1＋（ｎ－1）ｄ． ［思　考］ （1）這個通項公式有何特點？是關于n的幾次式的形式？ｄ可以等0嗎？ （2）此公式中有幾個量？ ［結　論］ （1）等差數(shù)列通項公式是關于n的一次式的形式，ｎ的系數(shù)為ｄ．當ｄ＝0時，該數(shù)列為常數(shù)列． （2）此公式中有四個量，即ａn，ａ1，ｎ，ｄ，知道其中任何三個可求另外一個，所以，通項公式實質(zhì)是四個量之間的關系． 三、解釋應用 ［例　題］ 1. （1）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項． （2）－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的項？如果是，是第幾項？ 2. 某市出租車的計價標準為1.2元／千米，起步價為10元，即最初的4km（不含4km）計費10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，須要支付多少車費？ 解：根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客須要支付1.2元．所以，可建立一個等差數(shù)列｛ａn｝來計算車費． 令ａ1＝11.2，表示4km處的車費，公差ｄ＝1.2．那么，當出租車行至14km處時，ｎ＝11，此時須要支付車費ａ11＝11.2＋（11－1）1.2＝23.2（元）． 答：須要支付車費23.2元． 3. 已知數(shù)列｛ａn｝的通項公式為ａn＝pn＋ｑ，其中ｐ，ｑ為常數(shù)，且ｐ≠０，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？ 分析：判定｛ａn｝是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看ａn－ａn-1（ｎ＞1）是不是一個與ｎ無關的常數(shù)． 解：取數(shù)列｛ａn｝中的任意相鄰兩項ａn與ａn-1（ｎ＞1），求差，得 ａn－ａn-1＝（ｐｎ＋ｑ）－［ｐ（ｎ－１）＋ｑ］＝ ｐｎ＋ｑ－（ｐｎ－ｐ＋ｑ）＝ｐ． 它是一個與ｎ無關的數(shù)．所以｛ａn｝是等差數(shù)列． ［練　習］ 1. 在等差數(shù)列中， （1）已知ａ5＝－1，ａ8＝2，求ａ1與ｄ． （2）已知ａ1＋ａ6＝12，ａ4＝7，求ａ9． 2. 已知｛ａn｝是等差數(shù)列． （1）2ａ5＝ａ3＋ａ7是否成立？2ａ5＝ａ1＋ａ9是否成立？ （2）2ａn＝ａn－2＋ａn＋２（ｎ＞2）是否成立？2ａn＝ａn－k＋ａn＋k（ｎ＞ｋ＞0）是否成立？ 3. 已知數(shù)列｛ａn｝，｛bn｝的通項公式分別為ａn＝ａn＋2，bn＝bn＋1（ａ，ｂ是常數(shù)），且ａ＞ｂ，那么這兩個數(shù)列中的序號與數(shù)值均相等的項的個數(shù)有幾個？ 四、拓展延伸 （1）在直角坐標系中，畫出通項公式為ａn＝3n－5的數(shù)列的圖像，并說出這個數(shù)列的圖像有什么特點．該圖像與ｙ＝3ｘ－5的圖像有什么關系？據(jù)此，你能得出一般性的結論嗎？ （2）通項公式的四個量中知道其中三個量可求另一個量，你能據(jù)此編出一些不同的題目嗎？ （3）對于兩個次數(shù)相同的等差數(shù)列｛ａn｝和｛bn｝，｛ａn＋bn｝，｛ａnbn｝，（ｂｎ≠0）是否為等差數(shù)列？ 點　評 教師能否調(diào)動學生的積極性和能否真正培養(yǎng)學生能力，提高課堂效率，很大程度上取決于教師能否設計出既符合教材要求又符合學生的認知水平的問題．這節(jié)課正是通過恰當?shù)卦O計一系列問題，層層遞進，使問題得到了全面解決，這樣不僅鍛煉了學生思維，培養(yǎng)了學生能力，而且也充分體現(xiàn)了新課程的理念． 值得一提的是，利用歸納的方式引導學生建立概念并及時在應用中深化，是這篇案例的突出特點．