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2019-2020年高中數學 1.4邏輯聯結詞“且，或，非”二教案 北師大選修1-1 教學過程： 學生探究過程： 1、引入 在當今社會中，人們從事任何工作、學習，都離不開邏輯．具有一定邏輯知識是構成一個公民的文化素質的重要方面．數學的特點是邏輯性強，特別是進入高中以后，所學的數學比初中更強調邏輯性．如果不學習一定的邏輯知識，將會在我們學習的過程中不知不覺地經常犯邏輯性的錯誤．其實，同學們在初中已經開始接觸一些簡易邏輯的知識． 在數學中，有時會使用一些聯結詞，如“且”“或”“非”。在生活用語中，我們也使用這些聯結詞，但表達的含義和用法與數學中的含義和用法不盡相同。下面介紹數學中使用聯結詞“且”“或”“非”聯結命題時的含義和用法。 為敘述簡便，今后常用小寫字母p，q，r，s，…表示命題。（注意與上節(jié)學習命題的條件p與結論q的區(qū)別） 2、思考、分析 問題1：下列各組命題中，三個命題間有什么關系？ （1）①12能被3整除； ②12能被4整除； ③12能被3整除且能被4整除。 （2）①27是7的倍數； ②27是9的倍數； ③27是7的倍數或是9的倍數。 學生很容易看到，在第（1）組命題中，命題③是由命題①②使用聯結詞“且”聯結得到的新命題，在第（2）組命題中，命題③是由命題①②使用聯結詞“或”聯結得到的新命題，。 問題2：以前我們有沒有學習過象這樣用聯結詞“且”或“或”聯結的命題呢？你能否舉一些例子？ 例如：命題p：菱形的對角線相等且菱形的對角線互相平分。 命題q：三條邊對應成比例的兩個三角形相似或兩個角相等的兩個三角形相似。 3、歸納定義 一般地，用聯結詞“且”把命題p和命題q聯結起來，就得到一個新命題，記作 p∧q，讀作“p且q”。 一般地，用聯結詞“或”把命題p和命題q聯結起來，就得到一個新命題，記作p∨q,讀作“p或q”。 一般地，對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作￢p 讀作“非p”或“p的否定”。 命題“p∧q”與命題“p∨q”即，命題“p且q”與命題“p或q”中的“且”字與“或” 字與下面兩個命題中的“且” 字與“或” 字的含義相同嗎？ （1）若 x∈A且x∈B，則x∈A∩B。 （2）若 x∈A或x∈B，則x∈A∪B。 定義中的“且”字與“或” 字與兩個命題中的“且” 字與“或” 字的含義是類似。但這里的邏輯聯結詞“且”與日常語言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相當，表明前后兩者同時兼有，同時滿足, 邏輯聯結詞“或”與生活中“或”的含義不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去這種可能. 說明：符號“∧”與“∩”開口都是向下，符號“∨”與“∪”開口都是向上。 注意：“p或q”，“p且q”，命題中的“p”、“q”是兩個命題，而原命題，逆命題，否命題，逆否命題中的“p”,“q”是一個命題的條件和結論兩個部分. 4、命題“p∧q”與命題“p∨q”的真假的規(guī)定 你能確定命題“p∧q”與命題“p∨q”的真假嗎？命題“p∧q”與命題“p∨q”的真假和命題p，q的真假之間有什么聯系？ 引導學生分析前面所舉例子中命題p，q以及命題p∧q的真假性，概括出這三個命題的真假之間的關系的一般規(guī)律。 例如：在上面的例子中，第（1）組命題中，①②都是真命題，所以命題③是真命題。 第（2）組命題中，①是假命題，②是真命題，但命題③是真命題。 p q p∧q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 p q p∨q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 （即一假則假） （即一真則真） 一般地，我們規(guī)定： 當p，q都是真命題時，p∧q是真命題；當p，q兩個命題中有一個命題是假命題時，p∧q是假命題；當p，q兩個命題中有一個是真命題時，p∨q是真命題；當p，q兩個命題都是假命題時，p∨q是假命題。 5、命題“￢p”與命題p的真假間的關系 命題“￢p”與命題p的真假之間有什么聯系？ 引導學生分析前面所舉例子中命題p與命題￢p的真假性，概括出這兩個命題的真假之間的關系的一般規(guī)律。 例如：在上面的例子中，第（1）組命題中，命題①是真命題，而命題②是假命題。 第（2）組命題中，命題①是假命題，而命題②是真命題。 由此可以看出，既然命題￢P是命題P的否定，那么￢P與P不能同時為真命題，也不能同時為假命題，也就是說， 若p是真命題，則￢p必是假命題；若p是假命題，則￢p必是真命題； p ￢P 真 假 假 真 注意：命題的否定與否命題的區(qū)別 讓學生思考：命題的否定與原命題的否命題有什么區(qū)別？ 命題的否定是否定命題的結論，而命題的否命題是對原命題的條件和結論同時進行否定，因此在解題時應分請命題的條件和結論。 6、例題 例1：將下列命題分別用“且”與“或” 聯結成新命題“p∧q” 與“p∨q”的形式，并判斷它們的真假。 （1）p：平行四邊形的對角線互相平分，q：平行四邊形的對角線相等。 （2）p：菱形的對角線互相垂直，q：菱形的對角線互相平分； （3）p：35是15的倍數，q：35是7的倍數. 解：（1）p∧q：平行四邊形的對角線互相平分且平行四邊形的對角線相等.也可簡寫成 平行四邊形的對角線互相平分且相等. p∨q: 平行四邊形的對角線互相平分或平行四邊形的對角線相等. 也可簡寫成 平行四邊形的對角線互相平分或相等. 由于p是真命題,且q也是真命題,所以p∧q是真命題, p∨q也是真命題． （2）p∧q：菱形的對角線互相垂直且菱形的對角線互相平分. 也可簡寫成 菱形的對角線互相垂直且平分. p∨q: 菱形的對角線互相垂直或菱形的對角線互相平分. 也可簡寫成 菱形的對角線互相垂直或平分. 由于p是真命題,且q也是真命題,所以p∧q是真命題, p∨q也是真命題． （3）p∧q：35是15的倍數且35是7的倍數. 也可簡寫成 35是15的倍數且是7的倍數. p∨q: 35是15的倍數或35是7的倍數. 也可簡寫成 35是15的倍數或是7的倍數. 由于p是假命題, q是真命題,所以p∧q是假命題, p∨q是真命題． 說明，在用＂且＂或＂或＂聯結新命題時，如果簡寫，應注意保持命題的意思不變． 例2：選擇適當的邏輯聯結詞“且”或“或”改寫下列命題，并判斷它們的真假。 （1）1既是奇數，又是素數； （2）2是素數且3是素數； （3）2≤2． 解略． 例3、判斷下列命題的真假； （1）6是自然數且是偶數 （2）是A的子集且是A的真子集； （3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集； （4）周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等．解略． 例4、寫出下表中各給定語的否定語。 若給定語為 等于 大于 是 都是 至多有一個 至少有一個 其否定語分別為 解：“等于”的否定語是“不等于”； 　　　 “大于”的否定語是“小于或者等于”； 　　　 “是”的否定語是“不是”； 　　　 “都是”的否定語是“不都是”； 　　　 “至多有一個”的否定語是“至少有兩個”； 　　　 “至少有一個”的否定語是“一個都沒有”； 例5、寫出下列命題的否定，判斷下列命題的真假 （1）p：y ＝ sinx 是周期函數； （2）p：3＜2； （3）p：空集是集合A的子集。 解略. 7．鞏固練習 ：Ｐ2０練習第1，2題 8.教學反思： （１） 掌握邏輯聯結詞“或、且、非”的含義 （２） 正確應用邏輯聯結詞“或、且、非”解決問題 （３） 掌握真值表并會應用真值表解決問題 p q P∧q P∨q ￢p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ８．作業(yè)： P20：習題１.３Ａ組第1、2題