《2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章《 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用》教案 北師大版選修2-2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章《 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用》教案 北師大版選修2-2.doc（33頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章《 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用》教案 北師大版選修2-2 一、教學(xué)目標：1、知識與技能：⑴理解函數(shù)單調(diào)性的概念；⑵會判斷函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。2、過程與方法：⑴通過具體實例的分析，經(jīng)歷對函數(shù)平均變化率和瞬時變化率的探索過程；⑵通過分析具體實例，經(jīng)歷由平均變化率及渡到瞬時變化率的過程。3、情感、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生感悟由具體到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教學(xué)重點：函數(shù)單調(diào)性的判定 教學(xué)難點：函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法 三、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）．創(chuàng)設(shè)情景 函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的贈與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的．通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解．下面，我們運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用． （二）．新課探究 1．問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運動 中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1 （2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間 變化的函數(shù)的圖 像． 運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入 水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？ 通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：（1）運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應(yīng)地，．（2）從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數(shù)．相應(yīng)地，． 2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系． 如圖3.3-3，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率． 在處，，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞增； 在處，，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞減． 結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． 說明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)． 3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： （1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間． （三）．典例探析 例1、已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息： 當時，； 當，或時，； 當，或時， 試畫出函數(shù)圖像的大致形狀． 解：當時，，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； 當，或時，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減； 當，或時，，這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”． 綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示． 例2、判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間． （1）； （2） （3）； （4） 解：（1）因為，所以， 因此，在R上單調(diào)遞增，如圖3.3-5（1）所示． （2）因為，所以， 當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增； 當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減； 函數(shù)的圖像如圖3.3-5（2）所示． （3）因為，所以， 因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，如圖3.3-5（3）所示． （4）因為，所以 ． 當，即 時，函數(shù) ； 當，即 時，函數(shù) ； 函數(shù)的圖像如圖3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生練 例3．如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系圖像． 分析：以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況． 解： 思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？ 一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”，在或內(nèi)的圖像“平緩”． 例4、求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 證明：因為 當即時，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 說明：證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟：（1）求導(dǎo)函數(shù)；（2）判斷在內(nèi)的符號；（3）做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)． （四）．課堂練習：課本P59頁練習1（1）；2 （五）．回顧總結(jié)：（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；（2）求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（3）證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性 （六）．布置作業(yè)：課本P62頁習題3-1A組1、2 五、教后反思： 第二課時 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（二） 一、教學(xué)目標：1、知識與技能：⑴理解函數(shù)單調(diào)性的概念；⑵會判斷函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。2、過程與方法：⑴通過具體實例的分析，經(jīng)歷對函數(shù)平均變化率和瞬時變化率的探索過程；⑵通過分析具體實例，經(jīng)歷由平均變化率及渡到瞬時變化率的過程。3、情感、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生感悟由具體到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教學(xué)重點：函數(shù)單調(diào)性的判定 教學(xué)難點：函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法 三、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、問題情境 1．情境：作為函數(shù)變化率的導(dǎo)數(shù)刻畫了函數(shù)變化的趨勢（上升或下降的陡峭程度），而函數(shù)的單調(diào)性也是對函數(shù)變化的一種刻畫．2．問題：那么導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么聯(lián)系呢？ （二）、學(xué)生活動：結(jié)合一個單調(diào)函數(shù)的圖象，思考在函數(shù)單調(diào)遞增的部分其切線的斜率的符號． （三）、建構(gòu)數(shù)學(xué) 如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，那么對任意，，當時，，即與同號，從而，即． 這表明，導(dǎo)數(shù)大于與函數(shù)單調(diào)遞增密切相關(guān)． 一般地，我們有下面的結(jié)論：設(shè)函數(shù)，如果在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上的增函數(shù)；如果在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上的減函數(shù)；如果在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上的常數(shù)函數(shù)． 上述結(jié)論可以用下圖來直觀理解． 思考：試結(jié)合：如果在某區(qū)間上單調(diào)遞增，那么在該區(qū)間上必有 嗎？ 說明：若為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則在該區(qū)間上（）不一定成立．即如果在某區(qū)間上（）是在該區(qū)間上是增（減）函數(shù)的充分不必要條件． （四）、知識運用 1、例題探析：例1、確定函數(shù)在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 解：．令，解得．因此，在區(qū)間內(nèi)，是增函數(shù)． 同理可得，在區(qū)間內(nèi)，是減函數(shù)（如左圖）． 例2、確定函數(shù)在哪些區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)． 解：．令，解得或． 因此，在區(qū)間內(nèi)，是增函數(shù)；在區(qū)間內(nèi)，也是增函數(shù)． 例3、確定函數(shù)，的單調(diào)減區(qū)間． 解：．令，即，又，所以． 故區(qū)間是函數(shù)，的單調(diào)減區(qū)間．注意：所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)． 例4、已知曲線，（1）用導(dǎo)數(shù)證明此函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）求曲線的切線的斜率的取值范圍．（1）證明：恒成立．所以此函數(shù)在上遞增．（2）解：由（１）可知，所以的斜率的范圍是． 2、鞏固練習：練習冊1，2，3． （五）．回顧小結(jié)：函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：函數(shù)，如果在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上的增函數(shù)；如果在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上的減函數(shù)；如果在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上的常數(shù)函數(shù)。用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： ①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)。②令f′(x) 0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間。③令f′(x)0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間。 （六）、作業(yè)布置：1、已知函數(shù)的圖象過點P（0,2）,且在點M處的切線方程為.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 解：（Ⅰ）由的圖象經(jīng)過P（0，2），知d=2，所以 由在處的切線方程是，知 故所求的解析式是 （Ⅱ） 解得 當 當故內(nèi)是增函數(shù)， 在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù). 2、已知向量在區(qū)間（－1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍。 解： 依定義 的圖象是開口向下的拋物線， 五、教后反思： 第三課時 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（三） 一、教學(xué)目標：1.正確理解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理；2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法 二、教學(xué)重難點：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性. 三、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、復(fù)習： 1. 函數(shù)的單調(diào)性. 對于任意的兩個數(shù)x1，x2∈I，且當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么函數(shù)f(x)就是區(qū)間I上的增函數(shù). 對于任意的兩個數(shù)x1，x2∈I，且當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么函數(shù)f(x)就是區(qū)間I上的減函數(shù).2. 導(dǎo)數(shù)的概念及其四則運算3、定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x) 在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù) 4、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x).②令f′(x) 0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f′(x)0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間. （二）、探究新課 例1、確定函數(shù)f(x)=x2－2x+4在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù). 解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1. ∴當x∈(1，+∞)時，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù).令2x－2＜0，解得x＜1. ∴當x∈(－∞，1)時，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù). 例2、確定函數(shù)f(x)=2x3－6x2+7在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù). 解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x，令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0 ∴當x∈(－∞，0)時，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù).當x∈(2，+∞)時，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù). 令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴當x∈(0，2)時，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù). 例3、證明函數(shù)f(x)=在(0，+∞)上是減函數(shù). 證法一：(用以前學(xué)的方法證)任取兩個數(shù)x1，x2∈(0，+∞)設(shè)x1＜x2. f(x1)－f(x2)=∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0 ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0， ∴＞0∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2) ∴f(x)= 在(0，+∞)上是減函數(shù). 證法二：(用導(dǎo)數(shù)方法證) ∵f′(x)=( )′=(－1)x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0. ∴f′(x)＜0， ∴f(x)= 在(0，+∞)上是減函數(shù). 例4、求函數(shù)y=x2(1－x)3的單調(diào)區(qū)間. 解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x23(1－x)2(－1) =x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2(2－5x) 令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜. ∴y=x2(1－x)3的單調(diào)增區(qū)間是(0，) 令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1.∵為拐點， ∴y=x2(1－x)3的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，0)，(，+∞) 例5、已知函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍． 解：，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，解之得：；所以實數(shù)的取值范圍為． 說明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解． （三）、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性. （四）、課堂練習：第62頁練習4 （五）、課后作業(yè)：1、求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 證明：因為 當即時，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 2、已知函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍． 解：，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，解之得： 所以實數(shù)的取值范圍為。 五、教后反思： 第四課時 函數(shù)的極值 一、教學(xué)目標：1、知識與技能：⑴理解函數(shù)極值的概念；⑵會求給定函數(shù)在某區(qū)間上的極值。 2、過程與方法：通過具體實例的分析，會對函數(shù)的極大值與極小值。3、情感、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生感悟由具體到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教學(xué)重點：函數(shù)極值的判定方法 教學(xué)難點：函數(shù)極值的判定方法 三、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、復(fù)習引入 1、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ；；；；； ；； 2、法則1 　 法則2 , 法則3 3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 4、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y=f(x) 在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)>0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)<0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù) 5、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x). ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間 （二）、探究新課 1、極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點 2、極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＞f(x0).就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點 3、極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值請注意以下幾點： （?。O值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小 （ⅱ）函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個 （ⅲ）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而> （ⅳ）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點 4、判別f(x0)是極大、極小值的方法:若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值 5、求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)；(2)求方程=0的根；(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值。 （三）、典例探析 例1、求的極值 解： 因為，所以。 下面分兩種情況討論：（1）當>0,即，或時；（2）當<0,即時.當x變化時， ，的變化情況如下表： -2 (-2,2) 2 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 因此，當時，有極大值，并且極大值為；當時，有極小值，并且極小值為。函數(shù)的圖像如圖所示。 例2、求y=(x2－1)3+1的極值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1 當x變化時，y′，y的變化情況如下表 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 － 0 － 0 + 0 + ↘ 無極值 ↘ 極小值0 ↗ 無極值 ↗ ∴當x=0時，y有極小值且y極小值=0 （四）、鞏固練習：1．求下列函數(shù)的極值.(1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x (1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x=.當x變化時，y′，y的變化情況如下表. － 0 + ↘ 極小值 ↗ ∴當x=時，y有極小值，且y極小值=－. (2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)，令y′=0，解得x1=－3，x2=3. 當x變化時，y′，y的變化情況如下表. -3 (-3,3) 3 + 0 － 0 + ↗ 極大值54 ↘ 極小值-54 ↗ ∴當x=－3時，y有極大值，且y極大值=54.當x=3時，y有極小值，且y極小值=－54 （五）、小結(jié)：函數(shù)的極大、極小值的定義以及判別方法.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的三個步驟.還有要弄清函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的，在整個定義區(qū)間可能有多個極值，且要在這點處連續(xù).可導(dǎo)函數(shù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點，要看這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否異號.函數(shù)的不可導(dǎo)點可能是極值點 求極值的具體步驟：第一，求導(dǎo)數(shù)f′(x).第二，令f′(x)=0求方程的根，第三，列表，檢查f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值，如果左右都是正，或者左右都是負，那么f(x)在這根處無極值.如果函數(shù)在某些點處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點是否是極值點 （六）、課后作業(yè)：課本P62 練習題（1）、（2） 課本習題3-1中 A組3 五、教后反思： 2 導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用 第五課時 函數(shù)的最大值與最小值（一） 一、教學(xué)目標：1、知識與技能：會求函數(shù)的最大值與最小值。2、過程與方法：通過具體實例的分析，會利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值。3、情感、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生感悟由具體到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教學(xué)重點：函數(shù)最大值與最小值的求法 教學(xué)難點：函數(shù)最大值與最小值的求法 三、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程： （一）、復(fù)習引入 1、極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點 2、極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＞f(x0).就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點 3、極大值與極小值統(tǒng)稱為極值注意以下幾點： （?。O值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小 （ⅱ）函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個 （ⅲ）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而> （ⅳ）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點 而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點 我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)．也就是說，如果是函數(shù)的極大（?。┲迭c，那么在點附近找不到比更大（?。┑闹担?，在解決實際問題或研究函數(shù)的性質(zhì)時，我們更關(guān)心函數(shù)在某個區(qū)間上，哪個至最大，哪個值最?。绻呛瘮?shù)的最大（?。┲担敲床恍。ù螅┯诤瘮?shù)在相應(yīng)區(qū)間上的所有函數(shù)值． （二）、探究新課 1、函數(shù)的最大值和最小值 觀察圖中一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象．圖中與是極小值，是極大值．函數(shù)在上的最大值是，最小值是． 結(jié)論：一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)在上必有最大值與最小值． 說明：⑴在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值； ⑵函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的． ⑶函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件． (4)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個 2、“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系 ⑴最值”是整體概念，是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對性；而“極值”是個局部概念，是比較極值點附近函數(shù)值得出的，具有相對性． ⑵從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一； ⑶函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個 ⑷極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值． 3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟: 由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了． 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求在內(nèi)的極值；⑵將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值 （三）、例題探析 例1、求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值 解：先求導(dǎo)數(shù)，得 令＝0即解得 導(dǎo)數(shù)的正負以及，如下表 X -2 （-2,-1） -1 （-1,0） 0 （0,1） 1 （1,2） 2 y/ － 0 ＋ 0 － 0 ＋ y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 從上表知，當時，函數(shù)有最大值13，當時，函數(shù)有最小值4 例2、已知,∈(0,+∞).是否存在實數(shù),使同時滿足下列兩個條件：（1）)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù)；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，說明理由. 解：設(shè)g(x)= ∵f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù) ∴g(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù). ∴ ∴ 解得 經(jīng)檢驗，a=1,b=1時，f(x)滿足題設(shè)的兩個條件。 （四）、課堂練習：1．下列說法正確的是( ) A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值 B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值 C.函數(shù)的最值一定是極值 D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值 2.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,則f′(x) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 3.函數(shù)y=，在［－1，1］上的最小值為( ) A.0 B.－2 C.－1 D. 4.函數(shù)y=的最大值為( )。A. B.1 C. D. 5.設(shè)y=|x|3,那么y在區(qū)間［－3，－1］上的最小值是( ) A.27 B.－3 C.－1 D.1 6.設(shè)f(x)=ax3－6ax2+b在區(qū)間［－1，2］上的最大值為3，最小值為－29，且a>b,則( ) A.a=2,b=29 B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=－2,b=－3 （五）、小結(jié) ：⑴函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點必在下列各種點之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點，導(dǎo)數(shù)不存在的點，區(qū)間端點；⑵函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件；⑶閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值。 （六）、作業(yè)布置：課本P69頁習題3-2A組2、4 五、教學(xué)反思： 第六課時 函數(shù)的最大值與最小值（二） 一、教學(xué)目標：理解并掌握函數(shù)最大值與最小值的意義及其求法.弄請函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系.養(yǎng)成“整體思維”的習慣，提高應(yīng)用知識解決實際問題的能力. 二、教學(xué)重點：求函數(shù)的最值及求實際問題的最值. 教學(xué)難點：求實際問題的最值.掌握求最值的方法關(guān)鍵是嚴格套用求最值的步驟，突破難點要把實際問題“數(shù)學(xué)化”，即建立數(shù)學(xué)模型. 三、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）復(fù)習引入 1．函數(shù)y = xe–x在x∈[0, 4]的最小值為（ A ） A．0 B． C． D． 2．給出下面四個命題. ①函數(shù)y = x2 – 5x + 4 (x∈[–1，3])的最大值為10，最小值為； ②函數(shù)y = 2x2 – 4x + 1 (x∈(2, 4))的最大值為17，最小值為1； ③函數(shù)y = x3 – 12x (x∈(–3, 3))的最大值為16，最小值為– 16； ④函數(shù)y = x3 – 12x (x∈(–2, 2))無最大值，也無最小值. 其中正確的命題有（ C ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 （二）、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟: 由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了． 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求在上的最大值與最小值的步驟如下： ⑴求在內(nèi)的極值； ⑵將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值 說明：⑴在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值； ⑵函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的． ⑶函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件． (4)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個 （三）典例探析 例1、求函數(shù)的最大值與最小值。 解析： 列表： - 0 + 0 - ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ ∴，， ， 練習：求函數(shù)的最大值與最小值。 例2、已知函數(shù)，（I）求函數(shù)在上的最大值和最小值.（II）過點作曲線的切線，求此切線的方程. 解析：（I）， 當或時，， 為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間 當時，， 為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間 又因為， 所以當時， 當時， （II）設(shè)切點為，則所求切線方程為 由于切線過點，， 解得或 所以切線方程為即 或 練習：已知函數(shù)。若f（x）在[-1，2]上的最大值為3，最小值為29，求：a、b的值 例3、已知a為實數(shù)，（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)；（Ⅱ）若，求在上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在和[2，+∞]上都是遞增的，求a的取值范圍。 解：(Ⅰ)由原式得 ∴ (Ⅱ)由 得,此時有. 由得或x=-1 , 又 所以f(x)在[--2,2]上的最大值為最小值為 (Ⅲ)的圖象為開口向上且過點(0,--4)的拋物線,由條件得 即 ∴--2≤a≤2. 所以a的取值范圍為[--2,2]. （四）、課堂小結(jié)：1、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點必在下列各種點之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點，導(dǎo)數(shù)不存在的點，區(qū)間端點； 2、函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件； 3、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值 4、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值方法． （五）課后作業(yè)：練習冊P41中2、4、5、7 五、教學(xué)反思： 第七課時 導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用（一） 一、教學(xué)目標：1、知識與技能：⑴讓學(xué)生掌握在實際生活中問題的求解方法；⑵會利用導(dǎo)數(shù)求解最值。2、過程與方法：通過分析具體實例，經(jīng)歷由實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程。3、情感、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生感悟由具體到抽象，由特殊到一般的思想方法 二、教學(xué)重點：函數(shù)建模過程 教學(xué)難點：函數(shù)建模過程 三、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、復(fù)習：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值和最值的方法 （二）、探究新課 例1、在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？ 解法一：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積 ． 令 ＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000 由題意可知，當x過小（接近0）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16 000是最大值答：當x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3 解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長為(60-2x)cm，則得箱子容積 ．（后面同解法一，略） 由題意可知，當x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點處．事實上，可導(dǎo)函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值 例2、圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最省？ 解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h，得，則 S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2 令 +4πR=0 解得，R=，從而h====2 即h=2R因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省 變式：當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最??？ 提示：S=2+h= V(R)=R= )=0 ． 例3、已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為．求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？ 分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格．由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤． 解：收入， 利潤 令，即，求得唯一的極值點答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大 （三）、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習了導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用. （四）、課堂練習：第69頁練習題 （五）、課后作業(yè)：第69頁A組中1、3 B組題。 五、教后反思： 第八課時 導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用（二） 一、教學(xué)目標：1、使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用；2、提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。 二、教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題． 教學(xué)難點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題． 三、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程： （一）．創(chuàng)設(shè)情景 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學(xué)習，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具．這一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題． （二）．新課探究 導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面： 1、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；3、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題； 4、效率最值問題。 解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具． 利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路： 建立數(shù)學(xué)模型 解決數(shù)學(xué)模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題的答案 （三）．典例分析 例1、海報版面尺寸的設(shè)計 學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空心面積最?。? 解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時四周空白面積為 。 求導(dǎo)數(shù)，得 。 令，解得舍去）。 于是寬為。 當時，<0；當時，>0. 因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。 答：當版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。 例2、飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 （1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？ 【背景知識】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm 問題：（１）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？（２）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最?。? 解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是 令 解得 （舍去） 當時，；當時，． 當半徑時，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高； 當半徑時， 它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低． （1）半徑為cm 時，利潤最小，這時，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值． （2）半徑為cm時，利潤最大． 換一個角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？ 有圖像知：當時，，即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當時，利潤才為正值． 當時，，為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為cm 時，利潤最?。? （四）．課堂練習 1．用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長0.5m,那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．（高為1.2 m，最大容積） 2．課本P65 練習題 （五）．回顧總結(jié)建立數(shù)學(xué)模型 ：1．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路： 解決數(shù)學(xué)模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題的答案 2．解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個有利的工具。 （六）．布置作業(yè)：1、一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得濕周l=AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h和下底邊長b. 解：由梯形面積公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b ∴AD=h+b, ∴S= ① ∵CD=,AB=CD.∴l(xiāng)=2+b ② 由①得b=h,代入②,∴l(xiāng)= l′==0,∴h=, 當h<時，l′<0,h>時，l′>0. ∴h=時，l取最小值，此時b= 2、已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y ＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長． 【解】設(shè)位于拋物線上的矩形的一個頂點為（x，y），且x ＞0，y ＞0， 則另一個在拋物線上的頂點為（－x，y），在x軸上的兩個頂點為（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2．設(shè)矩形的面積為S，則S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2．由S′（x）＝8－6 x2＝0，得x ＝，易知x ＝是S在（0，2）上的極值點，即是最大值點， 所以這種矩形中面積最大者的邊長為和． 【點評】應(yīng)用題求解，要正確寫出目標函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件．應(yīng)用題的分析中如確定有最小值，且極小值唯一，即可確定極小值就是最小值． 五、教后反思： 第九課時 導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用（三） 一、教學(xué)目標：1、使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用；2、提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。 二、教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題． 教學(xué)難點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題． 三、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、創(chuàng)設(shè)情景 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學(xué)習，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具．這一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題． （二）、新課探究 導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面： 1、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；3、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題； 4、效率最值問題。 解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具． 利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路： 建立數(shù)學(xué)模型 解決數(shù)學(xué)模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題的答案 （三）、典例分析 例1、磁盤的最大存儲量問題 計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常被稱為比特（bit）。 為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)。 問題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域． （1）是不是越小，磁盤的存儲量越大？（2）為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？ 解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)每磁道的比特數(shù)。 設(shè)存儲區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達。所以，磁盤總存儲量 （1）它是一個關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲量越大． （2）為求的最大值，計算． 令，解得當時，；當時，． 因此時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為 例2、汽油的使用效率何時最高 我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車的速度（單位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量是汽車速度的函數(shù)．根據(jù)你的生活經(jīng)驗，思考下面兩個問題： （1）是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”的含義是什么？ 分析：研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）．這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問題． 通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系． 從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題．因此，我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間關(guān)系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問題． 解：因為 這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求的最小值．從圖象上看，表示經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜率．進一步發(fā)現(xiàn)，當直線與曲線相切時，其斜率最?。诖饲悬c處速度約為90． 因此，當汽車行駛距離一定時，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為90．從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為 L． 例3、在經(jīng)濟學(xué)中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同，記為C(x)，出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x)，R(x)－C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x)。 （1）、如果C(x)＝，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際最低？(邊際成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個單位時成本的增加量) （2）、如果C(x)=50x＋10000，產(chǎn)品的單價P＝100－0.01x，那么怎樣定價，可使利潤最大？ 變式：已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為．求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？ 分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格．由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤． 解：收入， 利潤 令，即，求得唯一的極值點 答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大 （四）、課堂練習：在甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最??？ 解析 根據(jù)題意知，只有點C在線段AD上某一適當位置，才能使總運費最省，設(shè)C點距D點x km,則∵BD=40,AC=50－x, ∴BC= 又設(shè)總的水管費用為y元，依題意有 y=30(5a－x)+5a (0＜x＜50) y′=－3a+,令y′=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義， 函數(shù)在x=30(km)處取得最小值，此時AC=50－x=20(km)∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省 （五）．回顧總結(jié)建立數(shù)學(xué)模型 ：1．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路： 解決數(shù)學(xué)模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題 優(yōu)化問題的答案 2．解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個有利的工具。 （六）．布置作業(yè)：1、一書店預(yù)計一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費30元，每千冊書存放一年要耗庫費40元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分幾次進貨、每次進多少冊，可使所付的手續(xù)費與庫存費之和最少？ 【解】假設(shè)每次進書x千冊，手續(xù)費與庫存費之和為y元，由于該書均勻投放市場，則平均庫存量為批量之半，即，故有y ＝30＋40，y′＝－＋20， 令y′＝0，得x ＝15，且y″＝，f″(15)＞0，所以當x ＝15時，y取得極小值，且極小值唯一，故 當x ＝15時，y取得最小值，此時進貨次數(shù)為＝10（次）． 即該書店分10次進貨，每次進15000冊書，所付手續(xù)費與庫存費之和最少． 2、有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費用分別為每千米500元和700元，問水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費用最省？ 【解】設(shè)水廠D點與乙城到岸的垂足B點之間的距離為x千米，總費用為y元， 則CD ＝．y ＝500（50－x）＋700＝25000－500 x ＋700， y′＝－500＋700 (x 2＋1600) 2 x＝－500＋，令y′＝0，解得x ＝．答：水廠距甲距離為50－千米時，總費用最?。? 【點評】當要求的最大（?。┲档淖兞縴與幾個變量相關(guān)時，我們總是先設(shè)幾個變量中的一個為x，然后再根據(jù)條件x來表示其他變量，并寫出y的函數(shù)表達式f（x）． 五、教后反思： 第十課時 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用小結(jié)與復(fù)習 一、教學(xué)目標：1、知識與技能:① 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線、單調(diào)性、極大（?。┲狄约昂瘮?shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大（?。┲?；②利用導(dǎo)數(shù)求解一些實際問題的最大值和最小值。 2、過程與方法:①通過研究函數(shù)的切線、單調(diào)性、極大（?。┲狄约昂瘮?shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大（?。┲?，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力； ② 通過求解一些實際問題的最大值和最小值，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，以及數(shù)學(xué)建模能力。 3、情感態(tài)度、價值觀：逐步培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成運用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法思考問題、解決問題的習慣。 二、教學(xué)重難點：通過研究函數(shù)的切線、單調(diào)性、極大（?。┲狄约昂瘮?shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大（?。┲?，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力； 通過求解一些實際問題的最大值和最小值，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，以及數(shù)學(xué)建模能力。 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、知識點 1、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖： （二）重點導(dǎo)析： 1、本課主要內(nèi)容是小結(jié)導(dǎo)數(shù)和微分在研究函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用，即函數(shù)的單調(diào)性、極大(小)值、最大(小)值，以及運用導(dǎo)數(shù)和微分來解決實際問題．其知識要點如下表所示． 2、對于函數(shù)單調(diào)性的判定，強調(diào)：(1)判別法的依據(jù)是導(dǎo)數(shù)的幾何意義；(2)在(a，b)內(nèi)f′(x)＞0(f′(x)＜0)是使f(x)在(a，b)內(nèi)遞增或遞減的充分條件而非必要條件，例f(x)＝x3在(－∞，＋∞)內(nèi)遞增，并不要求在(－∞，＋∞)內(nèi)f′(x)＞0． 3、關(guān)于極值問題，仍然要注意以下問題：(1)極值點未必可導(dǎo)點；(2)f′(x0)＝0時，f(x0)未必是極值；(3)極大值未必大于極小值． 4．關(guān)于函數(shù)的最值：切實掌握求最值的步驟和方法外，應(yīng)說明極值和最值的關(guān)系，以及f(x)在[a，b]內(nèi)連續(xù)是使f(x)在[a，b]內(nèi)有最大值和最小值的充分條件而非必要條件． （三）、例題探析 例1、求函數(shù)y＝x4－2x2＋5在閉區(qū)間[－2，2]上的極值、最值，討論其在[－2，2]上的各個單調(diào)區(qū)間．(可叫學(xué)生演板) 例2、已知函數(shù)f(x)＝alg(2-ax)(a＞0，且a≠1)在定義域[0，1]上是減函數(shù)，求a的取值范圍． 分析：因為f(x)在[0，1]上是減函數(shù)，所以在[0，1]上必有f′(x)＜0．由f′(x)＜0得不等式，可由不等式求出a的取值范圍． 例3、如圖，兩個工廠A、B相距0.6km，A、 B距電站C都是0.5 km．計劃鋪設(shè)動力線，先由C沿AB的垂線至D，再與A、B相連．D點選在何處時，動力線總長最短？ 分析：據(jù)題意應(yīng)知三角形ADB是等腰三角形，DE是其高線．故可設(shè)DE為x km．由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5，得AE＝EB＝0.3． 動力線總長l 故D點選在距AB 0.17千米處時，動力線最短． （四）、課堂練習：復(fù)習參考題三A組1(1)題、（2）題 （五）、課堂內(nèi)容小結(jié)：(1)本節(jié)知識要點；(2)例題涉及的知識點、難點；(3