2019-2020年高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 第六課時 等差數(shù)列的前n項和教案(二) 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 第六課時 等差數(shù)列的前n項和教案(二) 蘇教版必修5教學目標:進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式,了解等差數(shù)列的一些性質(zhì),并會用它們解決一些相關問題;提高學生的應用意識.教學重點:熟練掌握等差數(shù)列的求和公式.教學難點:靈活應用求和公式解決問題.教學過程:.復習回顧通項公式:ana1(n1)d,求和公式:Snna1d.講授新課下面結(jié)合這些例子,來看如何應用上述知識解決一些相關問題.例1求集合Mmm7n,nN*,且m100的元素個數(shù),并求這些元素的和.分析:滿足條件的n的取值個數(shù)即為集合M的元素個數(shù),這些元素若按從小到大排列,則是一等差數(shù)列.解:由m100,得7n100,即n14所以滿足上面不等式的正整數(shù)n共有14個,即集合M中的元素共有14個,將它們從小到大可列出,得:7,72,73,74,714,即:7,14,21,28,98這個數(shù)列是等差數(shù)列,記為an,其中a17,a1498,n14則S14735答:集合M中共有14個元素,它們和等于735.這一例題表明,在小于100的正整數(shù)中共有14個數(shù)是7的倍數(shù),它們的和是735.例2已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310,前20項的和是1220,由此可以確定求其前n項和的公式嗎?分析:將已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式后,可得到兩個關于a1與d的關系,然后確定a1與d,從而得到所求前n項和的公式.解:由題意知S10310,S201220將它們代入公式Snna1d,得到解這個關于a1與d的方程組,得到a14,d6所以Sn4n63n2n這就是說,已知S10與S20,可以確定這個數(shù)列的前n項和的公式,這個公式是Sn3n2n.下面,同學們再來思考這樣一個問題:例3已知數(shù)列an是等差數(shù)列,Sn是其前n項和.求證:S6,S12S6,S18S12成等差數(shù)列,設其kN*,Sk,S2kSk,S3kS2k成等差數(shù)列嗎?解:設an的首項是a1,公差為d,則S3a1a2a3S6S3a4a5a6(a13d)(a23d)(a33d)(a1a2a3)9dS39dS9S6a7a8a9(a43d)(a53d)(a63d)(a4a5a6)9d(S6S3)9dS318dS3,S6S3,S9S6成等差數(shù)列.同理可得Sk,S2kSk,S3kS2k成等差數(shù)列.Ska1a2ak(S2kSk)ak+1ak+2a2k(a1kd)(a2kd)(akkd)(a1a2ak)k2dSkk2d(S3kS2k)a2k+1a2k+2a3k(ak+1kd)(ak+2kd)(a2kkd)(ak+1ak+2a2k)k2d(S2kSk)k2dSk,S2kSk,S3kS2k是以Sk為首項,k2d為公差的等差數(shù)列.例4已知數(shù)列an是等差數(shù)列,a10,S9S17,試問n為何值時,數(shù)列的前n項和最大?最大值為多少?分析:要研究一個等差數(shù)列的前n項和的最大(?。﹩栴},有兩條基本途徑;其一是利用Sn是n的二次函數(shù)關系來考慮;其二是通過考察數(shù)列的單調(diào)性來解決.解法一:S9S17,S99a136d,S1717a1136d9a136d17a1136d,8a1100d,即da10Snna1dna1(a1)na1a1a1 (n226n)a1 (n13)2a1a10, 當n13,Sn有最大值.最大值為a1. 解法二:由a10,d0,可知此數(shù)列為從正項開始的遞減數(shù)列:a1a2a3a4故n在某一時刻,必然會出現(xiàn)負項,此時前n項的和開始減少,因此,要使Sn最大,n必須使得an0,且an+10.即 解得 n. n13此時,Sn最大,S1313a1da1.評述:解法一利用Sn是n的二次函數(shù)關系,歸納為求二次函數(shù)的最值問題,不過要注意自變量n是正整數(shù);解法2是從研究數(shù)列的單調(diào)性及項的正負進而研究前n項和Sn的最大值,方法更具有一般性.例5在數(shù)列an中,a11,an+1,求數(shù)列anan+1的前n項和.分析:要求數(shù)列anan+1的前n項和,需要先求數(shù)列an的通項公式.解:由已知得為首項為 1,公差為的等差數(shù)列.1(n1),anSna1a2a2a3anan+14()()()4().例6設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a312,S120,S130.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出S1,S2,S12中哪一個值最大?并說明理由.(1)分析:由S120,S130列不等式組求之.解:依題設有即將a312,即a1122d代入上式得解得d3(2)分析一:寫出Sn的表達式Snf(n)An2Bn.配方確定Sn的最大值.解法一:Snna1dn(122d)dn(5)2(5)2 d0,n (5)2最小時,Sn最大.當d3時,6(5)6.5正整數(shù)n6時,n (5)2y最小,S6最大.分析二:由d0知an是單調(diào)遞減的,要使Sn最大,應有an0,an+10.解法二:由d0,可知a1a2a12a13要使1n12中存在自然數(shù)n,使得an0,an+10,則Sn就是S1,S2,S12中的最大值.由知a6a70,a70a6a70,a60,a70.故在S1,S2,S12中S6的值最大.解法三:由S120,S130得, 即也即a60且a70,S6最大.解法四:由a1122d,d3得,即5.5n7nN*,n6,即S6最大.例7首項為正數(shù)的等差數(shù)列an,它的前三項之和與前十一項之和相等,問此數(shù)列前多少項之和最大?解法一:由S3S11得:3a1d11a1d,解之得da10Snna1da1n2a1na1(n7)2a1故當n7時,Sn最大,即前7項之和最大.解法二:由解得:n,n7,即前7項之和最大.解法三:由da10,a80. 前7項之和最大.評述:解法三利用等差數(shù)列的性質(zhì),解得簡單,易懂.等差數(shù)列的前n項和Sn,在d0且an+10的n值;二是由Snna1dn2(a1)n,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.例8數(shù)列an是等差數(shù)列,a150,d0.6.(1)求從第n項開始有an0;(2)求此數(shù)列的前n項和的最大值.分析:對于(1)實質(zhì)上是解一個不等式 ,但要注意nN*.對于(2)實際上是研究Sn隨n的變化規(guī)律,由于等差數(shù)列中Sn是關于n的二次函數(shù),可以用二次函數(shù)方法處理,也可以由an的變化,推測Sn的變化.解:(1)a150,d0.6an500.6(n1)0.6n50.6.令0.6n50.60,解之得:n84.3由nN*.故當n85時,an0,即從第85項起以后的各項均小于0.(2)解法一:d0.60由(1)知a840,a850.S1S2S85S86(Sn)maxS845084(0.6)2108.4.解法二:Sn50n(0.6)0.3n250.3n0.3(n)2當n取接近于的自然數(shù),即n84時,Sn達到最大值S842108.4評述:不是常數(shù)列的等差數(shù)列,不遞增必遞減,因而若有連續(xù)兩項ak,ak+1異號,則Sk必為Sn的最大或最小值.下面對此類問題作一下較為深入的探究.在非常數(shù)列的等差數(shù)列中,當d0,d0,且a10,則有0a1a2a3an1anS1S2S3Sn1Sn0,且a10,則一定存在某一自然數(shù)k,使a1a2a3ak0ak+1ak+2an1an或a1a2a3ak0ak+1ak+2an1anS1S2Sk,且SkSk+1Sk+2SnSn的最小值是Sk.(3)若d0,必存在自然數(shù)k使a1a2a3ak0ak+1ak+2an或a1a2a3ak0ak+1ak+2an則S1S2S3Sk+1SnSn的最大值是Sk.(4)若da2a3an1anS1S2S3Sn1SnSn的最大值是S1.第二種思考:Snna1dn2(a1)n n2n()2()2由二次函數(shù)的最大、最小值知識及nN*,知:當n取最接近的自然數(shù)時,Sn取到最大值(或最小值),值得注意的是最接近的自然數(shù)有時1個,有時2個.例9有30根水泥電線桿,要運往1000米遠的地方開始安裝,在1000米處放一根,以后每50米放一根,一輛汽車每次只能運三根,如果用一輛汽車完成這項任務,這輛汽車的行程共有多少公里?解法一:如圖所示:假定30根水泥電線桿存放M處.a1|Ma|1000(M)a2|Mb|1050(M)a3|MC|1100(M)a6a35031250(M)a30a31509(M)由于一輛汽車每次只能裝3根,故每運一次只能到a3,a6,a9,a30這些地方,這樣組成公差為150 M,首項為1100的等差數(shù)列,令汽車行程為S,則有:S2(a3a6a30)2(a3a31501a31509)2(10a31509)2(110006750)m35.5(公里)答:這輛汽車行程共有35.5公里.解法二:根據(jù)題設和汽車需運送十次,可得一等差數(shù)列an,其中a1100,d150,n10則S1010a1d7750 m所以總共行程為(77502100020)m35.5公里答:略.解法三:根據(jù)題意和汽車每次走的路程可構(gòu)成一個等差數(shù)列,其中a1(1000502)22200 m,a2(1000505)22500 md1502300 m項數(shù)共有10項.Sn10a1d102200 m59300 m35.5(公里)答:略.例10有一種零存整取的儲蓄項目,它是每月某日存入一筆相同金額,這是零存;則到一定時期到期,可以提出全部本金及利息,這是整取,它的本利和公式如下:本利和每期存入金額存期存期(存期1)利率.(1)試解釋這個本利和公式;(2)若每月初存入100元,月利率5.1,到第12個月底的本利和是多少?(3)若每月初存入一筆金額,月利率是5.1,希望到第12個月底取得本利和xx元,那么應每月存入多少金額?分析:存款儲蓄不是復利計息,若存入金額為A,月利率為p,則n個月后的利息是nAp.解:(1)設每期存入金額A,每期利率p,存的期數(shù)為n,則各期利息之和為:Ap2Ap3ApnApn(n1)Ap.連同本金,就得本利和nAn(n1)ApAnn(n1)p.(2)當A100,p5.1,n12時,本利和100(1212135.1)1239.78(元)(3)將(1)中公式變形,得A161.32(元)即每月應存入161.32元.評述:這是兩道等差數(shù)列求和的應用題,對于應用問題首先是根據(jù)問題給出的已知條件建立數(shù)學模型,然后解此數(shù)學問題,最后再回到應用問題作出結(jié)論.課堂練習課本P44練習1,2,3,4.課時小結(jié)通過本節(jié)學習,要能靈活應用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式解決一些相關問題.另外,需注意一重要結(jié)論:若一數(shù)列為等差數(shù)列,則Sk,S2kSk,S3kS2k也成等差數(shù)列.課后作業(yè)課本P45習題 4,5,6,7,8- 配套講稿:
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