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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 橢圓的幾何性質(zhì) 教案 蘇教版選修1-1 教學(xué)目標(biāo) （1）掌握橢圓的基本幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、離心率； （2）掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中、、、的幾何意義及相互關(guān)系； （3）感受如何運(yùn)用方程研究曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)． 教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn) 運(yùn)用方程研究曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)． 教學(xué)過(guò)程 一．問(wèn)題情境 1．情境： 復(fù)習(xí)回顧：橢圓的定義；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓中、、的關(guān)系 2．問(wèn)題： 在建立了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后，就可以通過(guò)方程來(lái)研究橢圓的幾何性質(zhì)．那么橢圓有哪些幾何性質(zhì)呢？ 二．學(xué)生活動(dòng) 學(xué)生通過(guò)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的圖象嘗試觀察、、在圖象中的體現(xiàn)． 三．建構(gòu)數(shù)學(xué) １．范圍 由方程可知，橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)都適合不等式， 即，所以 ．同理可得． 這說(shuō)明橢圓位于直線(xiàn)和所圍成的矩形內(nèi)． 2．對(duì)稱(chēng)性： 從圖形上看：橢圓關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)． 從方程上看：（1）把換成方程不變，說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)在橢圓上時(shí)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在橢圓上，所以橢圓的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)； （2）把換成方程不變，所以橢圓的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)； （3）把換成，同時(shí)把換成方程不變，所以橢圓的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)． 綜上：坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱(chēng)中心．橢圓的對(duì)稱(chēng)中心叫做橢圓的中心． ３．頂點(diǎn)： 在方程中，令，得，說(shuō)明點(diǎn)，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)．同理，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)． (1)頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱(chēng)軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)； (2)長(zhǎng)軸、短軸：線(xiàn)段、線(xiàn)段分別叫橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于和； (3) 、的幾何意義：是長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)，是短半軸的長(zhǎng)． ４．離心率： 橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比，叫做橢圓的離心率． 說(shuō)明：（１）因?yàn)樗裕? （２）越接近，則越接近，從而越小，因此橢圓越扁； 反之，越接近于，越接近于，從而越接近于，這時(shí)橢圓就接近于圓； （３）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，這時(shí)兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，但本教材規(guī)定圓與橢圓是不同的曲線(xiàn)，有些書(shū)將圓看成特殊的橢圓； （４）試讓學(xué)生通過(guò)探究的大小變化來(lái)發(fā)現(xiàn)＂扁＂的程度． 四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1．例題： 例1．求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，離心率，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫(huà)出這個(gè)橢圓． 分析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，則橢圓位于四條直線(xiàn)，所圍成的矩形內(nèi)．又橢圓以?xún)勺鴺?biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，所以只要畫(huà)出第一象限的圖形就可以畫(huà)出整個(gè)圖象． 解：根據(jù)橢圓的方程，得，，．因此，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸． 焦點(diǎn)為和，頂點(diǎn)為，，，． 離心率． 將方程變形為，根據(jù)算出橢圓在第一象限的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)： 說(shuō)明：①本題在畫(huà)圖時(shí)，利用了橢圓的對(duì)稱(chēng)性，利用圖形的幾何性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化畫(huà)圖過(guò)程，保證圖形的準(zhǔn)確性． ②根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，用下面方法可以快捷地畫(huà)出反映橢圓基本形狀和大小的草圖：以橢圓的長(zhǎng)軸、短軸為鄰邊畫(huà)矩形；由矩形四邊的中點(diǎn)確定橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)；用曲線(xiàn)將四個(gè)頂點(diǎn)連成一個(gè)橢圓，畫(huà)圖時(shí)要注意它們的對(duì)稱(chēng)性及頂點(diǎn)附近的平滑性． 例２．求符合下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程： （１）焦距為，離心率為． （２）焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較接近的端點(diǎn)的距離為，焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直． 解：（１）由題意：因?yàn)?，所以；又因?yàn)?，所以，所以? 焦點(diǎn)在軸上時(shí)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：；焦點(diǎn)在軸上時(shí)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：． （２）由題意：，，，所以解得，， 焦點(diǎn)在軸上時(shí)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：；焦點(diǎn)在軸上時(shí)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：． 五．回顧小結(jié)： 1．橢圓的基本幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、離心率； 2．橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中、、、的幾何意義及相互關(guān)系．