2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測(cè) 新人教A版選修2-2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測(cè) 新人教A版選修2-2一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1觀察數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,的特點(diǎn),按此規(guī)律,則第100項(xiàng)為()A10B14C13D100答案B解析設(shè)nN*,則數(shù)字n共有n個(gè),所以100即n(n1)200,又因?yàn)閚N*,所以n13,到第13個(gè)13時(shí)共有91項(xiàng),從第92項(xiàng)開(kāi)始為14,故第100項(xiàng)為14.2有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎(jiǎng),有人走訪(fǎng)了四位歌手,甲說(shuō):“是乙或丙獲獎(jiǎng)”乙說(shuō):“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”丙說(shuō):“我獲獎(jiǎng)了”丁說(shuō):“是乙獲獎(jiǎng)”四位歌手的話(huà)只有兩名是對(duì)的,則獲獎(jiǎng)的歌手是()A甲B乙C丙D丁答案C解析若甲獲獎(jiǎng),則甲、乙、丙、丁說(shuō)的都是錯(cuò)的,同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況,最后可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙3(xx棗莊一模)用數(shù)學(xué)歸納法證明“11)”時(shí),由nk(k1)不等式成立,推證nk1時(shí),左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A2k1B2k1C2kD2k1答案C解析左邊的特點(diǎn)是分母逐漸增加1,末項(xiàng)為;由nk時(shí),末項(xiàng)為到nk1時(shí)末項(xiàng)為,應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為2k.故選C.點(diǎn)評(píng)本題是基礎(chǔ)題,考查用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的第二步,項(xiàng)數(shù)增加多少問(wèn)題,注意表達(dá)式的形式特點(diǎn),找出規(guī)律是關(guān)鍵4下列說(shuō)法正確的是()A“ab”是“am2bm2”的充要條件B命題“xR,x3x210”的否定是“xR,x3x210”C“若a、b都是奇數(shù),則ab是偶數(shù)”的逆否命題是“若ab不是偶數(shù),則a、b不都是奇數(shù)”D若pq為假命題,則p、q均為假命題答案C解析A中“ab”是“am20”,故B錯(cuò);C正確;D中pq為假命題,則p、q中至少有一個(gè)為假命題,故D錯(cuò)5(xx東北三校模擬) 下列代數(shù)式(其中kN*)能被9整除的是()A667kB27k1C2(27k1)D3(27k)答案D解析特值法:當(dāng)k1時(shí),顯然只有3(27k)能被9整除,故選D.證明如下:當(dāng)k1時(shí),已驗(yàn)證結(jié)論成立,假設(shè)當(dāng)kn(nN*)時(shí),命題成立,即3(27n)能被9整除,那么3(27n1)21(27n)36.3(27n)能被9整除,36能被9整除,21(27n)36能被9整除,這就是說(shuō),kn1時(shí)命題也成立故命題對(duì)任何kN*都成立6已知f(n),則()Af(n)中共有n項(xiàng),當(dāng)n2時(shí),f(2)Bf(n)中共有n1項(xiàng),當(dāng)n2時(shí),f(2)Cf(n)中共有n2n項(xiàng),當(dāng)n2時(shí),f(2)Df(n)中共有n2n1項(xiàng),當(dāng)n2時(shí),f(2)答案D解析項(xiàng)數(shù)為n2(n1)n2n1,故應(yīng)選D.7已知abc0,則abbcca的值()A大于0B小于0C不小于0D不大于0答案D解析解法1:abc0,a2b2c22ab2ac2bc0,abacbc0.解法2:令c0,若b0,則abbcac0,否則a、b異號(hào),abbcacab0,排除A、B、C,選D.8已知c1,a,b,則正確的結(jié)論是()AabBabCabDa、b大小不定答案B解析a,b,因?yàn)?,0,所以0,所以a0),觀察:f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x),f3(x)f(f2(x),f4(x)f(f3(x),根據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得:當(dāng)nN*且n2時(shí),fn(x)f(fn1(x)_.答案解析觀察f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)的表達(dá)式可見(jiàn),fn(x)的分子為x,分母中x的系數(shù)比常數(shù)項(xiàng)小1,常數(shù)項(xiàng)依次為2,4,8,162n.故fn(x).15(xxxx廈門(mén)六中高二期中)在平面上,我們用一直線(xiàn)去截正方形的一個(gè)角,那么截下的一個(gè)直角三角形,按如圖所標(biāo)邊長(zhǎng),由勾股定理有c2a2b2.設(shè)想正方形換成正方體,把截線(xiàn)換成如圖截面,這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN,如果用S1、S2、S3表示三個(gè)側(cè)面面積,S表示截面面積,那么類(lèi)比得到的結(jié)論是_答案S2SSS解析類(lèi)比如下:正方形正方體;截下直角三角形截下三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐;直角三角形斜邊平方三棱錐底面面積的平方;直角三角形兩直角邊平方和三棱錐三個(gè)側(cè)面面積的平方和,結(jié)論S2SSS.證明如下:如圖,作OE平面LMN,垂足為E,連接LE并延長(zhǎng)交MN于F,LOOM,LOON,LO平面MON,MN平面MON,LOMN,OEMN,MN平面OFL,SOMNMNOF,SMNEMNFE,SMNLMNLF,OF2FEFL,S(MNOF)2(MNFE)(MNFL)SMNESMNL,同理SSMLESMNL,SSNLESMNL,SSS(SMNESMLESNLE)SMNLS,即SSSS2.16(xxxx洛陽(yáng)部分重點(diǎn)中學(xué)質(zhì)量檢測(cè))觀察下列等式:1,1,1,由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論:對(duì)于nN*,_.答案1解析由已知中的等式:11,1,所以對(duì)于nN*,1.三、解答題(本大題共6個(gè)大題,共74分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)17(本題滿(mǎn)分12分)已知:a、b、cR,且abc1.求證:a2b2c2.證明由a2b22ab,及b2c22bc,c2a22ca.三式相加得a2b2c2abbcca.3(a2b2c2)(a2b2c2)2(abbcca)(abc)2.由abc1,得3(a2b2c2)1,即a2b2c2.18(本題滿(mǎn)分12分)我們知道,在ABC中,若c2a2b2,則ABC是直角三角形現(xiàn)在請(qǐng)你研究:若cnanbn(n2),問(wèn)ABC為何種三角形?為什么?解析銳角三角形cnanbn (n2),ca, cb,由c是ABC的最大邊,所以要證ABC是銳角三角形,只需證角C為銳角,即證cosC0.cosC,要證cosC0,只要證a2b2c2,注意到條件:anbncn,于是將等價(jià)變形為:(a2b2)cn2cn.ca,cb,n2,cn2an2,cn2bn2,即cn2an20,cn2bn20,從而(a2b2)cn2cn(a2b2)cn2anbna2(cn2an2)b2(cn2bn2)0,這說(shuō)明式成立,從而式也成立故cosC0,C是銳角,ABC為銳角三角形19(本題滿(mǎn)分12分)(xx吉林市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中)橢圓與雙曲線(xiàn)有許多優(yōu)美的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)對(duì)于橢圓1(ab0)有如下命題:AB是橢圓1(ab0)的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且不過(guò)原點(diǎn)的弦,M為AB的中點(diǎn),則kOMkAB為定值那么對(duì)于雙曲線(xiàn)1(a0,b0),則有命題:AB是雙曲線(xiàn)1(a0,b0)的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且不過(guò)原點(diǎn)的弦,M為AB的中點(diǎn),猜想kOMkAB的值,并證明解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),則有kOM,kAB,即kOMkAB.將A、B坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程1中可得:11得:,即kOMkAB.20(本題滿(mǎn)分12分)若x0,y0,用分析法證明:(x2y2)(x3y3).證明要證(x2y2)(x3y3),只需證(x2y2)3(x3y3)2,即證x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6,即證3x4y23y4x22x3y3.又因?yàn)閤0,y0,所以x2y20,故只需證3x23y22xy.而3x23y2x2y22xy成立,所以(x2y2)(x3y3)成立21(本題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)ax(a1)(1)證明:函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù);(2)用反證法證明方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根解析(1)證法1:任取x1、x2(1,),不妨設(shè)x10,ax2x11且ax10,ax2ax1ax1(ax2x11)0,又x110,x210,0,于是f(x2)f(x1)ax2ax10,故函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù)證法2:f (x)axlnaaxlnaa1,lna0,axlna0,f (x)0在(1,)上恒成立,即f(x)在(1,)上為增函數(shù)(2)解法1:設(shè)存在x00(x01)滿(mǎn)足f(x0)0,則ax0,且0ax01.01,即x02,與假設(shè)x00矛盾故方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根解法2:設(shè)x00(x01),若1x00,則2,ax01,f(x0)1.若x00,ax00,f(x0)0.綜上,x0(x1)時(shí),f(x)0,即方程f(x)0無(wú)負(fù)數(shù)根22(本題滿(mǎn)分14分)設(shè)數(shù)列a1,a2,an,中的每一項(xiàng)都不為0.證明an為等差數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任何nN,都有.分析本題考查等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與充要條件等有關(guān)知識(shí),考查推理論證、運(yùn)算求解能力解題思路是利用裂項(xiàng)求和法證必要性,再用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法證明充分性證明先證必要性設(shè)數(shù)列an的公差為d.若d0,則所述等式顯然成立若d0,則.再證充分性證法1:(數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)所述的等式對(duì)一切nN都成立首先,在等式兩端同乘a1a2a3,即得a1a32a2,所以a1,a2,a3成等差數(shù)列,記公差為d,則a2a1d.假設(shè)aka1(k1)d,當(dāng)nk1時(shí),觀察如下兩個(gè)等式,將代入,得,在該式兩端同乘a1akak1,得(k1)ak1a1kak.將aka1(k1)d代入其中,整理后,得ak1a1kd.由數(shù)學(xué)歸納法原理知,對(duì)一切nN,都有ana1(n1)d,所以an是公差為d的等差數(shù)列證法2:(直接證法)依題意有,.得,在上式兩端同乘a1an1an2,得a1(n1)an1nan2.同理可得a1nan(n1)an1(n2)得2nan1n(an2an)即an2an1an1an,由證法1知a3a2a2a1,故上式對(duì)任意nN*均成立所以an是等差數(shù)列- 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