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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 算法案例教案 蘇教版必修3(1) 總 課 題 算法案例 總課時 第 9 課時 分 課 題 算法案例 分課時 第 1 課時 教學(xué)目標(biāo) 通過了解中國古代算法案例，體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)． 重點(diǎn)難點(diǎn) 通過案例分析，體會算法思想，熟練算法設(shè)計． 1例題剖析 【案例1】 韓信是秦末漢初的著名軍事家，據(jù)說有一次漢高祖劉邦在衛(wèi)士的簇?fù)硐聛淼骄毐鴪?，劉邦問韓信有什么辦法，不要逐個報數(shù)，就能知道場上士兵的人數(shù)． 韓信先令士兵排成3列縱隊，結(jié)果有2人多余；接著他立刻下令將隊形改為5列縱隊，這一改，又多出3人；隨后他又下令改為7列縱隊，這一次又剩下2人無法成整行．韓信看此情形，立刻報告共有士兵2333人． 眾人都愣了，不知韓信用什么辦法清點(diǎn)出準(zhǔn)確人數(shù)的． 這個故事是否屬實，已無從查考，但這個故事卻引出一個著名的數(shù)學(xué)問題，即聞名世界的“孫子問題”． 這種神機(jī)妙算，最早出現(xiàn)在我國《算經(jīng)十書》之一的《孫子算經(jīng)》中，原文是：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？答曰：二十三．” 所以人們將這種問題的通用解法稱為“孫子剩余定理”或“中國剩余定理”． 【算法設(shè)計思想】 “孫子問題”相當(dāng)于求關(guān)于的不定方程組的整數(shù)解． 設(shè)所求的數(shù)為，根據(jù)題意，應(yīng)同時滿足下列三個條件： （1）被除后余，即； （2）被除后余，即； （3）被除后余，即； 首先，從開始檢驗條件，若個條件中有任何一個不滿足，則遞增，當(dāng)同時滿足個條件時，輸出． 【流程圖】 【偽代碼】 【案例2】 寫出求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的一個算法． 公元前3世紀(jì)，歐幾里得介紹了求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法，即求出一列數(shù)：，這列數(shù)從第三項開始，每一項都是前兩項相除所得的余數(shù)（即），余數(shù)等于的前一項，即是和的最大公約數(shù)，這種方法稱為“歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法”． 【算法設(shè)計思想】 歐幾里得展轉(zhuǎn)相除法求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的步驟是：計算出的余數(shù)，若，則即為的最大公約數(shù)；若，則把前面的除數(shù)作為新的被除數(shù)，把余數(shù)作為新的除數(shù)，繼續(xù)運(yùn)算，直到余數(shù)為，此時的除數(shù)即為的最大公約數(shù)． 求的最大公約數(shù)的算法為： 輸入兩個正整數(shù)； 如果，那么轉(zhuǎn)，否則轉(zhuǎn)； ； ； ，轉(zhuǎn)； 輸出． 【流程圖】 【偽代碼】 【案例3】 寫出方程在區(qū)間內(nèi)的一個近似解（誤差不超過）的一個算法． 【算法設(shè)計思想】 如下圖：如果設(shè)計出方程在某區(qū)間內(nèi)有一個根，就能用二分搜索求得符合誤差限制的近似解． 算法步驟可表示為： 取的中點(diǎn)，將區(qū)間一分為二； 若，則就是方程的根，否則判斷根在的左側(cè)還是右側(cè)； 若，則，以代替； 若，則，以代替； 若，計算終止，此時，否則轉(zhuǎn)． 【流程圖】 【偽代碼】 1鞏固練習(xí) 1．下面一段偽代碼的目的是______________________________________________． ， While c m n While 注明：案例3的圖 2．在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖像，根據(jù)圖像判斷方程的解的范圍，再用二分法求這個方程的近似解（誤差不超過），并寫出這個算法的偽代碼，畫出流程圖． 1課堂小結(jié) 通過案例分析，體會算法思想，熟練算法設(shè)計，進(jìn)一步理解算法的基本思想，在分析案例的過程中設(shè)計規(guī)范合理的算法．1課后訓(xùn)練 班級：高二（ ）班 姓名：____________ 一　基礎(chǔ)題 1．一種放射性物質(zhì)不斷變化為其它物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留下來的物質(zhì)的質(zhì)量約為原來，那么，約經(jīng)過多少年，剩留的質(zhì)量是原來的一半？試寫出運(yùn)用二分法計算這個近似值的偽代碼． 2．設(shè)計一個算法，計算兩個正整數(shù)的最小公倍數(shù)． 二　提高題 3．判斷某年份是否為閏年，要看此年份數(shù)能否被整除．若不能被整除則是平年，月是天；若能被整除但不能被整除，則該年是閏年，月是天；若能被整除又能被整除，還要看能否被整除，若能則為閏年，否則為平年． 畫出上述算法的流程圖，并寫出偽代碼． 4．我國古代勞動人民對不定方程的研究作出過重要貢獻(xiàn)，其中《張丘建算經(jīng)》中的“百雞問題”就是一個很有影響力的不定方程問題，今有雞翁一值錢五，雞母一值錢三，雞雛三值錢一，凡百錢買百只，問雞翁、雞母、雞雛各幾何． 其意思是： 一只公雞的價格是錢，一只母雞的價格是錢，三只小雞的價格是錢，想用錢買只雞，問公雞、母雞、小雞個買幾只．設(shè)分別代表公雞、母雞、小雞的只數(shù)，我們可以大致確定的取值范圍：若錢全買公雞，則最多可買只，即的取值范圍是；若錢全買母雞，則最多可買只，即的取值范圍是；當(dāng)在各自的范圍內(nèi)確定后，小雞的只數(shù)也就確定了． 根據(jù)上述算法思想，畫出求解的流程圖，并寫出相應(yīng)的偽代碼．