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2019-2020年高中數(shù)學《導數(shù)的概念》教案3 新人教A版選修1-1 教學目的： 1.理解導數(shù)的概念，學會求函數(shù)在一點處的導數(shù)的方法. 2.理解掌握開區(qū)間內(nèi)的導數(shù)概念，會求一個函數(shù)的導數(shù). 3.理解函數(shù)在一點處可導，則函數(shù)在這點連續(xù) 教學重點：導數(shù)的定義與求導數(shù)的方法. 教學難點：導數(shù)概念的理解，通過曲線切線的斜率與瞬時速度引出導數(shù)的概念，從導數(shù)的定義歸納出求導數(shù)的方法. 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、復習引入： １．曲線的切線 如圖，設曲線c是函數(shù)的圖象，點是曲線 c 上一點作割線PQ當點Q 沿著曲線c無限地趨近于點P，割線PQ無限地趨近于某一極限位置PT我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線c在點P 處的切線 2.確定曲線c在點處的切線斜率的方法： 因為曲線c是給定的，根據(jù)解析幾何中直線的點斜是方程的知識，只要求出切線的斜率就夠了設割線PQ的傾斜角為，切線PT的傾斜角為，既然割線PQ 的極限位置上的直線PT 是切線，所以割線PQ 斜率的極限就是切線PQ的斜率tan,即 tan= 3.瞬時速度定義：運動物體經(jīng)過某一時刻(某一位置)的速度，叫做瞬時速度. 4. 確定物體在某一點A處的瞬時速度的方法： 從t0到t0+Δt，這段時間是Δt. 時間Δt足夠短，就是Δt無限趨近于0. 當Δt→0時，平均速度就越接近于瞬時速度，用極限表示瞬時速度 瞬時速度 二、講解新課： 1.導數(shù)的定義：設函數(shù)在處附近有定義，當自變量在處有增量時，則函數(shù)相應地有增量，如果時，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導數(shù)，記作，即 注意：(1)函數(shù)應在點的附近有定義，否則導數(shù)不存在 (2)在定義導數(shù)的極限式中，趨近于0可正、可負、但不為0，而可能為0 (3)是函數(shù)對自變量在范圍內(nèi)的平均變化率，它的幾何意義是過曲線上點（）及點）的割線斜率 (4)導數(shù)是函數(shù)在點的處瞬時變化率，它反映的函數(shù)在點處變化的快慢程度 它的幾何意義是曲線上點（）處的切線的斜率因此，如果在點可導，則曲線在點（）處的切線方程為 (5)導數(shù)是一個局部概念，它只與函數(shù)在及其附近的函數(shù)值有關，與無關 (6)在定義式中，設，則，當趨近于0時，趨近于，因此，導數(shù)的定義式可寫成 (7)若極限不存在，則稱函數(shù)在點處不可導 (8)若在可導，則曲線在點（）有切線存在反之不然，若曲線在點（）有切線，函數(shù)在不一定可導，并且，若函數(shù)在不可導，曲線在點（）也可能有切線 2. 導函數(shù)(導數(shù)):如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導數(shù)，此時對于每一個，都對應著一個確定的導數(shù)，從而構成了一個新的函數(shù), 稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，也可記作，即＝＝ 函數(shù)在處的導數(shù)就是函數(shù)在開區(qū)間上導數(shù)在處的函數(shù)值，即＝所以函數(shù)在處的導數(shù)也記作 注意：導數(shù)與導函數(shù)都稱為導數(shù)，這要加以區(qū)分：求一個函數(shù)的導數(shù)，就是求導函數(shù)；求一個函數(shù)在給定點的導數(shù)，就是求導函數(shù)值它們之間的關系是函數(shù)在點處的導數(shù)就是導函數(shù)在點的函數(shù)值 3.可導: 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點都有導數(shù)，則稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導 4. 可導與連續(xù)的關系：如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，那么函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)，反之不成立. 函數(shù)具有連續(xù)性是函數(shù)具有可導性的必要條件，而不是充分條件. 從f(x)在x0處可導的定義可以知道，f(x)在x0處有定義，考察 f(x)在x0處是否有極限，并且是否等于f(x0). 已知f′(x0)= 令x=x0+Δx，當Δx→0時，x→x0 ∴f(x)=f(x0+Δx)=［f(x0+Δx)－f(x0)+f(x0)］ =［Δx+f(x0)］ =Δx +f(x0)=f′(x0)0+f(x0)=f(x0) ∴f(x)在x0處連續(xù). 連續(xù)未必可導可通過反例說明，如y=|x|=在x0=0處 ∵y=(－x)=0，y=x=0，∴y=0 ∴y=|x|在x=0處連續(xù). = ∴y=|x|在x0=0處不可導. 5. 求函數(shù)的導數(shù)的一般方法： （1）求函數(shù)的改變量 （2）求平均變化率 （3）取極限，得導數(shù)＝ 三、講解范例： 例1求y=x2在點x=1處的導數(shù). 分析：根據(jù)求函數(shù)在一點處的導數(shù)的方法的三個步驟，先求Δy，再求，最后求. 解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2，=2+Δx ∴= (2+Δx)=2. ∴y′|x=1=2. 注意：(Δx)2括號別忘了寫. 例2已知y=，求y′. 分析：求函數(shù)在一點的導數(shù)，與求函數(shù)在一個區(qū)間上的導數(shù)，方法是一樣的，也是三個步驟，只是把x0換成x. 解：Δy=， ∴ . 點評：求函數(shù)的導數(shù)也主要是求極限的值，所以極限是求函數(shù)的導數(shù)的基礎，求極限的一些基本方法不能忘掉. 例3 已知y=x3－2x+1，求y′，y′|x=2. 解：Δy=(x+Δx)3－2(x+Δx)+1－(x3－2x+1) =x3+3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3－2x－2Δx+1－x3+2x－1 =(Δx)3+3x(Δx)2+(3x2－2)Δx =(Δx)2+3xΔx+3x2－2 ∴y′==［(Δx)2+3xΔx+3x2－2］=3x2－2. 方法一：∵y′=3x2－2，∴y′|x=2=322－2=10. 方法二：Δy=(2+Δx)3－2(2+Δx)+1－(23－22+1)=(Δx)3+6(Δx)2+10Δx =(Δx)2+6Δx+10 ∴y′|x=2==［(Δx)2+6Δx+10］=10. 點評：如果題目中要求y′，那么求y′|x=2時用方法一簡便 如果只要求y′|x=2，用方法二比較簡便 四、課堂練習： 1．求y=2x2+4x在點x=3處的導數(shù). 解：Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)－(232+43)=2(Δx)2+16Δx，=2Δx+16 ∴= (2Δx+16)=16，即y′|x=3=16 2.已知y=，求y′ 解：Δy=， ∴= =，∴y′= 五、小結 ：這節(jié)課主要學習了導數(shù)的定義，以及求導數(shù)方法的三個步驟. f′(x0)=y′| == f′(x)=y′== 三個步驟：①求函數(shù)的增量Δy，②求平均變化率，③取極限f′(x0)= ，以及函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的可導性的必要條件而不是充分條件 六、課后作業(yè)： 1.函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導是它在x=x0處連續(xù)的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 2.在曲線y=2x2－1的圖象上取一點（1，1）及鄰近一點（1+Δx,1+Δy）,則等于 A.4Δx+2Δx2 B.4+2Δx C.4Δx+Δx2 D.4+Δx 3.若曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為2x+y－1=0，則 A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0 C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在 4.已知命題p:函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)是常數(shù)函數(shù)；命題q:函數(shù)y=f(x)是一次函數(shù)，則命題p是命題q的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 5.設函數(shù)f(x)在x0處可導，則等于 A.f′(x0) B.0 C.2f′(x0) D.－2f′(x0) 6.設f(x)=x(1+|x|),則f′(0)等于 A.0 B.1 C.－1 D.不存在 7.若曲線上每一點處的切線都平行于x軸，則此曲線的函數(shù)必是___. 8.曲線y=x3在點P（2，8）處的切線方程是___________. 9.曲線f(x)=x2+3x在點A（2，10）處的切線斜率k=___________. 10.兩曲線y=x2+1與y=3－x2在交點處的兩切線的夾角為___________. 11.設f(x)在點x處可導，a、b為常數(shù)，則=_____. 12.已知函數(shù)f(x)=，試確定a、b的值，使f(x)在x=0處可導. 13.設f(x)=,求f′(1). 14.利用導數(shù)的定義求函數(shù)y=|x|(x≠0)的導數(shù). 參考答案： 1.A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.B 7.常數(shù)函數(shù) 8.y=12x－16 9. 7 10.arctan 11.(a+b)f′(x) 12.解：== (Δx+1)=1 = 若b≠1,則不存在 ∴b=1且a=1時，才有f(x)在x=0處可導 ∴a=1,b=1. 13.解：f′(1)= = == 14.解：∵y=|x|，∴x>0時，y=x，則∴=1. 當x<0時，y=－x，，∴. ∴y′= 七、板書設計（略） 八、課后記：