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2019-2020年高二數學復習教案充要條件的理解及判定方法 蘇教版 重難點歸納 (1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念當“若p則q”形式的命題為真時，就記作pq，稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結為判斷命題的真假 (2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“”要熟悉它的各種同義詞語“等價于”，“當且僅當”，“必須并且只需”，“……，反之也真”等 (3)數學概念的定義具有相稱性，即數學概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據，又是概念所具有的性質 (4)從集合觀點看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要條件 (5)證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性) 典型題例示范講解 例1已知p|1－|≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若?p是?q的必要而不充分條件，求實數m的取值范圍 命題意圖 本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象，同時考查了充分必要條件及四種命題中等價命題的應用，強調了知識點的靈活性 知識依托 本題解題的閃光點是利用等價命題對題目的文字表述方式進行轉化，使考生對充要條件的難理解變得簡單明了 錯解分析 對四種命題以及充要條件的定義實質理解不清晰是解此題的難點，對否命題，學生本身存在著語言理解上的困難 技巧與方法 利用等價命題先進行命題的等價轉化，搞清晰命題中條件與結論的關系，再去解不等式，找解集間的包含關系，進而使問題解決 解由題意知 命題若?p是?q的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為p是q的充分不必要條件 p:|1－|≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10 q:x2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0 * ∵p是q的充分不必要條件， ∴不等式|1－|≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集的子集 又∵m>0 ∴不等式*的解集為1－m≤x≤1+m ∴，∴m≥9， ∴實數m的取值范圍是［9，+∞ 例2已知數列{an}的前n項Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求數列{an}是等比數列的充要條件 命題意圖 本題重點考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時的思維的嚴謹性 知識依托 以等比數列的判定為主線，使本題的閃光點在于抓住數列前n項和與通項之間的遞推關系，嚴格利用定義去判定 錯解分析 因為題目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明 技巧與方法 由an=關系式去尋找an與an+1的比值，但同時要注意充分性的證明 解a1=S1=p+q 當n≥2時，an=Sn－Sn－1=pn－1(p－1) ∵p≠0,p≠1,∴=p 若{an}為等比數列，則=p ∴=p, ∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1 這是{an}為等比數列的必要條件 下面證明q=－1是{an}為等比數列的充分條件 當q=－1時，∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p－1 當n≥2時，an=Sn－Sn－1=pn－pn－1=pn－1(p－1) ∴an=(p－1)pn－1 (p≠0,p≠1) =p為常數 ∴q=－1時，數列{an}為等比數列即數列{an}是等比數列的充要條件為q=－1 例3已知關于x的實系數二次方程x2+ax+b=0有兩個實數根α、β， 證明|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件 證明(1）充分性由韋達定理，得|b|=|αβ|=|α||β|＜22=4 設f(x)=x2+ax+b,則f(x)的圖象是開口向上的拋物線 又|α|＜2,|β|＜2,∴f(2)>0 即有4+b>2a>－(4+b) 又|b|＜44+b>02|a|＜4+b (2)必要性 由2|a|＜4+bf(2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線 ∴方程f(x)=0的兩根α，β同在(－2，2）內或無實根 ∵α，β是方程f(x)=0的實根， ∴α，β同在(－2，2）內，即|α|＜2且|β|＜2 例4 寫出下列各命題的否定及其否命題，并判斷它們的真假. （1）若x、y都是奇數，則x+y是偶數； （2）若xy=0，則x=0或y=0； （3）若一個數是質數，則這個數是奇數. 解：（1）命題的否定：x、y都是奇數，則x+y不是偶數，為假命題. 原命題的否命題：若x、y不都是奇數，則x+y不是偶數，是假命題. （2）命題的否定：xy=0則x≠0且y≠0，為假命題. 原命題的否命題：若xy≠0，則x≠0且y≠0，是真命題. （3）命題的否定：一個數是質數，則這個數不是奇數，是假命題. 原命題的否命題：若一個數不是質數，則這個數不是奇數，為假命題. 例5 有A、B、C三個盒子，其中一個內放有一個蘋果，在三個盒子上各有一張紙條. A盒子上的紙條寫的是“蘋果在此盒內”， B盒子上的紙條寫的是“蘋果不在此盒內”， C盒子上的紙條寫的是“蘋果不在A盒內”. 如果三張紙條中只有一張寫的是真的，請問蘋果究竟在哪個盒子里？ 解：若蘋果在A盒內，則A、B兩個盒子上的紙條寫的為真，不合題意. 若蘋果在B盒內，則A、B兩個盒子上的紙條寫的為假，C盒子上的紙條寫的為真，符合題意，即蘋果在B盒內. 同樣，若蘋果在C盒內，則B、C兩盒子上的紙條寫的為真，不合題意. 綜上，蘋果在B盒內. 學生鞏固練習 1函數f(x)=x|x+a|+b是奇函數的充要條件是( ) Aab=0 Ba+b=0 Ca=b Da2+b2=0 2 “a=1”是函數y=cos2ax－sin2ax的最小正周期為“π”的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既非充分條件也不是必要條件 3 a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的___ 4命題A兩曲線F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于點P(x0,y0),命題B曲線F(x,y)+λG(x,y)=0(λ為常數)過點P(x0,y0),則A是B的__________條件 5設α，β是方程x2－ax+b=0的兩個實根，試分析a>2且b>1是兩根α、β均大于1的什么條件？ 6已知數列{an}、{bn}滿足bn=,求證數列{an}成等差數列的充要條件是數列{bn}也是等差數列 7已知拋物線Cy=－x2+mx－1和點A(3，0)，B(0，3)，求拋物線C與線段AB有兩個不同交點的充要條件 8 p:－22,b=αβ>1,∴qp (2)為證明pq,可以舉出反例取α=4,β=,它滿足a=α+β=4+>2,b=αβ=4=2>1,但q不成立 綜上討論可知a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分條件 6證明①必要性 設{an}成等差數列，公差為d,∵{an}成等差數列 　　 從而bn+1－bn=a1+nd－a1－(n－1) d=d為常數 故{bn}是等差數列，公差為d ②充分性: 設{bn}是等差數列，公差為d′,則bn=(n－1)d′ ∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan ① bn－1(1+2+…+n－1)=a1+2a2+…+(n－1)an ② ①－②得nan=bn－1 從而得an+1－an=d′為常數，故{an}是等差數列 綜上所述，數列{an}成等差數列的充要條件是數列{bn}也是等差數列 7解 ①必要性 由已知得，線段AB的方程為y=－x+3(0≤x≤3) 由于拋物線C和線段AB有兩個不同的交點， 所以方程組*有兩個不同的實數解 消元得x2－(m+1)x+4=0(0≤x≤3) 設f(x)=x2－(m+1)x+4,則有 　　 ②充分性 當3＜x≤時， x1=>0 ∴方程x2－(m+1)x+4=0有兩個不等的實根x1,x2,且0＜x1＜x2≤3,方程組*有兩組不同的實數解 因此，拋物線y=－x2+mx－1和線段AB有兩個不同交點的充要條件是 3＜m≤ 8解 若關于x的方程x2+mx+n=0有2個小于1的正根，設為x1,x2 則0＜x1＜1,0＜x2＜1,有0＜x1+x2＜2且0＜x1x2＜1, 根據韋達定理 有－2＜m＜0;0＜n＜1即有qp 反之，取m=－＜0 方程x2+mx+n=0無實根，所以pq 綜上所述，p是q的必要不充分條件 課前后備注 　 1.已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q成立的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析：依題意有pr，rs，sq，∴prsq.但由于rp，∴qp. 答案：A 2. “cos2α=－”是“α=kπ+，k∈Z”的 A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件 解析：cos2α=－2α=2kπα=kπ. 答案：A 3.在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析：在△ABC中，A＞BcosA＜cosB（余弦函數單調性）. 答案：C 4.命題A：兩曲線F（x，y）＝0和G（x，y）=0相交于點P（x0，y0），命題B：曲線F（x，y）+λG（x，y）＝0（λ為常數）過點P（x0，y0），則A是B的__________條件. 答案：充分不必要 5.函數f（x）=x2－2ax－3在區(qū)間［1，2］上存在反函數的充分必要條件是 A.a∈（－∞，1］ B.a∈［2，+∞） C.α∈［1，2］ D.a∈（－∞，1］∪［2，+∞） 解析：∵f（x）=x2－2ax－3的對稱軸為x=a，∴y=f（x）在［1，2］上存在反函數的充要條件為［1，2］（－∞，a］或［1，2］［a，+∞），即a≥2或a≤1. 答案：D 6.已知數列{an}的前n項和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求數列{an}成等比數列的充要條件. 分析：先根據前n項和公式，導出使{an}為等比數列的必要條件，再證明其充分條件. 解：當n=1時，a1=S1=p+q； 當n≥2時，an=Sn－Sn－1=（p－1）pn－1. 由于p≠0，p≠1，∴當n≥2時，{an}是等比數列.要使{an}（n∈N*）是等比數列，則=p，即（p－1）p=p（p+q），∴q=－1，即{an}是等比數列的必要條件是p≠0且p≠1且q=－1. 再證充分性： 當p≠0且p≠1且q=－1時，Sn=pn－1， an=（p－1）pn－1，=p（n≥2）， ∴{an}是等比數列.