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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 12.1 抽樣方法與總體分布的估計(jì)教案 ●網(wǎng)絡(luò)體系總覽 ●考點(diǎn)目標(biāo)定位 1.了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣及系統(tǒng)抽樣的意義，會(huì)用它們對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽樣. 2.會(huì)用樣本頻率分布估計(jì)總體分布. 3.會(huì)用樣本估計(jì)總體平均值和方差. ●復(fù)習(xí)方略指南 在本章的復(fù)習(xí)中，要理解幾種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系.應(yīng)充分注意一些重要概念的實(shí)際意義，理解概率統(tǒng)計(jì)中處理問(wèn)題的基本思想方法，掌握所學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用. 這部分內(nèi)容高考命題趨向主要以選擇題、填空題為主，重點(diǎn)考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用. 對(duì)有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用題要多加關(guān)注. 12.1 抽樣方法與總體分布的估計(jì) ●知識(shí)梳理 1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體的個(gè)體數(shù)為N，如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱(chēng)這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣. 2.分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣. 3.兩種抽樣方法的比較（略）. 4.總體：在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，通常把被研究的對(duì)象的全體叫做總體. 5.頻率分布：用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來(lái)表示. 6.總體分布：從總體中抽取一個(gè)個(gè)體，就是一次隨機(jī)試驗(yàn)，從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，就是進(jìn)行了n次試驗(yàn)，試驗(yàn)連同所出現(xiàn)的結(jié)果叫隨機(jī)事件，所有這些事件的概率分布規(guī)律稱(chēng)為總體分布. ●點(diǎn)擊雙基 1.為調(diào)查參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的1000名運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，從中抽查了100名運(yùn)動(dòng)員的年齡，就這個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，下列說(shuō)法正確的是 A.1000名運(yùn)動(dòng)員是總體 B.每個(gè)運(yùn)動(dòng)員是個(gè)體 C.抽取的100名運(yùn)動(dòng)員是樣本 D.樣本容量是100 解析：這個(gè)問(wèn)題我們研究的是運(yùn)動(dòng)員的年齡情況.因此應(yīng)選D. 答案：D 2.一個(gè)總體中共有10個(gè)個(gè)體，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為3的樣本，則某特定個(gè)體入樣的概率是 A. B. C. D. 解析：用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法從中抽取，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相同為，所以選C. 答案：C 3.一個(gè)容量為n的樣本，分成若干組，已知某數(shù)的頻數(shù)和頻率分別為40、0.125，則n的值為 A.640 B.320 C.240 D.160 解析：∵=0.125，∴n=320.故選B. 答案：B 4.某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的健康狀況，需從他們中抽取一個(gè)容量為36的樣本，在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣這三種方法中較合適的抽樣方法是___________. 解析：要研究的總體里各部分情況差異較大，因此用分層抽樣. 答案：分層抽樣 5.某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中成績(jī)分布如下表： 分?jǐn)?shù)段 ［0，80） ［80，90） ［90，100） 人數(shù) 2 ） 5 6 分?jǐn)?shù)段 ［100，110） ［110，120 ［120，130） 人數(shù) 8 12 6 分?jǐn)?shù)段 ［130，140） ［140，150） 人數(shù) 4 2 那么分?jǐn)?shù)在［100，110）中的頻率和分?jǐn)?shù)不滿(mǎn)110分的累積頻率分別是______________、_______（精確到0.01）. 解析：由頻率計(jì)算方法知：總?cè)藬?shù)=45. 分?jǐn)?shù)在［100，110）中的頻率為 =0.178≈0.18. 分?jǐn)?shù)不滿(mǎn)110分的累積頻率為=≈0.47. 答案：0.18 0.47 ●典例剖析 【例1】 （xx年湖南，5）某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷(xiāo)售的情況，需從這600個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷(xiāo)售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷(xiāo)售收入和售后服務(wù)情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②.則完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是 A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法 C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法 剖析：此題為抽樣方法的選取問(wèn)題.當(dāng)總體中個(gè)體較多時(shí)宜采用系統(tǒng)抽樣；當(dāng)總體中的個(gè)體差異較大時(shí)，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個(gè)體較少時(shí)，宜采用隨機(jī)抽樣. 依據(jù)題意，第①項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣法、第②項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法.故選B. 答案：B 評(píng)述：采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個(gè)體情況來(lái)定. 【例2】 （xx年福建，15）一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)為0，1，2，…，99，依編號(hào)順序平均分成10個(gè)小組，組號(hào)依次為1，2，3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為m，那么在第k小組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與m+k的個(gè)位數(shù)字相同.若m=6，則在第7組中抽取的號(hào)碼是___________. 剖析：此問(wèn)題總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)較多，因此采用系統(tǒng)抽樣.按題目中要求的規(guī)則抽取即可. ∵m=6，k=7，m+k=13，∴在第7小組中抽取的號(hào)碼是63. 答案：63 評(píng)述：當(dāng)總體中個(gè)體個(gè)數(shù)較多而差異又不大時(shí)可采用系統(tǒng)抽樣.采用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi)抽取時(shí)應(yīng)按規(guī)則進(jìn)行. 【例3】 把容量為100的某個(gè)樣本數(shù)據(jù)分為10組，并填寫(xiě)頻率分布表，若前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數(shù)成公比大于2的整數(shù)等比數(shù)列，則剩下三組中頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為_(kāi)__________. 剖析：已知前七組的累積頻率為0.79，而要研究后三組的問(wèn)題，因此應(yīng)先求出后三組的頻率之和為1－0.79=0.21，進(jìn)而求出后三組的共有頻數(shù)，或者先求前七組共有頻數(shù)后，再計(jì)算后三組的共有頻數(shù). 由已知知前七組的累積頻數(shù)為0.79100=79，故后三組共有的頻數(shù)為21，依題意=21，a1（1+q+q2）=21.∴a1=1，q=4.∴后三組頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為16. 答案：16 評(píng)述：此題剖析只按第二種思路給出了解答，你能按第一種思路來(lái)解嗎？ 【例4】 對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下： 壽命（h） 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 個(gè) 數(shù) 20 30 80 40 30 （1）列出頻率分布表； （2）畫(huà)出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖； （3）估計(jì)電子元件壽命在100～400 h以?xún)?nèi)的概率； （4）估計(jì)電子元件壽命在400 h以上的概率. 剖析：通過(guò)本題可掌握總體分布估計(jì)的各種方法和步驟. 解：（1）頻率分布表如下： 壽命（h） 頻 數(shù) 頻 率 累積頻率 100～200 20 0.10 0.10 200～300 30 0.15 0.25 300～400 80 0.40 0.65 400～500 40 0.20 0.85 500～600 30 0.15 1 合 計(jì) 200 1 （2）頻率分布直方圖如下： （3）由累積頻率分布圖可以看出，壽命在100～400 h內(nèi)的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.65，所以我們估計(jì)電子元件壽命在100～400 h內(nèi)的概率為0.65. （4）由頻率分布表可知，壽命在400 h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20+0.15=0.35，故我們估計(jì)電子元件壽命在400 h以上的概率為0.35. 評(píng)述：畫(huà)頻率分布條形圖、直方圖時(shí)要注意縱、橫坐標(biāo)軸的意義. ●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.（xx年江蘇，6）某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用時(shí)間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用下面的條形圖表示，根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為 A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.5 h 解析：=0.9. 答案：B 2.某單位有職工100人，不到35歲的有45人，35歲到49歲的有25人，剩下的為50歲以上的人，用分層抽樣法從中抽取20人，各年齡段分別抽取的人數(shù)為 A.7，5，8 B.9，5，6 C.6，5，9 D.8，5，7 解析：45=45=9，25=5，30=6. 答案：B 3.某單位共有N個(gè)職工，要從N個(gè)職工中采用分層抽樣法抽取n個(gè)樣本，已知該單位的某一部門(mén)有M個(gè)員工，那么從這一部門(mén)中抽取的職工數(shù)為_(kāi)__________. 答案： 4.下圖是容量為100的樣本的頻率分布直方圖，試根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)填空： （1）樣本數(shù)據(jù)落在范圍［6，10）內(nèi)的頻率為_(kāi)__________； （2）樣本數(shù)據(jù)落在范圍［10，14）內(nèi)的頻數(shù)為_(kāi)__________； （3）總體在范圍［2，6）內(nèi)的概率約為_(kāi)__________. 答案：（1）0.32 （2）36 （3）0.08 5.舉例說(shuō)明簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣兩種抽樣方法，無(wú)論使用哪一種抽樣方法，總體中的每一個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等. 解：袋中有160個(gè)小球，其中紅球48個(gè)，藍(lán)球64個(gè)，白球16個(gè)，黃球32個(gè)，從中抽取20個(gè)作為一個(gè)樣本. （1）使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為=. （2）使用分層抽樣：四種球的個(gè)數(shù)比為3∶4∶1∶2.紅球應(yīng)抽20=6個(gè)；藍(lán)球應(yīng)抽20=8個(gè)；白球應(yīng)抽20=2個(gè)；黃球應(yīng)抽20=4個(gè).由于====，所以，按顏色區(qū)分，每個(gè)球被抽到的概率也都是. 培養(yǎng)能力 6.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，可分為一等品、二等品、三等品三類(lèi)，根據(jù)抽樣檢驗(yàn)的記錄有一等品54個(gè)、二等品140個(gè)、三等品6個(gè). （1）估計(jì)三種產(chǎn)品的概率； （2）畫(huà)出頻率分布條形圖. 解：（1）0.27，0.7，0.03. （2）頻率分布條形圖如下. 7.有點(diǎn)難度喲！ 某縣政府機(jī)關(guān)在編人員100人，其中副處級(jí)以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級(jí)人事部門(mén)為了了解職工對(duì)機(jī)構(gòu)改革的意見(jiàn)，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，試說(shuō)明具體實(shí)施辦法，并證明用這種抽樣方法可使總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等. 解：因機(jī)構(gòu)改革關(guān)系到所有人的利益，故采用分層抽樣方法較宜. ∵=，∴10=2，70=14，20=4. 故從副處級(jí)以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人.副處級(jí)以上干部被抽到的概率為=，一般干部被抽到的概率為=，工人被抽到的概率為=，即每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是=. 8.有點(diǎn)難度喲！ 從一個(gè)養(yǎng)魚(yú)池中捕得m條魚(yú)，作上記號(hào)后再放入池中，數(shù)日后又捕得n條魚(yú)，其中k條有記號(hào)，請(qǐng)估計(jì)池中有多少條魚(yú). 解：設(shè)池中有N條魚(yú)，第一次捕得m條作上記號(hào)后放入水池中，則池中有記號(hào)的魚(yú)占；第二次捕得n條，則這n條魚(yú)是一個(gè)樣本，其中有記號(hào)的魚(yú)占.我們用樣本來(lái)估計(jì)總體分布，令=，∴N=. 探究創(chuàng)新 9.有點(diǎn)難度喲！ 1936年，美國(guó)進(jìn)行總統(tǒng)選舉，競(jìng)選的是民主黨的羅斯福和共和黨的蘭登，羅斯福是在任的總統(tǒng). 美國(guó)權(quán)威的《文學(xué)摘要》雜志社，為了預(yù)測(cè)總統(tǒng)候選人誰(shuí)能當(dāng)選，采用了大規(guī)模的模擬選舉，他們以電話(huà)簿上的地址和俱樂(lè)部成員名單上的地址發(fā)出1000萬(wàn)封信，收到回信200萬(wàn)封，在調(diào)查史上，樣本容量這么大是少見(jiàn)的，雜志社花費(fèi)了大量的人力和物力，他們相信自己的調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，即蘭登將以57%對(duì)43%的比例獲勝，并大力進(jìn)行宣傳. 最后選舉結(jié)果卻是羅斯福以62%對(duì)38%的巨大優(yōu)勢(shì)獲勝，連任總統(tǒng).這個(gè)調(diào)查使《文學(xué)摘要》雜志社威信掃地，不久只得關(guān)門(mén)?？?試分析這次調(diào)查失敗的原因. 解：失敗的原因：抽樣方法不正確.樣本不是從總體（全體美國(guó)公民）中隨機(jī)地抽取，1936年，美國(guó)有私人電話(huà)和參加俱樂(lè)部的家庭，都是比較富裕的家庭.1929～1933年的世界經(jīng)濟(jì)危機(jī)，使美國(guó)經(jīng)濟(jì)遭到沉重打擊，“羅斯福新政”動(dòng)用行政手段干預(yù)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)，損害了部分富人的利益，但廣大的美國(guó)人民卻從中得到了好處.所以，從這部分富人中抽取的樣本嚴(yán)重偏離了總體，導(dǎo)致樣本不具有代表性. ●思悟小結(jié) 1.采用什么抽樣方法，要視情況來(lái)定： 當(dāng)總體中的個(gè)體較少時(shí)，一般可用隨機(jī)抽樣；當(dāng)總體中的個(gè)體較多時(shí)，一般可用系統(tǒng)抽樣；當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，一般可用分層抽樣. 2.用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的一個(gè)基本思想方法.用樣本估計(jì)總體，本節(jié)主要研究在整體上用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布. ●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛 1.常用的抽樣方法有三種：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣，其中第一種是最簡(jiǎn)單、最基本的抽樣方法.三種抽樣方法的共同點(diǎn)：都是等概率抽樣，體現(xiàn)了抽樣的公平性；三種抽樣方法各有其特點(diǎn)和適用的范圍. 2.總體分布反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率.當(dāng)總體中所取不同數(shù)值比較少時(shí)，常用條形圖表示相應(yīng)樣本的頻率分布；否則，常用頻率分布直方圖表示相應(yīng)樣本的頻率分布. 3.系統(tǒng)抽樣的步驟：（1）將總體中的個(gè)體隨機(jī)編號(hào)；（2）將編號(hào)分段；（3）在第1段中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào)；（4）按照事先研究的規(guī)則抽取樣本. 4.分層抽樣的步驟：（1）分層；（2）按比例確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)；（3）各層抽樣（方法可以不同）；（4）匯合成樣本. 5.解決總體分布估計(jì)問(wèn)題的一般程序如下：（1）先確定分組的組數(shù)（最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)之差除以組距得組數(shù)）；（2）分別計(jì)算各組的頻數(shù)及頻率（頻率=）；（3）畫(huà)出頻率分布直方圖，并作出相應(yīng)的估計(jì). 6.條形圖是用其高度表示取各值的頻率；直方圖是用圖形面積的大小表示在各區(qū)間內(nèi)取值的頻率；累積頻率分布圖是一條折線(xiàn)，利用任意兩端值的累積頻率之差表示樣本數(shù)據(jù)在這兩點(diǎn)值之間的頻率. 拓展題例 【例1】 （xx年遼寧省重點(diǎn)高中模擬題）用系統(tǒng)抽樣法要從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生隨機(jī)地從1～160編號(hào)，按編號(hào)順序平均分成20組（1～8號(hào)，9～16號(hào)，…，153～160號(hào)），若第16組抽出的號(hào)碼為126，則第1組中用抽簽的方法確定的號(hào)碼是___________. 解析：不妨設(shè)在第1組中隨機(jī)抽到的號(hào)碼為x，則在第16組中應(yīng)抽出的號(hào)碼為120+x. 設(shè)第1組抽出的號(hào)碼為x，則第16組應(yīng)抽出的號(hào)碼是815+x=126，∴x=6. 答案：6 【例2】 （xx年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市模擬題）某單位有職工160名，其中業(yè)務(wù)人員120名，管理人員16名，后勤人員24名.為了解職工的某種情況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.若用分層抽樣的方法，抽取的業(yè)務(wù)人員、管理人員、后勤人員的人數(shù)應(yīng)分別為_(kāi)___________. 解析：分層抽樣應(yīng)按各層所占的比例從總體中抽取. ∵120∶16∶24=15∶2∶3，又共抽出20人， ∴各層抽取人數(shù)分別為20=15人，20=2人，20=3人. 答案：15人、2人、3人