2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.2 弧度制教案 蘇教版必修4.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.2 弧度制教案 蘇教版必修4 ●三維目標(biāo) 1．知識與技能 (1)理解1弧度的角及弧度的定義；(2)掌握角度與弧度的換算公式；(3)熟練進(jìn)行角度與弧度的換算；(4)理解角的集合與實數(shù)集R之間的一一對應(yīng)關(guān)系；(5)理解并掌握弧度制下的弧長公式、扇形面積公式，并能靈活運用這兩個公式解題． 2．過程與方法 通過類比角度制的概念引入弧度制的概念；比較兩種度量角的方法探究角度制與弧度制之間的互化；應(yīng)用在特殊角的角度制與弧度制的互化，幫助學(xué)生理解掌握；以針對性的例題和習(xí)題使學(xué)生掌握弧長公式和扇形的面積公式；通過自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，樹立學(xué)生正確的學(xué)習(xí)態(tài)度． 3．情感、態(tài)度與價值觀 通過弧度制的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識到角度制與弧度制都是度量角的制度，二者雖單位不同，但卻是相互聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的；在弧度制下，角的加、減運算可以像十進(jìn)制一樣進(jìn)行，而不需要進(jìn)行角度制與十進(jìn)制之間的互化，化簡了六十進(jìn)制給角的加、減運算帶來的諸多不便，體現(xiàn)了弧度制的簡捷美；通過弧度制與角度制的比較，使學(xué)生認(rèn)識到引入弧度制的優(yōu)越性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)． ●重點難點 重點：理解弧度制的意義，正確進(jìn)行弧度與角度的換算；弧長和面積公式及應(yīng)用． 難點：弧度的概念及與角度的關(guān)系；角的集合與實數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系． (教師用書獨具) ●教學(xué)建議 1．弧度制的概念 關(guān)于弧度制的概念的教學(xué)，建議教師在教學(xué)過程中，首先講清1弧度角的概念，它是建立弧度概念的關(guān)鍵，并且讓學(xué)生具體操作驗證，老師通過多媒體演示，在此直觀印象基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生證明以弧度為單位的角是一個與半徑無關(guān)的定值． 2．角度制與弧度制的換算 關(guān)于角度制與弧度制的換算的教學(xué)，建議教師教學(xué)過程中，講清“180＝π”這個等式的意義，抓住這一關(guān)鍵，兩種度量制的換算就迎刃而解了． 3．弧長公式 關(guān)于弧長公式的教學(xué)，建議教師在教學(xué)中讓學(xué)生先通過自己的活動解決，明確角的度量單位是弧度，而且圓心角是在一定范圍中，從而熟練用弧度制表示角，并能應(yīng)用公式． ●教學(xué)流程 ??引導(dǎo)學(xué)生探究弧度制下的扇形弧長和面積公式，并理解公式應(yīng)用的前提是用弧度制表示扇形圓心角的大小.? 通過例1及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握弧度與角度的互化方法，使學(xué)生逐步養(yǎng)成用弧度表示角的習(xí)慣.? ? 通過例3及其互動探究，使學(xué)生掌握利用弧長和扇形面積公式解決有關(guān)問題的方法，總結(jié)求弧長及扇形面積的方法. ?? 課標(biāo)解讀 1.了解弧度制． 2．會進(jìn)行弧度與角度的互化．(重點、難點) 3．掌握弧度制下扇形的弧長公式和面積公式．(難點、易錯點) 弧度制的概念 【問題導(dǎo)思】 1．在初中學(xué)習(xí)角的運算采用十進(jìn)制還是六十進(jìn)制？ 【提示】 六十進(jìn)制． 2．我們平時常用運算大多都是六十進(jìn)制嗎？ 【提示】 我們常用的是十進(jìn)制． (1)角度制：規(guī)定周角的為1度的角，用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制． (2)弧度制：長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1_rad，用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制． (3)角的弧度數(shù)求法：如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l，那么l，α，r之間存在的關(guān)系是：|α|＝. 角度與弧度的互化 【問題導(dǎo)思】 根據(jù)弧度制的定義，周角360所對應(yīng)的弧度數(shù)是多少？ 【提示】 由＝2π得，周角對應(yīng)弧度數(shù)為2π. (1)360＝2π rad， (2)1＝ rad≈0.017_45 rad， 1 rad＝()≈57.30. 扇形的弧長及面積公式 【問題導(dǎo)思】 1．已知扇形圓心角α，半徑為r，如何求弧長l? 【提示】 由|α|＝可得：弧長l＝|α|r. 2．能否用扇形的弧長l與半徑表示扇形的面積S? 【提示】 設(shè)扇形圓心角為α，則扇形面積S＝πr2＝rl. 圖1－1－4 (1)弧度制下的弧長公式 如圖1－1－4，l是圓心角α所對的弧長，r是半徑，則圓心角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝，弧長l＝|α|r.特別地，當(dāng)r＝1時，弧長l＝|α|. (2)扇形面積公式 在弧度制中，若|α|≤2π，則半徑為r，圓心角為α的扇形的面積為S＝πr2＝|α|r2＝lr. 弧度和角度的互化 設(shè)α1＝－570，α2＝750，β1＝，β2＝－. (1)將α1，α2用弧度表示出來，并指出它們各自的終邊所在的象限； (2)將β1，β2用角度表示出來，并在－720～0之間找出與它們終邊相同的所有的角． 【思路探究】 將角度化為弧度，可運用公式1＝弧度；而將弧度化為角度，則可運用公式1弧度＝(). 【自主解答】 (1)∵α1＝－570＝－＝－， 而－＝－22π＋， ∴α1＝－22π＋，∴α1的終邊在第二象限． ∵α2＝750＝＝＝22π＋，∴α2的終邊在第一象限． (2)β1＝＝180＝108，設(shè)θ＝k360＋108(k∈Z)， ∵－720≤θ＜0，∴－720≤k360＋108＜0，k∈Z，∴k＝－2或k＝－1. ∴－720～0之間與β1終邊相同的角是－612角和－252角． β2＝－＝－180＝－780＝－2360－60，設(shè)γ＝k360－60(k∈Z)． ∵－720≤γ＜0，∴－720≤k360－60＜0，k∈Z，∴k＝－1或k＝0. ∴－720～0之間與β2終邊相同的角是－420角和－60角． 1．特殊角的弧度數(shù)與角度數(shù)的對應(yīng)值應(yīng)熟記，并逐步養(yǎng)成用弧度數(shù)表示角的習(xí)慣． 2．在進(jìn)行角度制與弧度制換算時，關(guān)系式π rad＝180是關(guān)鍵，由它得到：度數(shù)＝弧度數(shù)，弧度數(shù)()＝度數(shù)． 把－1 480寫成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π，并判斷它是第幾象限角？ 【解】?。? 480＝－1 480＝－＝－10π＋，其中0≤＜2π，因為是第四象限角，所以－1 480是第四象限角． 用弧度表示區(qū)域角 用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合，如圖1－1－5所示(不包括邊界)． 圖1－1－5 【思路探究】 求出陰影部分邊界角的弧度數(shù)，結(jié)合區(qū)域角的旋轉(zhuǎn)方向及終邊相同角的表示方法寫出區(qū)域角的范圍． 【自主解答】 (1)如圖①，以O(shè)B為終邊的角為330，可看成是－30，化為弧度，即－，而75＝75＝ rad， ∴所求集合為{θ|2kπ－＜θ＜2kπ＋，k∈Z}． (2)如圖②，以O(shè)B為終邊的角225，可看成是－135，化成弧度，即－，而135＝135＝ rad， ∴所求集合為{θ|2kπ－＜θ＜2kπ＋，k∈Z}． 1．用弧度表示區(qū)域角，實質(zhì)上是角度表示區(qū)域角在弧度制下的應(yīng)用，必要時，需進(jìn)行角度與弧度之間的換算，注意單位要統(tǒng)一． 2．在表示角的集合時，可以先寫出一個周期的范圍(如－π～π，0～2π)內(nèi)的角，再加上2kπ，k∈Z. 3．在進(jìn)行區(qū)間的合并時，注意歸納總結(jié)，一定要做到準(zhǔn)確無誤．一般地，若某角的終邊落在某一直線上，則可用kπ(或k180)加上已知角來表示該角，其中k∈Z. 圖1－1－6 求出終邊在圖1－1－6中所示陰影區(qū)域(包括邊界)的角的集合． 【解】 由于－π＋2π＝π，即角－π與角π的終邊相同，因此圖中所示陰影區(qū)域的角的集合為{α|＋2kπ≤α≤π＋2kπ，k∈Z}． 弧長與扇形面積公式的應(yīng)用 一個扇形的周長為20，則扇形的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形面積最大？ 【思路探究】 →→→ 【自主解答】 設(shè)扇形的圓心角為α，半徑為r，弧長為l， 則l＝αr， 依題意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20， ∴α＝. 由l＝20－2r>0及r>0得0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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