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2019-2020年高中數學 2.3數學歸納法教案 新人教A版選修2-2 教學建議 1.教材分析 數學歸納法是一種直接證明的方法,僅適用于與正整數有關的數學命題的證明.本節(jié)通過類比多米諾骨牌游戲,得出數學歸納法的兩個步驟,然后通過兩個例題介紹數學歸納法的應用. 重點:數學歸納法的原理及應用. 難點:數學歸納法的思想實質及在歸納推理中發(fā)現具體問題的遞推關系. 2.主要問題及教學建議 (1)關于數學歸納法所證結論的正確性. 建議教師就歸納推理的幾種情形介紹一下. 不完全歸納:只考察了部分對象,結論不一定正確. 完全歸納(枚舉法):考察了問題所涉及的所有對象,結論一定正確. 數學歸納法:通過有限個步驟的推理,證明了n取無限多個正整數時的情形,本質上相當于完全歸納,結論是正確的. (2)對于假設的使用. 建議教師通過具體例子,說明證明過程中不用假設也能證出某些題目,但不是數學歸納法證明,也就不必再按數學歸納法的步驟進行. 備選習題 1.證明:如果x是實數,且x>-1,x≠0,n為大于1的自然數,那么(1+x)n>1+nx. 證明:(1)當n=2時,左邊=(1+x)2=1+2x+x2,右邊=1+2x,因為x≠0,所以不等式成立. (2)假設當n=k時不等式成立,即(1+x)k>1+kx. 那么當n=k+1時, 左邊=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x), 因為x>-1,所以(1+x)k(1+x)>(1+kx)(1+x) =1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x. 所以當n=k+1時,不等式成立. 由(1)(2)及數學歸納法可知所證不等式成立. 2.用數學歸納法證明62n-1+1(n∈N*)能被7整除. 證明:(1)當n=1時,62-1+1=7,能被7整除. (2)假設當n=k(k∈N*,k≥1)時,62k-1+1能被7整除. 那么當n=k+1時,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1=36(62k-1+1)-35. ∵62k-1+1能被7整除,35也能被7整除, ∴當n=k+1時,62(k+1)-1+1能被7整除. 由(1)(2)知命題成立. 3.試比較2n與n2(n≥5,n∈N*)的大小. 解:當n=5時,25>52,即2n>n2. 當n=6時,26>62,即2n>n2;…… 猜想:當n≥5,n∈N*時,2n>n2. 下面用數學歸納法證明猜想成立: (1)當n=5時,猜想成立. (2)假設當n=k(k≥5,k∈N*)時猜想成立,即2k>k2,那么,當n=k+1時,2k+1=22k>2k2=k2+k2>k2+(2k+1)=(k+1)2,即當n=k+1也成立. 根據(1)和(2),可知當n≥5時,2n>n2對任何n∈N*都成立(n≥5).