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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1.2 函數(shù)的極值二教案 北師大選修1-1 教學(xué)過(guò)程： 一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課 1、通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是什么？（提問(wèn)學(xué)生回答） 2、觀察下圖表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)=-4.9t2+6.5t+10的圖象，回答以下問(wèn)題： （1）在點(diǎn)t=a附近的圖象有什么特點(diǎn)？ （2）函數(shù)在t=a處的函數(shù)值和附近函數(shù)值之間有什么關(guān)系？ （3）在點(diǎn)t=a附近的導(dǎo)數(shù)符號(hào)有什么變化規(guī)律？ （4）函數(shù)在t=a處的導(dǎo)數(shù)是多少？ 共同歸納: 函數(shù)h(t)在a點(diǎn)處h/(a)=0,在t=a的附近,當(dāng)t＜a時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增, ＞0;當(dāng)t＞a時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減, ＜0,即當(dāng)t在a的附近從小到大經(jīng)過(guò)a時(shí), 先正后負(fù),且連續(xù)變化,于是h/(a)=0. 3、觀察下列函數(shù)的圖像，回答問(wèn)題。 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 b a o 問(wèn)題同上（略）學(xué)生討論回答。 4、對(duì)于這一事例是這樣，對(duì)其他的連續(xù)函數(shù)是不是也有這種性質(zhì)呢？ 二、函數(shù)極值概念的形成 1、極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)a附近有定義，如果對(duì)a附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(a)，且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)，右側(cè)就說(shuō)f(a)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作y極大值=f(a)，a是極大值點(diǎn) 2、極小值：仿照極大值的定義讓學(xué)生自己寫(xiě)出來(lái)。 3、極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值 在定義中，取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值 注：概念講解完，在分析概念的時(shí)候分別從f(a)和他附近函數(shù)值的大小，以及x=a處的導(dǎo)數(shù)值和附近導(dǎo)數(shù)符號(hào)的正負(fù)加以分析。 三、強(qiáng)化概念、例題解析 （一）、給出圖象，找出圖中的極值點(diǎn)。（以幻燈片的形式給出圖像）通過(guò)觀察圖像得出結(jié)論 結(jié)論：（1）函數(shù)的極值不是唯一的； （2）極大值未必大于極小值； （3）區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn) 例1．（課本例4）求的極值 解： 因?yàn)?，所以? 令，得 下面分兩種情況討論： （1）當(dāng)>0,即，或時(shí)；（2）當(dāng)<0,即時(shí). 當(dāng)x變化時(shí)， ，的變化情況如下表： —2 (-2,2) 2 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 因此， =； =。 函數(shù)的圖像如圖所示。 （二）、鞏固練習(xí)： 1．求下列函數(shù)的極值 （3）函數(shù)的極值點(diǎn)為x=0 解: ((1)略) （2）：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3) 令y′=0，解得x1=－3，x2=3. 當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表. -3 (-3,3) 3 + 0 － 0 + ↗ 極大值54 ↘ 極小值-54 ↗ ∴當(dāng)x=－3時(shí)，y有極大值，且y極大值=54. 當(dāng)x=3時(shí)，y有極小值，且y極小值=－54 例2 設(shè)，在和處有極值，且=－1,求，，的值，并求出函數(shù)的極值。 解：，∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，則－1,1是方程的根，即有?，又，則有，由上述三個(gè)方程可知，，，此時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式為，∴，令，得，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況表： -1 (-1,1) 1 + 0 － 0 + ↗ 極大值1 ↘ 極小值 －1 ↗ 由上表可知， ， （3）錯(cuò)誤（通過(guò)圖象法或求極值的步驟去說(shuō)明）結(jié)論：導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要不充分條件 2 總結(jié)求函數(shù)極值的方法（讓學(xué)生回答，然后教師總結(jié)，以幻燈片的形式給出） 3（補(bǔ)充習(xí)題） 下圖是導(dǎo)函數(shù) 的圖象, 試找出函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn) ， 并指出哪些是極大值點(diǎn), 哪些是極小值點(diǎn). y O a x1 X4 x3 X24 x5 x6 b 四、歸納總結(jié)： 1．極值 （ⅰ）極值是一個(gè)局部概念由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是大或小；并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。 （ⅱ）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè) （ⅲ）極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系。即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值。 2. 判別f(x0)是極大、極小值的方法: 3. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x) (2)求方程f′(x)=0點(diǎn)（一階導(dǎo)數(shù)為0的x的值） (3)列表，并通過(guò)表格求出函數(shù)的極值。 五、課后作業(yè)：書(shū)本P32 4 . 5