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2019-2020年高中數學 第二章 數列 第四課時 等差數列教案（二） 蘇教版必修5 教學目標： 明確等差中項的概念，進一步熟練掌握等差數列的通項公式及推導公式；培養(yǎng)學生的應用意識，提高學生的數學素質. 教學重點： 等差數列的定義、通項公式、性質的理解與應用. 教學難點： 靈活應用等差數列的定義及性質解決一些相關問題. 教學過程： Ⅰ.復習回顧 等差數列定義：an－an－1＝d(n≥2)，等差數列通項公式：an＝a1＋(n－1)d(n≥1)，推導公式：an＝am＋(n－m)d Ⅱ.講授新課 首先，請同學們來思考這樣一個問題. 問題1：如果在a與b中間插入一個數A，使a、A、b成等差數列，那么A應滿足什么條件？ 由等差數列定義及a、A、b成等差數列可得：A－a＝b－A，即：a＝. 反之，若A＝，則2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a、A、b成等差數列. 總之，A＝a，A，b成等差數列. 如果a、A、b成等差數列，那么a叫做a與b的等差中項. 不難發(fā)現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項. 如數列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中項，5是3和7的等差中項，7是5和9的等差中項等等. 進一步思考，同學們是否還發(fā)現什么規(guī)律呢？ 比如5不僅是3和7的等差中項，同時它也是1和9的等差中項，即不僅滿足5＝，同時還滿足5＝. 再如7不僅是5和9的等差中項，同時它也是3和11的等差中項，還是1和13的等差中項，即：7＝＝＝. 看來，a2＋a4＝a1＋a5＝2a3，a4＋a6＝a3＋a7＝2a5 依此類推，可得在一等差數列中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq. 下面，我們來看一個實際問題. ［例1］梯子的最高一級寬33 cm，最低一級寬110 cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數列，計算中間各級的寬度. 分析：首先要數學建模，即將實際問題轉化為數學問題，然后求其解，最后還要結合實際情況將其還原為實際問題的解. 解：用{an}表示梯子自上而下各級寬度所成的等差數列，由已知條件，有a1＝33，a12＝110，n＝12. 由通項公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即：110＝33＋11d，解得：d＝7. 因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103. 答案：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm. 評述：要注意將模型的解還原為實際問題的解. ［例2］已知數列的通項公式為an＝pn＋q，其中p、q是常數，且p≠0，那么這個數列是否一定是等差數列？如果是，其首項與公差是什么？ 分析：由等差數列的定義，要判定{an}是不是等差數列，只要看an－an－1(n≥2)是不是一個與n無關的常數就行了. 解：取數列{an}中的任意相鄰兩項an－1與an(n≥2)， an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p 它是一個與n無關的常數，所以{an}是等差數列，且公差是p. 在通項公式令n＝1，得a1＝p＋q，所以這個等差數列的首項是p＋q，公差是p.看來，等差數列的通項公式可以表示為：an＝pn＋q（其中p、q是常數） 當p＝0時，它是一常數數列，從圖象上看，表示這個數列的各點均在y＝q的圖象上.當p≠0時，它是關于n的一次式，從圖象上看，表示這個數 列的各點均在一次函數y＝px＋q的圖象上. 例如，首項是1，公差是2的無窮等差數列的通項 公式為：an＝2n－1，相應的圖象是直線y＝2x－1上的均 勻排開的無窮多個孤立點.如圖所示： ［例3］已知三個數成等差數列，其和為15，其平方 和為83，求此三個數. 解：設此三數分別為x－d、x、x＋d 則 解得x＝5，d＝2. ∴所求三個數列分別為3、5、7或7、5、3. 評述：三個數成等差數列時注意其設法. ［例4］已知數列{an}為等差數列，a1＝2，a2＝3，若在每相鄰兩項之間插入三個數后，和原數列仍構成一個等差數列，試問： （1）原數列的第12項是新數列的第幾項？ （2）新數列的第29項是原數列的第幾項？ 分析：運用遞推歸納的思想方法，從特殊中找規(guī)律，得到或猜想出一般結論，然后再回到特殊解決問題，這應該是解決本題的一個基本途徑. 解：原數列的第一項是新數列的第1項，原數列的第二項是新數列的第2＋3＝5項，原數列的第三項是新數列的第3＋23＝9項.……原數列的第n項是新數列的第n＋(n－1)3＝4n－3項. （1）當n＝12時，4n－3＝412－3＝45，故原數列的第12項是新數列的第45項. （2）令4n－3＝29，解得n＝8，故新數列的第29項是原數列的第8項. 評述：一般地，在公差為d的等差數列每相鄰兩項之間插入m個數，構成一個新的等差數列，則新數列的公差為，原數列的第n項是新數列的第n＋(n－1)m＝(m＋1)n－m項. ［例5］在等差數列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28，求{an}的通項公式. 分析一：利用等差數列的通項公式求解. 解法一：設所求的通項公式為an＝a1＋(n－1)d 則 即 ①代入②得（a1＋2d）(a1＋12d)＝7 ③ ∵a1＝4－7d，代入③，∴（4－5d）(4＋5d)＝8 即16－25d2＝7，解得d＝. 當d＝時，a1＝－，an＝－＋(n－1)＝n－ 當d＝－時，a1＝，an＝＋(n－1)（－）＝－n＋. 分析二：視a3，a8，a13作為一個整體，再利用性質：若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq解題. 解法二：∵a3＋a13＝a8＋a8＝2a8，又a3＋a8＋a13＝12，故知a8＝4 代入已知得 解得或 由a3＝1，a13＝7得d＝＝＝. ∴an＝a3＋(n－3)＝n－. 由a3＝7，a13＝1，仿上可得：an＝－n＋. 評述：在解答本題時，首先應注意到{an}是等差數列這個大前提，否則，僅有a3＋a8＋a18＝12及a3a8a13＝28就無法求出a3，a8，a13的具體值；其次，應注意到a3，a8，a13中腳碼3，8，13間的關系：3＋13＝8＋8，從而得到a3＋a13＝a8＋a8＝2a8. Ⅲ.課堂練習 課本P36練習 已知一個無窮等差數列的首項為a1，公差為d: (1)將數列中的前m項去掉，其余各項組成一個新的數 列，這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別 是多少？ 解：設一無窮等差數列為：a1，a2，…，am，am+1，…，an，… 若去掉前m項，則新數列為：am+1，…，an，…，即首項為am+1，公差為d的等差數列. （2）取出數列中的所有奇數項，組成一個新的數列，這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是多少？ 解：若設一無窮等差數列為：a1，a2，a3，a4，a5，…，an，…，則取出數列中的所有奇數項，組成的新數列為：a1，a3，a5，…，a2m－1，… 即，首項為a1，公差為2d的等差數列. （3）取出數列中的所有項數為7的倍數的各項，組成一個新的數列，這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差各是多少？ 設一無窮等差數列為：a1，a2，a3，…，an，…，則新數列為：a7，a14，a21，…，a7m，…，即首項為a7，公差為7d的等差數列. Ⅳ.課時小結 通過本節(jié)學習，首先，需掌握等差中項概念，及A＝與a，A，b成等差數列的關系，另外，還應注意等差數列的定義、通項公式、性質的靈活應用. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P39習題 4，5，6，7