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2019-2020年高中數學2.15《圓與圓的位置關系》教案蘇教版必修2 【學習導航】 圓與圓的位置關系 外切 相交 內切 外離 內含 知識網絡 學習要求 1．掌握圓與圓的位置關系的代數與幾何判別方法； 2．了解用代數法研究圓的關系的優(yōu)點； 3．了解算法思想． 【課堂互動】 自學評價 1．圓與圓之間有外離，外切，相交， 內切，內含五種位置關系． 2.設兩圓的半徑分別為，圓心距為， 當時，兩圓外離， 當時，兩圓外切， 當時，兩圓相交， 當時，兩圓內切， 當時，兩圓內含． 3.思考：用代數方法，通過聯立方程組，用判別式法可以判斷兩個圓的位置關系嗎？為什么？ 【精典范例】 例1：判斷下列兩圓的位置關系： 【解】（1）根據題意得，兩圓的半徑分別為，兩圓的圓心距 因為 ，所以兩圓外切． （2）將兩圓的方程化為標準方程，得． 故兩圓的半徑分別為， 兩圓的圓心距 ． 因為，所以兩圓相交． 點評：判斷兩圓的位置關系，不僅僅要判斷 與的大小，有時還需要判斷與的關系． 例2：求過點且與圓 切于原點的圓的方程． 分析：如圖，所求圓經過原點和，且圓心應在已知圓的圓心與原點的連線上．根據這三個條件可確定圓的方程． 【解】將圓化為標準方程，得 ， 則圓心為，半徑為．所以經過此圓心和原點的直線方程為． 設所求圓的方程為． 由題意知，在此圓上，且圓心在直線上，則有 于是所求圓的方程是． 點評：此題還可以通過弦的中垂線必過圓心這一性質來解題，由題意，圓心必在直線上，又圓心在直線，從而圓心坐標為，，所以所求圓的方程為． 追蹤訓練一 1.判斷下列兩個圓的位置關系： ； ． 答案：（1）內切，（2）相交． 2. 若圓與圓 相交，求實數的取值范圍． 答案：． 【選修延伸】 一、兩圓公共弦長及公共弦所在直線方程 例3: 已知圓，圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長． 分析：因兩圓的交點坐標同時滿足兩個圓方程，聯立方程組，消去項、項，即得兩圓的兩個交點所在的直線方程，利用勾股定理可求出兩圓公共弦長． 【解】設兩圓交點為、，則兩點坐標滿足方程組 ，得． 因為，兩點坐標都滿足此方程， 所以，即為兩圓公共弦所在的直線方程． 易知圓的圓心，半徑． 又到直線的距離為 ．所以， ．即兩圓的公共弦長為． 點評:本題較為復雜，要討論的情況比較多，解題過程中要 注重分析． 例5：求過兩圓 的交點，且圓心在直線上的圓的方程． 分析：所求圓圓心是兩已知圓連心線和已知直線的交點，再利用弦心距、弦長、半徑之間的關系求圓半徑 【解】（法一）可求得兩圓連心線所在直線的方程為． 由得圓心． 利用弦心距、弦長、半徑之間的關系可求得公共弦長， 所以，圓半徑 ． 所以，所求圓方程為， 即 （法二）設所求圓的方程為即． 故此圓的圓心為，它在直線上， 所以，所以． 所以所求圓方程為 點評:“解法二”中設出的經過兩已知圓交點的圓方程叫做經過兩已知圓的圓系方程． 思維點拔： 解題時要充分利用兩圓位置關系的幾何性質． 追蹤訓練二 1．一個圓經過圓和圓的兩個交點，且圓心在直線上，求該圓的方程． 答案：． 2．已知一個圓經過直線與圓的兩個交點，并且有最小面積，求此圓的方程． 答案：． 第15課 圓與圓的位置關系 分層訓練 1． 圓與圓 的位置關系是 （ ） 相離 相交 外切 內切 2． 兩圓：，： 的公切線有（ ） 2條 3條 4條 0條 3．已知半徑為1的動圓與圓相切，則動圓圓心的軌跡方程(動圓圓心坐標所滿足的關系式)為（ ） 或 或 4．若圓始終平分圓的圓周，則應滿足的關系式為 （ ） 5．若圓和圓關于直線對稱，則的方程為 ． 6．圓與圓相交于兩點，則直線的方程為 ，公共弦的長為 ． 7．已知動圓恒過一個定點,這個定點的坐標是______ ． 8．求經過點，且與圓相切于點的圓的方程． 9．求與兩條平行直線和 相切，且圓心在直線上的圓的方程． 拓展研究 10．已知圓與圓相交于兩點． （1）求直線的方程； （2）求經過兩點且面積最小的圓的方程； （3）求圓心在直線上，且經過兩點的圓的方程． 11．若兩圓及在交點處的切線互相垂直，求實數的值．