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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 6.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法教案 理 新人教A版 高考導(dǎo)航 考試要求 重難點(diǎn)擊 命題展望 1.數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法 （1）了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）； （2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù). 2.等差數(shù)列、等比數(shù)列 （1）理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念； （2）掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式； （3）能在具體問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題； （4）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 本章重點(diǎn)：1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及有關(guān)性質(zhì); 2.注重提煉一些重要的思想和方法，如：觀察法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、倒序相加求和法、錯(cuò)位相減求和法、裂項(xiàng)相消求和法、分組求和法、函數(shù)與方程思想、數(shù)學(xué)模型思想以及離散與連續(xù)的關(guān)系. 本章難點(diǎn)：1.數(shù)列概念的理解；2.等差等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用；3.數(shù)列通項(xiàng)與求和方法的運(yùn)用. 仍然會(huì)以客觀題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)，在解答題中，會(huì)保持以前的風(fēng)格，注重?cái)?shù)列與其他分支的綜合能力的考查，在高考中，數(shù)列?？汲Ｐ?，其主要原因是它作為一個(gè)特殊函數(shù)，使它可以與函數(shù)、不等式、解析幾何、三角函數(shù)等綜合起來，命出開放性、探索性強(qiáng)的問題，更體現(xiàn)了知識(shí)交叉命題原則得以貫徹；又因?yàn)閿?shù)列與生產(chǎn)、生活的聯(lián)系，使數(shù)列應(yīng)用題也倍受歡迎. 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 6.1　數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 典例精析 題型一　歸納、猜想法求數(shù)列通項(xiàng) 【例1】根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，分別寫出它們的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)7,77,777,7 777，… (2)，－，，－，… (3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，… 【解析】(1)將數(shù)列變形為(10－1)，(102－1)，(103－1)，…，(10n－1)， 故an＝(10n－1). (2)分開觀察，正負(fù)號(hào)由(－1)n＋1確定，分子是偶數(shù)2n，分母是13,35,57， …，(2n－1)(2n＋1)，故數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫成an＝(－1)n＋1. (3)將已知數(shù)列變?yōu)?＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,9＋0，…. 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n＋. 【點(diǎn)撥】聯(lián)想與轉(zhuǎn)換是由已知認(rèn)識(shí)未知的兩種有效的思維方法，觀察歸納是由特殊到一般的有效手段，本例的求解關(guān)鍵是通過分析、比較、聯(lián)想、歸納、轉(zhuǎn)換獲得項(xiàng)與項(xiàng)序數(shù)的一般規(guī)律，從而求得通項(xiàng). 【變式訓(xùn)練1】如下表定義函數(shù)f(x)： x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 對(duì)于數(shù)列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2,3,4，…，則a2 008的值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】a1＝4，a2＝1，a3＝5，a4＝2，a5＝4，…，可得an＋4＝an. 所以a2 008＝a4＝2，故選B. 題型二　應(yīng)用an＝求數(shù)列通項(xiàng) 【例2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，分別求其通項(xiàng)公式： (1)Sn＝3n－2； (2)Sn＝(an＋2)2 (an＞0). 【解析】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝31－2＝1， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝23n－1， 又a1＝1不適合上式， 故an＝ (2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝(a1＋2)2，解得a1＝2， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(an＋2)2－(an－1＋2)2， 所以(an－2)2－(an－1＋2)2＝0，所以(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0， 又an＞0，所以an－an－1＝4， 可知{an}為等差數(shù)列，公差為4， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)4＝4n－2， a1＝2也適合上式，故an＝4n－2. 【點(diǎn)撥】本例的關(guān)鍵是應(yīng)用an＝求數(shù)列的通項(xiàng)，特別要注意驗(yàn)證a1的值是否滿足“n≥2”的一般性通項(xiàng)公式. 【變式訓(xùn)練2】已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是(　　) A.2n－1 B.()n－1 C.n2 D.n 【解析】由an＝n(an＋1－an)?＝. 所以an＝…＝…＝n，故選D. 題型三　利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng) 【例3】已知在數(shù)列{an}中a1＝1，求滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式： (1)an＋1＝；(2)an＋1＝2an＋2n＋1. 【解析】(1)因?yàn)閷?duì)于一切n∈N*，an≠0， 因此由an＋1＝得＝＋2，即－＝2. 所以{}是等差數(shù)列，＝＋(n－1)2＝2n－1，即an＝. (2)根據(jù)已知條件得＝＋1，即－＝1. 所以數(shù)列{}是等差數(shù)列，＝＋(n－1)＝，即an＝(2n－1)2n－1. 【點(diǎn)撥】通項(xiàng)公式及遞推關(guān)系是給出數(shù)列的常用方法，尤其是后者，可以通過進(jìn)一步的計(jì)算，將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)，進(jìn)而可以求得所求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【變式訓(xùn)練3】設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，求an. 【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列， 所以anan＋1≠0，所以－＋1＝0， 令＝t，所以(n＋1)t2＋t－n＝0， 所以[(n＋1)t－n](t＋1)＝0， 得t＝或t＝－1(舍去)，即＝. 所以…＝…，所以an＝. 總結(jié)提高 1.給出數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)時(shí)，常用特征分析法與化歸法，所求通項(xiàng)不唯一. 2.由Sn求an時(shí)，要分n＝1和n≥2兩種情況. 3.給出Sn與an的遞推關(guān)系，要求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.