2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第9講 函數(shù)模型及其應(yīng)用.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第9講 函數(shù)模型及其應(yīng)用最新考綱1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征,知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義;2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用知 識(shí) 梳 理幾類函數(shù)模型及其增長(zhǎng)差異(1)幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)型f(x)axb(a,b為常數(shù),a0)反比例函數(shù)型f(x)b(k,b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a,b,c為常數(shù),a0)指數(shù)函數(shù)型f(x)baxc(a,b,c為常數(shù),b0,a0且a1)對(duì)數(shù)函數(shù)型f(x)blogaxc(a,b,c為常數(shù),b0,a0且a1)冪函數(shù)型f(x)axnb(a,b為常數(shù),a0)(2)指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)Yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0,) 上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0,當(dāng)xx0時(shí),有l(wèi)ogaxxnax診 斷 自 測(cè)1判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)精彩PPT展示(1)函數(shù)y2x的函數(shù)值比yx2的函數(shù)值大()(2)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)yabxc(a0,b0,b1)增長(zhǎng)速度越來越快的形象比喻()(3)冪函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快()(4)f(x)x2,g(x)2x,h(x)log2x,當(dāng)x(4,)時(shí),恒有h(x)f(x)g(x)()2小明騎車上學(xué),開始時(shí)勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后,為了趕時(shí)間加快速度行駛,與以上事件吻合得最好的圖象是()解析小明勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),所得圖象為一條直線,且距離學(xué)校越來越近,排除A.因交通堵塞停留了一段時(shí)間,與學(xué)校的距離不變,排除D.后來為了趕時(shí)間加快速度行駛,排除B.故選C.答案C3(xx深圳模擬)用長(zhǎng)度為24的材料圍一矩形場(chǎng)地,中間加兩道隔墻,要使矩形的面積最大,則隔墻的長(zhǎng)度為()A3B4 C6D12解析設(shè)隔墻的長(zhǎng)為x(0x6),矩形面積為y,則yx2x(6x)2(x3)218,當(dāng)x3時(shí),y最大答案A4某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍,且知病毒的繁殖規(guī)律為yekt(其中k為常數(shù),t表示時(shí)間,單位:小時(shí),y表示病毒個(gè)數(shù)),則k_,經(jīng)過5小時(shí),1 個(gè)病毒能繁殖為_個(gè)解析當(dāng)t0.5時(shí),y2,2ek,k2ln 2,ye2tln 2,當(dāng)t5時(shí),ye10ln 22101 024.答案2ln 21 0245(人教A必修1P104例5改編)某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元,每桶水的進(jìn)價(jià)是5元,銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表所示:銷售單價(jià)/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析,這個(gè)經(jīng)營(yíng)部為獲得最大利潤(rùn),定價(jià)應(yīng)為_元解析設(shè)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上增加x元后,日均銷售利潤(rùn)為y元,日均銷售量為48040(x1)52040x(桶),則y(52040x)x20040x2520x200,0x13.當(dāng)x6.5時(shí),y有最大值所以只需將銷售單價(jià)定為11.5元,就可獲得最大的利潤(rùn)答案11.5考點(diǎn)一二次函數(shù)模型【例1】 A,B兩城相距100 km,在兩城之間距A城x(km)處建一核電站給A,B兩城供電,為保證城市安全,核電站距城市距離不得小于10 km.已知供電費(fèi)用等于供電距離(km)的平方與供電量(億度)之積的0.25倍,若A城供電量為每月20億度,B城供電量為每月10億度(1)求x的取值范圍;(2)把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù);(3)核電站建在距A城多遠(yuǎn),才能使供電總費(fèi)用y最少?解(1)x的取值范圍為10x90.(2)y5x2(100x)2(10x90)(3)因?yàn)閥5x2(100x)2x2500x25 0002,所以當(dāng)x時(shí),ymin.故核電站建在距A城km處,能使供電總費(fèi)用y最少規(guī)律方法在建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題中的最優(yōu)問題時(shí),一定要注意自變量的取值范圍,需根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)定義域的位置關(guān)系討論求解【訓(xùn)練1】 (xx武漢高三檢測(cè))某汽車銷售公司在A,B兩地銷售同一種品牌的汽車,在A地的銷售利潤(rùn)(單位:萬元)為y14.1x0.1x2,在B地的銷售利潤(rùn)(單位:萬元)為y22x,其中x為銷售量(單位:輛),若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車,則能獲得的最大利潤(rùn)是()A10.5萬元B11萬元C43萬元D43.025萬元解析設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x輛,則在B地銷售該品牌的汽車(16x)輛,所以可得利潤(rùn)y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x)20.132.因?yàn)閤0,16且xN,所以當(dāng)x10或11時(shí),總利潤(rùn)取得最大值43萬元答案C考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型【例2】 (xx青島模擬)世界人口在過去40年翻了一番,則每年人口平均增長(zhǎng)率是(參考數(shù)據(jù)lg 20.301 0,100.007 51.017)()A1.5%B1.6%C1.7%D1.8%解析設(shè)每年人口平均增長(zhǎng)率為x,則(1x)402,兩邊取以10為底的對(duì)數(shù),則40 lg(1x)lg 2,所以lg(1x)0.007 5,所以100.007 51x,得1x1.017,所以x1.7%.答案C規(guī)律方法在實(shí)際問題中,有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問題常用指數(shù)函數(shù)模型表示通常可以表示為yN(1p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù),p為增長(zhǎng)率,x為時(shí)間)的形式解題時(shí),往往用到對(duì)數(shù)運(yùn)算,要注意與已知表格中給定的值對(duì)應(yīng)求解【訓(xùn)練2】 某位股民購(gòu)進(jìn)某支股票,在接下來的交易時(shí)間內(nèi),他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%),又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%),則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為()A略有盈利B略有虧損C沒有盈利也沒有虧損D無法判斷盈虧情況解析設(shè)該股民購(gòu)這支股票的價(jià)格為a元,則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為a(110%)na1.1n元,經(jīng)歷n次跌停后的價(jià)格為a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa,故該股民這支股票略有虧損答案B考點(diǎn)三分段函數(shù)模型【例3】 某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)xx年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位:萬人)與x的關(guān)系近似地滿足p(x)x(x1)(392x)(xN*,且x12)已知第x個(gè)月的人均消費(fèi)額q(x)(單位:元)與x的近似關(guān)系是q(x)(1)寫出xx年第x個(gè)月的旅游人數(shù)f(x)(單位:人)與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)試問xx年第幾個(gè)月旅游消費(fèi)總額最大?最大月旅游消費(fèi)總額為多少元?解(1)當(dāng)x1時(shí),f(1)p(1)37,當(dāng)2x12,且xN*時(shí),f(x)p(x)p(x1)x(x1)(392x)(x1)x(412x)3x240x,驗(yàn)證x1也滿足此式,所以f(x)3x240x(xN*,且1x12)(2)第x個(gè)月旅游消費(fèi)總額為g(x)即g(x)當(dāng)1x6,且xN*時(shí),g(x)18x2370x1 400,令g(x)0,解得x5或x(舍去)當(dāng)1x5時(shí),g(x)0,當(dāng)5x6時(shí),g(x)0,當(dāng)x5時(shí),g(x)maxg(5)3 125(萬元)當(dāng)7x12,且xN*時(shí),g(x)480x6 400是減函數(shù),當(dāng)x7時(shí),g(x)maxg(7)3 040(萬元)綜上,xx年5月份的旅游消費(fèi)總額最大,最大旅游消費(fèi)總額為3 125萬元.規(guī)律方法(1)很多實(shí)際問題中,變量間的關(guān)系不能用一個(gè)關(guān)系式給出,這時(shí)就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型,如出租車的票價(jià)與路程的函數(shù)就是分段函數(shù)(2)求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法在求分段函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)先求每一段上的最值,然后比較得最大值、最小值【訓(xùn)練3】 某建材商場(chǎng)國(guó)慶期間搞促銷活動(dòng),規(guī)定:顧客購(gòu)物總金額不超過800元,不享受任何折扣,如果顧客購(gòu)物總金額超過800元,則超過800元部分享受一定的折扣優(yōu)惠,按下表折扣分別累計(jì)計(jì)算.可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣率不超過500元的部分5%超過500元的部分10%某人在此商場(chǎng)購(gòu)物總金額為x元,可以獲得的折扣金額為y元,則y關(guān)于x的解析式為y若y30元,則他購(gòu)物實(shí)際所付金額為_元解析若x1 300元,則y5%(1 300800)25(元)30(元),因此x1 300.由10%(x1 300)2530,得x1 350(元)答案1 350思想方法解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型;(2)建模:將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;(3)解模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論;(4)還原:將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義以上過程用框圖表示如下:易錯(cuò)防范1解應(yīng)用題思路的關(guān)鍵是審題,不僅要明白、理解問題講的是什么,還要特別注意一些關(guān)鍵的字眼(如“幾年后”與“第幾年后”),學(xué)生常常由于讀題不謹(jǐn)慎而漏讀和錯(cuò)讀,導(dǎo)致題目不會(huì)做或函數(shù)解析式寫錯(cuò),故建議復(fù)習(xí)時(shí)務(wù)必養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣2在解應(yīng)用題建模后一定要注意定義域,建模的關(guān)鍵是注意尋找量與量之間的相互依賴關(guān)系3解決完數(shù)學(xué)模型后,注意轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題寫出總結(jié)答案.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí):40分鐘)一、選擇題1下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù),它最可能的函數(shù)模型是()x45678910y15171921232527A一次函數(shù)模型B冪函數(shù)模型C指數(shù)函數(shù)模型D對(duì)數(shù)函數(shù)模型解析根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知,自變量每增加1函數(shù)值增加2,因此函數(shù)值的增量是均勻的,故為一次函數(shù)模型答案A2(xx合肥調(diào)研)某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是:前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來越快,后3年年產(chǎn)量保持不變,則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖象正確的是()解析前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來越快,說明呈高速增長(zhǎng),只有A,C圖象符合要求,而后3年年產(chǎn)量保持不變,故選A.答案A3(xx北京東城期末)某企業(yè)投入100萬元購(gòu)入一套設(shè)備,該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元,此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi),第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元,由于設(shè)備老化,以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬元為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低,該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為()A10B11 C13D21解析設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x,設(shè)備年平均費(fèi)用為y,則x年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為242xx(x1),所以x年的平均費(fèi)用為yx1.5,由基本不等式得yx1.52 1.521.5,當(dāng)且僅當(dāng)x,即x10時(shí)取等號(hào),所以選A.答案A4(xx孝感模擬)物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題,特別是菜價(jià),我國(guó)某部門為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià),提出四種綠色運(yùn)輸方案據(jù)預(yù)測(cè),這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)測(cè)的運(yùn)輸任務(wù)Q0,各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示,在這四種方案中,運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是()解析由運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高得,曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)逐漸增大,故函數(shù)的圖象應(yīng)一直是下凹的,故選B.答案B5.某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式:A種方式是月租20元,B種方式是月租0元一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時(shí)間t(分鐘)與打出電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖,當(dāng)打出電話150分鐘時(shí),這兩種方式電話費(fèi)相差()A10元B20元 C30元D元解析設(shè)A種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為sk1t20,B種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為sk2t,當(dāng)t100時(shí),100k120100k2,k2k1,t150時(shí),150k2150k1201502010.答案A二、填空題6.(xx江西六校聯(lián)考)A、B兩只船分別從在東西方向上相距145 km的甲乙兩地開出A從甲地自東向西行駛B從乙地自北向南行駛,A的速度是40 kmh,B的速度是 16 kmh,經(jīng)過_小時(shí),AB間的距離最短解析設(shè)經(jīng)過x h,A,B相距為y km,則y(0x),求得函數(shù)的最小值時(shí)x的值為.答案7(xx長(zhǎng)春模擬)一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3,細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出,t min 后剩余的細(xì)沙量為 yaebt(cm3),經(jīng)過 8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子,則再經(jīng)過_min,容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一解析當(dāng)t0時(shí),ya,當(dāng)t8時(shí),yae8ba,e8b,容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí),即yaebta,ebt(e8b)3e24b,則t24,所以再經(jīng)過16 min.答案168.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長(zhǎng)x為_m.解析設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長(zhǎng)為y,則由相似三角形性質(zhì)可得,解得y40x,所以面積Sx(40x)x240x(x20)2400(0x40),當(dāng)x20時(shí),Smax400.答案20三、解答題9(xx鄭州模擬)某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品,其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y48x8 000,已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸(1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí),生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低,并求最低成本;(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元,那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí),可以獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?解(1)每噸平均成本為(萬元)則482 4832,當(dāng)且僅當(dāng),即x200時(shí)取等號(hào)年產(chǎn)量為200噸時(shí),每噸平均成本最低為32萬元(2)設(shè)年獲得總利潤(rùn)為R(x)萬元?jiǎng)tR(x)40xy40x48x8 00088x8 000(x220)21 680(0x210)R(x)在0,210上是增函數(shù),x210時(shí),R(x)有最大值為(210220)21 6801 660.年產(chǎn)量為210噸時(shí),可獲得最大利潤(rùn)1 660萬元10.在扶貧活動(dòng)中,為了盡快脫貧(無債務(wù))致富,企業(yè)甲將經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙,并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中,首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開支3 600元后,逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息)在甲提供的資料中:這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元;該店月銷量Q(百件)與銷售價(jià)格P(元)的關(guān)系如圖所示;每月需各種開支2 000元(1)當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí),月利潤(rùn)扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大?并求最大余額;(2)企業(yè)乙只依靠該店,最早可望在幾年后脫貧?解設(shè)該店月利潤(rùn)余額為L(zhǎng)元,則由題設(shè)得LQ(P14)1003 6002 000,由銷量圖易得Q代入式得L(1)當(dāng)14P20時(shí),Lmax450元,此時(shí)P19.5元;當(dāng)20P26時(shí),Lmax元,此時(shí)P元故當(dāng)P19.5元時(shí),月利潤(rùn)余額最大,為450元(2)設(shè)可在n年后脫貧,依題意有12n45050 00058 0000,解得n20.即最早可望在20年后脫貧能力提升題組(建議用時(shí):25分鐘)11為了預(yù)防信息泄露,保證信息的安全傳輸,在傳輸過程中都需要對(duì)文件加密,有一種為加密密鑰密碼系統(tǒng)(Private Key Cryptosystem),其加密、解密原理為:發(fā)送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密)現(xiàn)在加密密鑰為ykx3,如“4”通過加密后得到密文“2”,若接受方接到密文“”,則解密后得到的明文是()A.B C2D解析由題目可知加密密鑰ykx3是一個(gè)冪函數(shù)型,由已知可得,當(dāng)x4時(shí),y2,即2k43,解得k.故yx3,顯然令y,則x3,即x3,解得x.答案A12.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料,如圖,為降低消耗,開源節(jié)流,現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用,當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí),矩形兩邊長(zhǎng)x,y應(yīng)為()Ax15,y12Bx12,y15Cx14,y10Dx10,y14解析由三角形相似得.得x(24y),Sxy(y12)2180,當(dāng)y12時(shí),S有最大值,此時(shí)x15.答案A13一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元,此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元,年產(chǎn)量為x(xN*)件當(dāng)x 20時(shí),年銷售總收入為(33xx2)萬元;當(dāng)x20時(shí),年銷售總收入為260萬元記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)為y萬元,則y(萬元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式為_,該工廠的年產(chǎn)量為_件時(shí),所得年利潤(rùn)最大(年利潤(rùn)年銷售總收入年總投資)解析當(dāng)0x20時(shí),y(33xx2)x100x232x100;當(dāng)x20時(shí),y260100x160x.故y(xN*)當(dāng)0x20時(shí),yx232x100(x16)2156,x16時(shí),ymax156.而當(dāng)x20時(shí),160x140,故x16時(shí)取得最大年利潤(rùn)答案y(xN*)1614已知某物體的溫度(單位:攝氏度)隨時(shí)間t(單位:分鐘)的變化規(guī)律:m2t21t(t0,并且m0)(1)如果m2,求經(jīng)過多少時(shí)間,物體的溫度為5攝氏度;(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度,求m的取值范圍解(1)若m2,則22t21t2,當(dāng)5時(shí),2t,令2tx1,則x,即2x25x20,解得x2或x(舍去),此時(shí)t1.所以經(jīng)過1分鐘,物體的溫度為5攝氏度(2)物體的溫度總不低于2攝氏度,即2恒成立亦m2t2恒成立,亦即m2恒成立令x,則0x1,m2(xx2),由于xx2,m.因此,當(dāng)物體的溫度總不低于2攝氏度時(shí),m的取值范圍是.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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