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2019-2020 年高考數(shù)學(xué) 回扣突破 30 練 第 27 練 不等式選講 理 一.題型考點對對練 1.（與含絕對值不等式的解法）設(shè)函數(shù). （1）求不等式的解集； （2）若存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍. （2）等價于 ，等價于，而 ，若存在實數(shù)解，則，即實數(shù)的取值范圍是. 2.（求解與絕對值不等式相關(guān)的最值問題）已知函數(shù)，且不等式的解集為， ， . （1）求， 的值； （2）對任意實數(shù)，都有 成立，求實數(shù)的最大值. 【解析】 （1）若，原不等式可化為，解得，即； 若，原不等式可化為，解得，即； 若，原不等式可化為，解得，即； 綜上所述，不等式的解集為，所以， . （2）由（1）知， ，所以 ， 故， ，所以，即實數(shù)的最大值為 2. 3.（證明不等式）已知為正實數(shù)，且 （1）解關(guān)于的不等式； （2）證明： 4.（利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法）已知函數(shù)，且的解集為． （1）求的值； （2）若都是正實數(shù)，且，求證： ． 【解析】 （I）依題意,即 ,∴ （II）方法 1:∵ ，∴ ，當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號 方法 2: ∵ ∴由柯西不等式得 整理得，當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號. 5.（利用不等式性質(zhì)比較大?。┰O(shè)不等式的解集為， 、 ． （Ⅰ）證明： ； （Ⅱ）比較與的大小，并說明理由． 二.易錯問題糾錯練 6.（不等式證明方法選擇不當(dāng)至錯）已知函數(shù)． (1) 解不等式； (2) 若， ，求證： ． 【解析】 （1）原不等式即為．當(dāng)時，則，解得； 當(dāng)時，則，此時不成立；當(dāng)時，則，解得． 所以原不等式的解集為或． （2）要證，即，只需證明． 則有 ． 因為， ，則 ，所以，原不等式得證． 【注意問題】首先利用分析法將要證明的不等式進(jìn)行等價變形，然后作差結(jié)合不等式的特 點和題意證得等價變形后的結(jié)論即可證得原不等式成立.． 7.（混淆不等式有解與不等式恒成立至錯）已知函數(shù)（， ）的值域為． （Ⅰ）求實數(shù)的值； （Ⅱ）若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍． 【注意問題】依題意有 ． 三.新題好題好好練 8.（1）求不等式的解集； （2）若正實數(shù)滿足，求證：． 【解析】 （1）當(dāng)時， ，解得，∴；當(dāng)時， ，解得，∴；當(dāng)時， ，解得，舍去．綜上， ．故原不 等式的解集為． （2）證明：要證，只需證，即證，即證， 而，所以成立，所以原不等式成立． 9.已知函數(shù)，若的最小值為 2. （1）求實數(shù)的值； （2）若，且均為正實數(shù)，且滿足，求的最小值. ，解得或（舍） ；②當(dāng)時，即時， ，則當(dāng)時， ， 解得（舍）或，③當(dāng)時，即， ，此時，不滿足條件，綜上所述，或； （2）由題意知， ，∵當(dāng)且僅當(dāng)時取“” ，∴，所以的最小值為 18 10.已知函數(shù)． （1）若的最小值為 2，求的值； （2）若對， ，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍． 【解析】 （1） ，當(dāng)且僅當(dāng)取介于和之間的數(shù) 時，等號成立，故的最小值為， ； （2）由（1）知的最小值為，故，使成立，即 ， ，. 11.已知函數(shù). （Ⅰ）求不等式的解集； （Ⅱ）記的最小值為，若正實數(shù)， ，滿足，求證：. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值為 6，即.（或者） ，所以， 由柯西不等式可得 因此. 12.已知函數(shù). (1) 若，求實數(shù)的取值范圍; (2) 若 R , 求證：. 【解析】(1) 因為，所以. ① 當(dāng)時，得，解得，所以; ② 當(dāng)時，得，解得，所以; ③ 當(dāng)時，得，解得，所以; 綜上所述，實數(shù)的取值范圍是. (2) 因為 R , 所以 .