2019-2020年高二數(shù)學(xué)《數(shù)列的遞推公式》教學(xué)設(shè)計.doc
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2019-2020年高二數(shù)學(xué)數(shù)列的遞推公式教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容及其解析(一)內(nèi)容:數(shù)列的遞推公式(二)解析:這節(jié)課通過對數(shù)列通項公式的正確理解,讓學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)列的遞推公式,明確遞推公式與通項公式的異同;會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項;通過經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理解運用的過程,作好探究性教學(xué).發(fā)揮學(xué)生的主體作用,提高學(xué)生的分析問題以及解決問題的能力.教學(xué)重點 根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.教學(xué)難點 理解遞推公式與通項公式的關(guān)系.二、目標(biāo)及其解析1.了解數(shù)列的遞推公式,明確遞推公式與通項公式的異同;2.會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.1.經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理解運用的過程;2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用,作好探究性實驗;3.理論聯(lián)系實際,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.三、問題診斷分析四、教學(xué)過程問題與題例問題:前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義,數(shù)列的通項公式的意義等內(nèi)容, 哪位同學(xué)能談一談什么叫數(shù)列的通項公式?如果數(shù)列an的第n項與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.問題:你能舉例說明嗎?如數(shù)列0,1,2,3,的通項公式為an=n-1(nN*);1,1,1的通項公式為an=1(nN*,1n3);1, , , ,的通項公式為an= (nN*).問題:通項公式是表示數(shù)列的很好的方法,同學(xué)們想一想還有哪些方法可以表示數(shù)列? 圖象法,我們可仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形.具體方法是以項數(shù)n為橫坐標(biāo),相應(yīng)的項an為縱坐標(biāo),即以(n,an)為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作出點(以前面提到的數(shù)列1, ,為例,作出一個數(shù)列的圖象),所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點,因為橫坐標(biāo)為正整數(shù),所以這些點都在y軸的右側(cè),而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù).從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢.-遞推公式法知識都來源于實踐,同時還要應(yīng)用于生活,用其來解決一些實際問題.下面同學(xué)們來看右下圖:鋼管堆放示意圖(投影片).觀察鋼管堆放示意圖,尋其規(guī)律,看看能否建立它的一些數(shù)學(xué)模型. 模型一:自上而下第1層鋼管數(shù)為4,即141+3;第2層鋼管數(shù)為5,即252+3;第3層鋼管數(shù)為6,即363+3;第4層鋼管數(shù)為7,即474+3;第5層鋼管數(shù)為8,即585+3;第6層鋼管數(shù)為9,即696+3;第7層鋼管數(shù)為10,即7107+3.若用an表示鋼管數(shù),n表示層數(shù),則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列,且an=n+3(1n7). 問題:同學(xué)們運用每一層的鋼管數(shù)與其層數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型,這完全正確,運用這一關(guān)系,會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù).這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便.讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片,是否還有其他規(guī)律可循?(啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律) 模型二:上下層之間的關(guān)系自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1,即a1=4;a2=5=4+1=a1+1;a3=6=5+1=a2+1.依此類推:an=a n-1+1(2n7).問題:對于上述所求關(guān)系,同學(xué)們有什么樣的理解? 若知其第1項,就可以求出第二項,以此類推,即可求出其他項.看來,這一關(guān)系也較為重要,我們把數(shù)列中具有這種遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式.概念形成1.遞推公式定義:如果已知數(shù)列an的第1項(或前幾項),且任一項an與它的前一項an-1(或前n項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.注意:遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法.如下列數(shù)字排列的一個數(shù)列:3,5,8,13,21,34,55,89.遞推公式為:a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3n8).2.數(shù)列可看作特殊的函數(shù),其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系,函數(shù)的表示法有:列表法、圖象法、解析式法.相對于數(shù)列來說也有相應(yīng)的這幾種表示方法:即列表法、圖象法、解析式法.例題【例1】 設(shè)數(shù)列an滿足.寫出這個數(shù)列的前五項.分析:題中已給出an的第1項即a1=1,題目要求寫出這個數(shù)列的前五項,因而只要再求出二到五項即可.這個遞推公式:an=1+我們將如何應(yīng)用呢?這要將n的值2和a1=1代入這個遞推公式計算就可求出第二項,然后依次這樣進(jìn)行就可以了.請大家計算一下!解:據(jù)題意可知:a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ =,a4=1+ =,a5=設(shè)計意圖:掌握遞推公式很關(guān)鍵的一點就是其中的遞推關(guān)系,同學(xué)們要注意探究和發(fā)現(xiàn)遞推公式中的前項與后項,或前后幾項之間的關(guān)系.【例2】 已知a1=2,an+1=2an,寫出前5項,并猜想an.分析:由例1的經(jīng)驗我們先求前5項.前5項分別為2,4,8,16,32.下面來猜想第n項.由a1=2,a2=22=22,a3=222=23觀察可得,猜想an=2n.問題:本題若改為求an是否還可這樣去解呢?由a n+1=2an變形可得an=2a n-1,即,依次向下寫,一直到第一項,然后將它們乘起來,就有,所以an=a12n-1=2n.這種方法通常叫迭乘法,這種方法在已知遞推公式求數(shù)列通項的問題中是比較常用的方法,對應(yīng)的還有迭加法.變式:已知a1=2,an+1=an-4,求an.分析:此題與前例2比較,遞推式中的運算改為了減法,同學(xué)們想一想如何去求解呢?l 寫出:a1=2,a2=-2,a3=-6,a4=-10,觀察可得:an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1).l 解:由an+1-an=-4依次向下寫,一直到第一項,然后將它們加起來,an-a n-1=-4an-1-an-2=-4an-2-an-3=-4an=2-4(n-1).小結(jié)(1)數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項的遞推關(guān)系確定的,如果只有遞推關(guān)系而無初始值,那么這個數(shù)列是不能確定的.例如,由數(shù)列an中的遞推公式an+1=2an+1無法寫出數(shù)列an中的任何一項,若又知a1=1,則可以依次地寫出a2=3,a3=7,a4=15,.(2)遞推公式是給出數(shù)列的一種方法,由遞推公式可能求出數(shù)列的通項公式,也可能求不出通項公式.五、目標(biāo)檢測1、根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式,寫出它的前五項,并歸納出通項公式.(投影片)(1)a10,an+1an(2n-1)(nN);(2)a11,a n+1 (nN);(3)a13,an+13an-2(nN).(讓學(xué)生思考一定時間后,請三位學(xué)生分別作答)解:(1)a10,a21,a34,a49,a516,an(n-1)2.(2)a11, a2,a3=,a4,a5 =,an.(3)a131+230,a271+231,a3191+232,a4551+233,a51631+234,an123 n-1.注:不要求學(xué)生進(jìn)行證明歸納出通項公式.2、一只猴子爬一個8級的梯子,每次可爬一級或上躍二級,最多能上躍起三級,從地面上到最上一級,你知道這只猴子一共可以有多少種不同的爬躍方式嗎?析:這題是一道應(yīng)用題,這里難在爬梯子有多種形式,到底是爬一級還是上躍二級等情況要分類考慮周到.爬一級梯子的方法只有一種.爬一個二級梯子有兩種,即一級一級爬是一種,還有一次爬二級,所以共有兩種.若設(shè)爬一個n級梯子的不同爬法有an種,則an=an-1+an-2+an-3(n4),則得到a1=1,a2=2,a3=4及an=a n-1+an-2+an-3(n4),就可以求得a8=81.六、課堂小結(jié)這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的另一種給出方法,即遞推公式及其用法,要注意理解它與通項公式的區(qū)別,誰能說說?通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關(guān)系,而遞推公式反映的是相鄰兩項(或n項)之間的關(guān)系.對于通項公式,只要將公式中的n依次取1,2,3,即可得到相應(yīng)的項.而遞推公式則要已知首項(或前n項),才可求得其他的項.(讓學(xué)生自己來總結(jié),將所學(xué)的知識,結(jié)合獲取知識的過程與方法,進(jìn)行回顧與反思,從而達(dá)到三維目標(biāo)的整合.培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和語言表達(dá)能力)七、配餐練習(xí) 優(yōu)化設(shè)計2.1.2 優(yōu)化作業(yè)- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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