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2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 9.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　直線與圓錐曲線交點問題 【例1】若曲線y2＝ax與直線y＝(a＋1)x－1恰有一個公共點，求實數(shù)a的值. 【解析】聯(lián)立方程組 (1)當a＝0時，方程組恰有一組解為 (2)當a≠0時，消去x得y2－y－1＝0， ①若＝0，即a＝－1，方程變?yōu)橐辉淮畏匠蹋瓂－1＝0， 方程組恰有一組解 ②若≠0，即a≠－1，令Δ＝0，即1＋＝0，解得a＝－，這時直線與曲線相切，只有一個公共點. 綜上所述，a＝0或a＝－1或a＝－. 【點撥】本題設(shè)計了一個思維“陷阱”，即審題中誤認為a≠0，解答過程中的失誤就是不討論二次項系數(shù)＝0，即a＝－1的可能性，從而漏掉兩解.本題用代數(shù)方法解完后，應(yīng)從幾何上驗證一下：①當a＝0時，曲線y2＝ax，即直線y＝0，此時與已知直線y＝x－1 恰有交點(1,0)；②當a＝－1時，直線y＝－1與拋物線的對稱軸平行，恰有一個交點(代數(shù)特征是消元后得到的一元二次方程中二次項系數(shù)為零)；③當a＝－時直線與拋物線相切. 【變式訓練1】若直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝4有且只有一個公共點，則實數(shù)k的取值范圍為(　　) A.{1，－1，，－} B.(－∞，－]∪[，＋∞) C.(－∞，－1]∪[1，＋∞) D.(－∞，－1)∪[，＋∞) 【解析】由?(1－k2)x2－2kx－5＝0， ?k＝，結(jié)合直線過定點(0，－1)，且漸近線斜率為1，可知答案為A. 題型二　直線與圓錐曲線的相交弦問題 【例2】(xx遼寧模擬)設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60，＝2. (1)求橢圓C的離心率； (2)如果|AB|＝，求橢圓C的方程. 【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y1＜0，y2＞0. (1)直線l的方程為y＝(x－c)，其中c＝. 聯(lián)立 得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0. 解得y1＝，y2＝. 因為＝2，所以－y1＝2y2，即＝2. 解得離心率e＝＝. (2)因為|AB|＝|y2－y1|，所以＝. 由＝得b＝a，所以a＝，即a＝3，b＝. 所以橢圓的方程為＋＝1. 【點撥】本題考查直線與圓錐曲線相交及相交弦的弦長問題，以及用待定系數(shù)法求橢圓方程. 【變式訓練2】橢圓ax2＋by2＝1與直線y＝1－x交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為，則的值為　　　. 【解析】設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點坐標為(x0，y0)，代入橢圓方程兩式相減得a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0? 2ax0＋2by0＝0?ax0－by0＝0. 故＝＝. 題型三　對稱問題 【例3】在拋物線y2＝4x上存在兩個不同的點關(guān)于直線l：y＝kx＋3對稱，求k的取值范圍. 【解析】設(shè)A(x1，y1)、B(x2、y2)是拋物線上關(guān)于直線l對稱的兩點，由題意知k≠0. 設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋b， 聯(lián)立消去x，得y2＋y－b＝0， 由題意有Δ＝12＋4b＞0，即＋1＞0.(*) 且y1＋y2＝－4k.又＝－＋b.所以＝k(2k＋b). 故AB的中點為E(k(2k＋b)，－2k). 因為l過E，所以－2k＝k2(2k＋b)＋3，即b＝－2k. 代入(*)式，得－2＋1＞0?＜0 ?k(k＋1)(k2－k＋3)＜0?－1＜k＜0，故k的取值范圍為(－1,0). 【點撥】(1)本題的關(guān)鍵是對稱條件的轉(zhuǎn)化.A(x1，y1)、B(x2，y2)關(guān)于直線l對稱，則滿足直線l與AB垂直，且線段AB的中點坐標滿足l的方程； (2)對于圓錐曲線上存在兩點關(guān)于某一直線對稱，求有關(guān)參數(shù)的范圍問題，利用對稱條件求出過這兩點的直線方程，利用判別式大于零建立不等式求解；或者用參數(shù)表示弦中點的坐標，利用中點在曲線內(nèi)部的條件建立不等式求參數(shù)的取值范圍. 【變式訓練3】已知拋物線y＝－x2＋3上存在關(guān)于x＋y＝0對稱的兩點A，B，則|AB|等于(　　) A.3 B.4 C.3 D.4 【解析】設(shè)AB方程：y＝x＋b，代入y＝－x2＋3，得x2＋x＋b－3＝0， 所以xA＋xB＝－1，故AB中點為(－，－＋b). 它又在x＋y＝0上，所以b＝1，所以|AB|＝3，故選C. 總結(jié)提高 1.本節(jié)內(nèi)容的重點是研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判別式方法及弦中點問題的處理方法. 2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程組的解的討論，即聯(lián)立方程組 通過消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋bx＋c＝0進行討論.這時要注意考慮a＝0和a≠0兩種情況，對雙曲線和拋物線而言，一個公共點的情況除a≠0，Δ＝0外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對稱軸平行時，都只有一個交點(此時直線與雙曲線、拋物線屬相交情況).由此可見，直線與圓錐曲線只有一個公共點，并不是直線與圓錐曲線相切的充要條件. 3.弦中點問題的處理既可以用判別式法，也可以用點差法；使用點差法時，要特別注意驗證“相交”的情形.