2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第06講 函數(shù)與方程教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第06講 函數(shù)與方程教案 新人教版一課標要求:1結合二次函數(shù)的圖像,判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù),從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系;2根據(jù)具體函數(shù)的圖像,能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解,了解這種方法是求方程近似解的常用方法。二命題走向函數(shù)與方程的理論是高中新課標教材中新增的知識點,特別是“二分法”求方程的近似解也一定會是高考的考點。從近幾年高考的形勢來看,十分注重對三個“二次”(即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式)的考察力度,同時也研究了它的許多重要的結論,并付諸應用。高考試題中有近一半的試題與這三個“二次”問題有關。預計xx年高考對本講的要求是:以二分法為重點、以二次函數(shù)為載體、以考察函數(shù)與方程的關系為目標來考察學生的能力。(1)題型可為選擇、填空和解答;(2)高考試題中可能出現(xiàn)復合了函數(shù)性質與函數(shù)零點的綜合題,同時考察函數(shù)方程的思想。三要點精講1方程的根與函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點概念:對于函數(shù),把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。即:方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點。二次函數(shù)的零點:),方程有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點;),方程有兩相等實根(二重根),二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;),方程無實根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點,二次函數(shù)無零點。零點存在性定理:如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點。既存在,使得,這個也就是方程的根。2.二分法二分法及步驟:對于在區(qū)間,上連續(xù)不斷,且滿足的函數(shù),通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法給定精度,用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下:(1)確定區(qū)間,驗證,給定精度;(2)求區(qū)間,的中點;(3)計算:若=,則就是函數(shù)的零點;若,則令=(此時零點);若0,f(x)在區(qū)間p,q上的最大值M,最小值m,令x0= (p+q)。若p,則f(p)=m,f(q)=M;若px0,則f()=m,f(q)=M;若x0q,則f(p)=M,f()=m;若q,則f(p)=M,f(q)=m。(3)二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布及條件。方程f(x)=0的兩根中一根比r大,另一根比r小af(r)0;二次方程f(x)=0的兩根都大于r 二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)f(q)0,或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p,q)內(nèi)成立。四典例解析題型1:方程的根與函數(shù)零點例1(1)方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為( )A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,+)(2)設a為常數(shù),試討論方程的實根的個數(shù)。解析:(1)在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點橫坐標,顯然在區(qū)間(1,3)內(nèi),由此可排除A,D至于選B還是選C,由于畫圖精確性的限制,單憑直觀就比較困難了。實際上這是要比較與2的大小。當x=2時,lgx=lg2,3-x=1。由于lg21,因此2,從而判定(2,3),故本題應選C。(2)原方程等價于即構造函數(shù)和,作出它們的圖像,易知平行于x軸的直線與拋物線的交點情況可得:當或時,原方程有一解;當時,原方程有兩解;當或時,原方程無解。點評:圖象法求函數(shù)零點,考查學生的數(shù)形結合思想。本題是通過構造函數(shù)用數(shù)形結合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數(shù)形結合,要在結合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計,而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值,通過比較其大小進行判斷。例2(xx廣東19)設函數(shù)在上滿足,且在閉區(qū)間0,7上,只有。()試判斷函數(shù)的奇偶性;()試求方程=0在閉區(qū)間xx,xx上的根的個數(shù),并證明你的結論。解析:由f(2x)=f(2+x),f(7x)=f(7+x)得函數(shù)的對稱軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù)的周期為又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(II)由(III) 又故f(x)在0,10和10,0上均有有兩個解,從而可知函數(shù)在0,xx上有402個解,在xx.0上有400個解,所以函數(shù)在xx,xx上有802個解。點評:解題過程注重了函數(shù)的數(shù)字特征“”,即函數(shù)的零點,也就是方程的根。題型2:零點存在性定理例3(xx廣東21)設函數(shù),其中常數(shù)為整數(shù)。(1)當為何值時,;(2)定理:若函數(shù)在上連續(xù),且與異號,則至少存在一點,使得試用上述定理證明:當整數(shù)時,方程在內(nèi)有兩個實根。解析:(1)函數(shù)f(x)=xln(x+m),x(m,+)連續(xù),且當x(m,1m)時,f (x)f(1m)當x(1m, +)時,f (x)0,f(x)為增函數(shù),f(x)f(1m)根據(jù)函數(shù)極值判別方法,f(1m)=1m為極小值,而且對x(m, +)都有f(x)f(1m)=1m故當整數(shù)m1時,f(x) 1m0(2)證明:由(I)知,當整數(shù)m1時,f(1m)=1-m1時,類似地,當整數(shù)m1時,函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號,由所給定理知,存在唯一的故當m1時,方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實根。點評:本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應用上。例4若函數(shù)在區(qū)間a,b上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線,則下列說法正確的是( )A若,不存在實數(shù)使得;B若,存在且只存在一個實數(shù)使得;C若,有可能存在實數(shù)使得; D若,有可能不存在實數(shù)使得;解析:由零點存在性定理可知選項D不正確;對于選項B,可通過反例“在區(qū)間上滿足,但其存在三個解”推翻;同時選項A可通過反例“在區(qū)間上滿足,但其存在兩個解”;選項D正確,見實例“在區(qū)間上滿足,但其不存在實數(shù)解”。點評:該問題詳細介紹了零點存在性定理的理論基礎。題型3:二分法的概念例5關于“二分法”求方程的近似解,說法正確的是()A“二分法”求方程的近似解一定可將在a,b內(nèi)的所有零點得到;B“二分法”求方程的近似解有可能得不到在a,b內(nèi)的零點;C應用“二分法”求方程的近似解,在a,b內(nèi)有可能無零點;D“二分法”求方程的近似解可能得到在a,b內(nèi)的精確解;解析:如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設,且在區(qū)間內(nèi)存在兩個及以上的實根,二分法只可能求出其中的一個,只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解,二分法的實施滿足零點存在性定理,在區(qū)間內(nèi)一定存在零點,甚至有可能得到函數(shù)的精確零點。點評:該題深入解析了二分法的思想方法。例6方程在0,1內(nèi)的近似解,用“二分法”計算到達到精確度要求。那么所取誤差限是( )A0.05 B0.005 C0.0005 D0.00005解析:由四舍五入的原則知道,當時,精度達到。此時差限是0.0005,選項為C。點評:該題考察了差限的定義,以及它對精度的影響。題型4:應用“二分法”求函數(shù)的零點和方程的近似解例7借助計算器,用二分法求出在區(qū)間(1,2)內(nèi)的近似解(精確到0.1)。解析:原方程即。令,用計算器做出如下對應值表x21012f(x)2.58203.0530279181.07944.6974觀察上表,可知零點在(1,2)內(nèi)取區(qū)間中點=1.5,且,從而,可知零點在(1,1.5)內(nèi);再取區(qū)間中點=1.25,且,從而,可知零點在(1.25,1.5)內(nèi);同理取區(qū)間中點=1.375,且,從而,可知零點在(1.25,1.375)內(nèi);由于區(qū)間(1.25,1.375)內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3。故結果是1.3。點評:該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程,通過本題學會借助精度終止二分法的過程。例8借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解(精確到)。分析:本例除借助計算器或計算機確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數(shù)外,你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數(shù)?略解:圖象在閉區(qū)間,上連續(xù)的單調函數(shù),在,上至多有一個零點。點評:第一步確定零點所在的大致區(qū)間,可利用函數(shù)性質,也可借助計算機或計算器,但盡量取端點為整數(shù)的區(qū)間,盡量縮短區(qū)間長度,通??纱_定一個長度為1的區(qū)間;建議列表樣式如下:零點所在區(qū)間中點函數(shù)值區(qū)間長度1,2011,1.500.51.25,1.500.25如此列表的優(yōu)勢:計算步數(shù)明確,區(qū)間長度小于精度時,即為計算的最后一步。題型5:一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點例9設二次函數(shù),方程的兩個根滿足. 當時,證明。證明:由題意可知,, , 當時,。又, ,綜上可知,所給問題獲證。點評:在已知方程兩根的情況下,根據(jù)函數(shù)與方程根的關系,可以寫出函數(shù)的表達式,從而得到函數(shù)的表達式。例10已知二次函數(shù),設方程的兩個實數(shù)根為和. (1)如果,設函數(shù)的對稱軸為,求證:;(2)如果,求的取值范圍.解析:設,則的二根為和。(1)由及,可得 ,即,即兩式相加得,所以,;(2)由, 可得 。又,所以同號。 ,等價于或,即 或解之得 或。點評:條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間,因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉化。題型6:一元二次函數(shù)與一元二次不等式例11設,若,, 試證明:對于任意,有。解析: , , . 當時,當時,綜上,問題獲證。點評:本題中,所給條件并不足以確定參數(shù)的值,但應該注意到:所要求的結論不是確定值,而是與條件相對應的“取值范圍”,因此,我們可以用來表示。例12已知二次函數(shù),當時,有,求證:當時,有解析:由題意知:, , 。由時,有,可得 。 ,。(1)若,則在上單調,故當時, 此時問題獲證. (2)若,則當時,又, 此時問題獲證。綜上可知:當時,有。點評:研究的性質,最好能夠得出其解析式,從這個意義上說,應該盡量用已知條件來表達參數(shù). 確定三個參數(shù),只需三個獨立條件,本題可以考慮,這樣做的好處有兩個:一是的表達較為簡潔,二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點和中點,這樣做能夠較好地利用條件來達到控制二次函數(shù)范圍的目的。要考慮在區(qū)間上函數(shù)值的取值范圍,只需考慮其最大值,也即考慮在區(qū)間端點和頂點處的函數(shù)值。題型7:二次函數(shù)的圖像與性質例13(1996上海,文、理8)在下列圖象中,二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=()x的圖象只可能是( )解析一:由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出01.拋物線方程是y=a(x+)2,其頂點坐標為(,),又由01,可得0.觀察選擇支,可選A。解析二:求y=ax2+bx與x軸的交點,令ax2+bx=0,解得x=0或x=,而10.故選A。點評:本題雖小,但一定要細致觀察圖象,注意細微之處,獲得解題靈感。例14(xx全國高考題)設aR,函數(shù)f(x)=x2+|xa|+1,xR. (1)討論f(x)的奇偶性(2)求f(x)的最小值.解:(1)顯然a=0時,f(x)為偶函數(shù),當a0時,f(a)=a2+1, f(a)=a2+2|a|+1f(a)f(a), f(a)+f(a)0 此時f(x)為非奇非偶函數(shù).(2)首先應先去掉絕對值,再進行討論.當xa時,.若,則f(x)在區(qū)間(-,a上單調遞減, f(x)的最小值為f(a)=a2+1.(如圖(I)若,則f(x)在區(qū)間(-,a上的最小值為(如圖II). 當xa時,若,則f(x)在a,+上的最小值為(如圖III)。若,則f(x)在a,+上單調遞增。則f(x)在a,+上的最小值為f(a)=a2+1.(如圖IV)。綜上,當時,f(x)最小值為。當時,f(x)最小值為a2+1。當時,f(x)最小值為。點評:該題考察到函數(shù)的圖像與性質的綜合應用,考察了分類討論的思想。題型8:二次函數(shù)的綜合問題例15(xx浙江文20)已知函數(shù)和的圖象關于原點對稱,且。()求函數(shù)的解析式; ()解不等式; ()若在上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍。解析:()設函數(shù)的圖象上任意一點關于原點的對稱點為,則點在函數(shù)的圖象上()由當時,此時不等式無解。當時,解得。因此,原不等式的解集為。()點評:本題主要考查函數(shù)圖象的對稱、二次函數(shù)的基本性質與不等式的應用等基礎知識,以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。例16已知函數(shù)。(1)將的圖象向右平移兩個單位,得到函數(shù),求函數(shù)的解析式;(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱,求函數(shù)的解析式;(3)設,已知的最小值是且,求實數(shù)的取值范圍。解析:(1)(2)設的圖像上一點,點關于的對稱點為,由點Q在的圖像上,所以 ,于是 即 (3)。設,則。問題轉化為:對恒成立. 即 對恒成立. (*)故必有.(否則,若,則關于的二次函數(shù)開口向下,當充分大時,必有;而當時,顯然不能保證(*)成立.),此時,由于二次函數(shù)的對稱軸,所以,問題等價于,即,解之得:。此時,故在取得最小值滿足條件。點評:緊扣二次函數(shù)的頂點式對稱軸、最值、判別式顯合力。五思維總結1函數(shù)零點的求法:(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質找出零點。2學習二次函數(shù),可以從兩個方面入手:一是解析式,二是圖像特征. 從解析式出發(fā),可以進行純粹的代數(shù)推理,這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學素養(yǎng);從圖像特征出發(fā),可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結合,這正是中學數(shù)學中一種非常重要的思想方法. 本文將從這兩個方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問題。由于二次函數(shù)的解析式簡捷明了,易于變形(一般式、頂點式、零點式等),所以,在解決二次函數(shù)的問題時,常常借助其解析式,通過純代數(shù)推理,進而導出二次函數(shù)的有關性質。(1)二次函數(shù)的一般式中有三個參數(shù). 解題的關鍵在于:通過三個獨立條件“確定”這三個參數(shù)。(2)數(shù)形結合:二次函數(shù)的圖像為拋物線,具有許多優(yōu)美的性質,如對稱性、單調性、凹凸性等。結合這些圖像特征解決有關二次函數(shù)的問題,可以化難為易,形象直觀。因為二次函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別單調,所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點或頂點處取得;函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點或頂點處取得。- 配套講稿:
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