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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 8.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系教案 ●知識梳理 本節(jié)主要內(nèi)容是直線與圓錐曲線公共點問題、相交弦問題以及它們的綜合應用.解決這些問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為它們所對應的方程構(gòu)成的方程組是否有解或解的個數(shù)問題.對相交弦長問題及中點弦問題要正確運用“設(shè)而不求”.涉及焦點弦的問題還可以利用圓錐曲線的焦半徑公式. ●點擊雙基 1.過點（2，4）作直線與拋物線y2＝8x只有一個公共點，這樣的直線有 A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 解析：數(shù)形結(jié)合法，同時注意點在曲線上的情況. 答案：B 2.已知雙曲線C：x2－=1，過點P（1，1）作直線l，使l與C有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l共有 A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 解析：數(shù)形結(jié)合法，與漸近線平行、相切. 答案：D 3.雙曲線x2－y2＝1的左焦點為F，點P為左支下半支上任意一點（異于頂點），則直線PF的斜率的變化范圍是 A.（－∞，0） B.（1，＋∞） C.（－∞，0）∪（1，+∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞） 解析：數(shù)形結(jié)合法，與漸近線斜率比較. 答案：C 4.過拋物線y2=4x焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=8，O為坐標原點，則 △OAB的重心的橫坐標為____________. 解析：由題意知拋物線焦點F（1，0）.設(shè)過焦點F（1，0）的直線為y=k（x－1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）.代入拋物線方程消去y得k2x2－2（k2+2）x+k2=0. ∵k2≠0，∴x1+x2=，x1x2=1. ∵|AB|= = ==8，∴k2=1. ∴△OAB的重心的橫坐標為x==2. 答案：2 5.已知（4，2）是直線l被橢圓+=1所截得的線段的中點，則l的方程是____________. 解析：設(shè)直線l與橢圓交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2）， 將P1、P2兩點坐標代入橢圓方程相減得直線l斜率k==－ = －=－. 由點斜式可得l的方程為x+2y－8=0. 答案：x+2y－8=0 ●典例剖析 【例1】 已知直線l：y=tanα（x+2）交橢圓x2+9y2=9于A、B兩點，若α為l的傾斜角，且|AB|的長不小于短軸的長，求α的取值范圍. 剖析：確定某一變量的取值范圍，應設(shè)法建立關(guān)于這一變量的不等式，題設(shè)中已經(jīng)明確給定弦長≥2b，最后可歸結(jié)為計算弦長求解不等式的問題. 解：將l方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得（1+9tan2α）x2+36tan2αx+72tan2α－9=0， ∴|AB|=|x2－x1|==. 由|AB|≥2，得tan2α≤，∴－≤tanα≤. ∴α的取值范圍是［0，）∪［，π）. 評述：對于弦長公式一定要能熟練掌握、靈活運用.本題由于l的方程由tanα給出，所以可以認定α≠，否則涉及弦長計算時，還應討論α=時的情況. 深化拓展 本題若把條件|AB|的長不小于短軸的長去掉，改為求|AB|的長的取值范圍.讀者不妨一試. 提示：|AB|=， 設(shè)|AB|=y，即y=， 9ytan2α+y=6tan2α+6， （9y－6）tan2α+y－6=0. 當y≠時，由Δ≥0得＜y≤6. 當y=時，l與x軸垂直， 故|AB|的范圍是［，6］. 【例2】 已知拋物線y2=－x與直線y=k（x+1）相交于A、B兩點. （1）求證：OA⊥OB； （2）當△OAB的面積等于時，求k的值. 剖析：證明OA⊥OB可有兩種思路（如下圖）： （1）證kOAkOB=－1； （2）取AB中點M，證|OM|=|AB|. 求k的值，關(guān)鍵是利用面積建立關(guān)于k的方程，求△AOB的面積也有兩種思路： （1）利用S△OAB=|AB|h（h為O到AB的距離）； （2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），直線和x軸交點為N，利用S△OAB=|AB||y1－y2|. 請同學們各選一種思路給出解法. 解方程組時，是消去x還是消去y，這要根據(jù)解題的思路去確定.當然，這里消去x是最簡捷的. （1）證明：如下圖，由方程組 消去x后，整理得 y2=－x， y=k（x+1） ky2+y－k=0.設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），由韋達定理y1y2=－1. ∵A、B在拋物線y2=－x上，∴y12=－x1，y22=－x2，y12y22=x1x2． ∵kOAkOB====－1，∴OA⊥OB. （2）解：設(shè)直線與x軸交于N，又顯然k≠0， ∴令y=0，則x=－1，即N（－1，0）. ∵S△OAB=S△OAN+S△OBN =|ON||y1|+|ON||y2| =|ON||y1－y2|， ∴S△OAB=1 =. ∵S△OAB=，∴=.解得k=. 評述：本題考查了兩直線垂直的充要條件、三角形的面積公式、函數(shù)與方程的思想，以及分析問題、解決問題的能力. 【例3】 在拋物線y2=4x上恒有兩點關(guān)于直線y=kx+3對稱，求k的取值范圍. 剖析：設(shè)B、C兩點關(guān)于直線y=kx+3對稱，易得直線BC：x=－ky+m，由B、C兩點關(guān)于直線y=kx+3對稱可得m與k的關(guān)系式， 而直線BC與拋物線有兩交點， ∴Δ＞0，即可求得k的范圍. 解：設(shè)B、C關(guān)于直線y=kx+3對稱，直線BC方程為x=－ky+m，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m=0， 設(shè)B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中點M（x0，y0）， 則y0＝＝－2k，x0＝2k2+m. ∵點M（x0，y0）在直線l上， ∴－2k=k（2k2＋m）+3. ∴m=－. 又∵BC與拋物線交于不同兩點， ∴Δ＝16k2＋16m＞0. 把m代入化簡得＜0， 即＜0，解得－1＜k＜0. 評述：對稱問題是高考的熱點之一，由對稱易得兩個關(guān)系式.本題運用了“設(shè)而不求”，解決本題的關(guān)鍵是由B、C兩點在拋物線上得“Δ＞0”. 思考討論 將直線BC設(shè)為x=－ky+m.好！若直線BC的方程設(shè)為y=－x+m，本題運算量增大，同學們不妨一試. ●闖關(guān)訓練 夯實基礎(chǔ) 1.若雙曲線x2－y2＝1的右支上一點P（a，b）到直線y=x的距離為，則a+b的值為 A.－ B. C. D.2 解析：P（a，b）點在雙曲線上，則有a2－b2=1，即（a+b）（a－b）=1. d==，∴|a－b|=2. 又P點在右支上，則有a>b，∴a－b=2.∴|a+b|2=1，a+b=. 答案：B 2.已知對k∈R，直線y－kx－1=0與橢圓+=1恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是 A.（0，1） B.（0，5） C.［1，5）∪（5，+∞） D.［1，5） 解析：直線y－kx－1=0恒過點（0，1），僅當點（0，1）在橢圓上或橢圓內(nèi)時，此直線才恒與橢圓有公共點.所以，≤1且m＞0，得m≥1.故本題應選C. 答案：C 3.已知雙曲線x2－＝1，過P（2，1）點作一直線交雙曲線于A、B兩點，并使P為AB的中點，則直線AB的斜率為____________. 解析：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），代入雙曲線方程3x2－y2=1相減得直線AB的斜率 kAB== ===6. 答案：6 4.AB為拋物線y2=2px（p＞0）的焦點弦，若|AB|=1，則AB中點的橫坐標為___________；若AB的傾斜角為α，則|AB|=____________. 解析：設(shè)過F（，0）的直線為y=k（x－），k≠0，代入拋物線方程，由條件可得結(jié)果. 答案： 5.求過點（0，2）的直線被橢圓x2＋2y2＝2所截弦的中點的軌跡方程. 解：設(shè)直線方程為y=kx+2，把它代入x2＋2y2＝2， 整理得（2k2＋1）x2+8kx+6=0. 要使直線和橢圓有兩個不同交點，則Δ＞0，即k＜－或k＞. 設(shè)直線與橢圓兩個交點為A（x1，y1）、B（x2，y2），中點坐標為C（x，y），則 x＝＝， y= +2＝. （k＜－或k＞）， 從參數(shù)方程 x=， y= 消去k得x2＋2（y－1）2＝2，且｜x｜＜＝，0＜y＜． 6.中心在坐標原點、焦點在x軸上的橢圓，它的離心率為，與直線x+y－1=0相交于M、N兩點，若以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求橢圓方程. 解：設(shè)橢圓方程＋＝1（a＞b＞0）， ∵e＝，∴a2＝4b2，即a＝2b. ∴橢圓方程為＋＝1. 把直線方程代入化簡得5x2－8x+4－4b2＝0. 設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2），則x1＋x2＝，x1x2＝（4－4b2）. ∴y1y2＝（1－x1）（1－x2）＝1－（x1＋x2）＋x1x2＝（1－4b2）. 由于OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0.解得b2＝，a2＝. ∴橢圓方程為x2＋y2＝1. 培養(yǎng)能力 7.試證明雙曲線－=1（a＞0，b＞0）上任意一點到它的兩條漸近線的距離之積為常數(shù). 證明：設(shè)P（x0，y0）是已知雙曲線上任意一點，雙曲線的漸近線為bxay=0，則點P到兩漸近線的距離之積為d1d2==== 常數(shù). 8.已知直線y=（a+1）x－1與曲線y2=ax恰有一個公共點，求實數(shù)a的值. 使其恰有一組解. 解析：聯(lián)立方程組 y=（a+1）x－1， y2=ax， （1）當a=0時，此方程組恰有一組解 x=1， y=0. （2）當a≠0時，方程組化為y2－y－1=0. 若=0，即a=－1，方程組恰有一解 x=－1， y=－1. 一解 若≠0，即a≠－1，令Δ=0，得1+4=0，解得a=－，這時方程組恰有 x=－5， y=－2. 綜上所述，可知當a=0，－1，－時，直線與曲線恰有一個公共點. 探究創(chuàng)新 9.（xx年北京）如下圖，橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為 M（0，r）（b＞r＞0）. （1）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率. （2）直線y=k1x交橢圓于兩點C（x1，y1），D（x2，y2）（y2＞0）；直線y=k2x交橢圓于兩點G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）. 求證：=. （3）對于（2）中的C、D、G、H，設(shè)CH交x軸于點P，GD交x軸于點Q. 求證：|OP|=|OQ|. （證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形） （1）解： 橢圓方程為+=1. 焦點坐標為F1（－，r），F(xiàn)2（，r）， 離心率e=. （2）證明：將直線CD的方程y=k1x代入橢圓方程，得b2x2+a2（k1x－r）2=a2b2， 整理得（b2+a2k12）x2－2k1a2rx+（a2r2－a2b2）=0. 根據(jù)韋達定理，得 x1+x2=，x1x2=， 所以=. ① 將直線GH的方程y=k2x代入橢圓方程，同理可得 = ② 由①②得==. 所以結(jié)論成立. （3）證明：設(shè)點P（p，0），點Q（q，0）. 由C、P、H三點共線，得=，解得p=. 由D、Q、G三點共線，同理可得q=. 由=變形得－=， 即－=. 所以|p|=|q|，即|OP|=|OQ|. ●思悟小結(jié) 1.解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，對于消元后的一元二次方程，必須討論二次項的系數(shù)和判別式Δ，有時借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便. 2.涉及弦的中點問題，除利用韋達定理外，也可以運用平方差法，但必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法. 3.求圓錐曲線的弦長時，可利用弦長公式 d=＝. 再結(jié)合韋達定理解決.焦點弦的長也可以直接利用焦半徑公式處理，可以使運算簡化. ●教師下載中心 教學點睛 1.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，可以轉(zhuǎn)化為它們所對應的方程構(gòu)成的方程組是否有解或解的個數(shù)問題，往往通過消元最終歸結(jié)為討論一元二次方程根的情況.需要注意的是當直線平行于拋物線的對稱軸或雙曲線的漸近線時，直線與拋物線或雙曲線有且只有一個交點. 2.涉及直線與圓錐曲線相交弦的問題，主要有這樣幾個方面：相交弦的長，有弦長公式|AB|=|x2－x1|；弦所在直線的方程（如中點弦、相交弦等）、弦的中點的軌跡等，這可以利用“設(shè)點代點、設(shè)而不求”的方法（設(shè)交點坐標，將交點坐標代入曲線方程，并不具體求出坐標，而是利用坐標應滿足的關(guān)系直接導致問題的解決）. 3.涉及到圓錐曲線焦點弦的問題，還可以利用圓錐曲線的焦半徑公式（即圓錐曲線的第二定義），應掌握求焦半徑以及利用焦半徑解題的方法. 拓展題例 【例1】 （xx年福州市模擬題）已知拋物線C：y2=4（x－1），橢圓C1的左焦點及左準線與拋物線C的焦點F和準線l分別重合. （1）設(shè)B是橢圓C1短軸的一個端點，線段BF的中點為P，求點P的軌跡C2的方程； （2）如果直線x+y=m與曲線C2相交于不同兩點M、N，求m的取值范圍. （1）解法一：由y2=4（x－1）知拋物線C的焦點F坐標為（2，0）.準線l的方程為x=0.設(shè)動橢圓C1的短軸的一個端點B的坐標為（x1，y1）（x1＞2，y1≠0），點P（x，y）， ∴ 則 x=， x1=2x－2， y=， y1=2y. ∴B（2x－2，2y）（x＞2，y≠0）. 設(shè)點B在準線x=0上的射影為點B′，橢圓的中心為點O′，則橢圓離心率e=，由=，得=， 整理，化簡得y2=x－2（y≠0），這就是點P的軌跡方程. 解法二：拋物線y2=4（x－1）焦點為F（2，0），準線l：x=0.設(shè)P（x，y）， ∵P為BF中點， ∴B（2x－2，2y）（x＞2，y≠0）.設(shè)橢圓C1的長半軸、短半軸、半焦距分別為a、b、c， 則c=（2x－2）－2=2x－4，b2=（2y）2=4y2， ∵（－c）－（－）=2，∴=2， 即b2=2c.∴4y2=2（2x－4）， 即y2=x－2（y≠0），此即C2的軌跡方程. （y≠0），得y2+y－m+2=0，令Δ=1－4（－m+2）＞0，解得 （2）解：由 x+y=m， y2=x－2 m＞. 而當m=2時，直線x+y=2過點（2，0），這時它與曲線C2只有一個交點， ∴所求m的取值范圍是（，2）∪（2，+∞）. 【例2】 已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0），兩個焦點分別為F1和F2，斜率為k的直線l過右焦點F2且與橢圓交于A、B兩點，設(shè)l與y軸交點為P，線段PF2的中點恰為B. （1）若｜k｜≤，求橢圓C的離心率的取值范圍； （2）若k=，A、B到右準線距離之和為，求橢圓C的方程. 解：（1）設(shè)右焦點F2（c，0），則l：y=k（x－c）. 令x=0，則y=－ck，∴P（0，－ck）. ∵B為F2P的中點，∴B（，－）. ∵B在橢圓上，∴＋＝1. ∴k2＝＝（－1）（4－e2）＝＋e2－5. ∵｜k｜≤，∴＋e2－5≤. ∴（5e2－4）（e2－5）≤0. ∴≤e2＜1.∴≤e＜1． （2）k＝，∴e＝.∴＝. ∴a2＝c2，b2＝c2.橢圓方程為＋＝1，即x2＋5y2＝c2． 直線l方程為y=（x－c），B（，－c），右準線為x=c. 設(shè)A（x0，y0），則（c－x0）＋（c－）＝， ∴x0＝2c－，y0＝（c－）. ∵A在橢圓上， ∴（2c－）2＋5［（c－）］2＝c2. 解之得c=2或c＝（不合題意，舍去）. ∴橢圓方程為x2＋5y2＝5，即＋y2＝1．