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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 第十三篇 推理證明、算法、復數(shù) 第5講　復 數(shù)教案 理 新人教版 【xx年高考會這樣考】 復數(shù)的基本概念、復數(shù)相等的充要條件以及復數(shù)的代數(shù)運算是高考的熱點，并且一般在前三題的位置，主要考查對復數(shù)概念的理解以及復數(shù)的加減乘除四則運算，難度較小． 【復習指導】 1．復習時要理解復數(shù)的相關概念如實部、虛部、純虛數(shù)、共軛復數(shù)等，以及復數(shù)的幾何意義． 2．要把復數(shù)的基本運算作為復習的重點，尤其是復數(shù)的四則運算與共軛復數(shù)的性質等．因考題較容易，所以重在練基礎．　　 基礎梳理 1．復數(shù)的有關概念 (1)復數(shù)的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)． (2)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c；b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)復數(shù)的模 向量的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．復數(shù)的四則運算 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝ ＝(c＋di≠0)． 一條規(guī)律 任意兩個復數(shù)全是實數(shù)時能比較大小，其他情況不能比較大小． 兩條性質 (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)． (2)(1i)2＝2i，＝i，＝－i. 雙基自測 1．(人教A版教材習題改編)復數(shù)(i是虛數(shù)單位)的實部是(　　)． A. B．－ C．－i D．－ 解析?。剑? ＝－－i. 答案　D 2．(xx天津)設i是虛數(shù)單位，復數(shù)＝(　　)． A．2－i B．2＋i C．－1－2i D．－1＋2i 解析?。?1－3i)(1＋i)＝(4－2i)＝2－i. 答案　A 3．(xx湖南)若a，b∈R，i為虛數(shù)單位，且(a＋i)i＝b＋i，則(　　)． A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 解析　由(a＋i)i＝b＋i，得：－1＋ai＝b＋i，根據(jù)復數(shù)相等得：a＝1，b＝－1. 答案　C 4．(xx廣東)設復數(shù)z滿足(1＋i)z＝2，其中i為虛數(shù)單位，則z＝(　　)． A．2－2i B．2＋2i C．1－i D．1＋i 解析　z＝＝＝＝1－i. 答案　C 5．i2(1＋i)的實部是________． 解析　i2(1＋i)＝－1－i. 答案　－1 考向一　復數(shù)的有關概念 【例1】?(xx安徽)設i是虛數(shù)單位，復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a為(　　)． A．2 B．－2 C．－ D. [審題視點] 利用純虛數(shù)的概念可求． 解析　＝＝＋i， 由純虛數(shù)的概念知：＝0，≠0，∴a＝2. 答案　A 復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部、虛部滿足的方程即可． 【訓練1】 已知a∈R，復數(shù)z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若為純虛數(shù)，則復數(shù)的虛部為________． 解析?。剑? ＝＋i， ∵為純虛數(shù)，∴＝0，≠0，∴a＝1.故的虛部為1. 答案　1 考向二　復數(shù)的幾何意義 【例2】?在復平面內，復數(shù)6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B，若C為線段AB的中點，則點C對應的復數(shù)是(　　)． A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i [審題視點] 利用中點坐標公式可求． 解析　復數(shù)6＋5i對應的點為A(6,5)，復數(shù)－2＋3i對應的點為B(－2,3)．利用中點坐標公式得線段AB的中點C(2,4)，故點C對應的復數(shù)為2＋4i. 答案　C 復數(shù)的幾何意義可以讓我們運用數(shù)形結合思想把復數(shù)、向量、解析幾何有機的結合在一起，能夠更加靈活的解決問題．高考中對復數(shù)幾何意義的考查主要集中在復數(shù)對應點的位置、加減法的幾何意義、模的意義等． 【訓練2】 (xx徐州一檢)復數(shù)＋i2 012對應的點位于復平面內的第________象限． 解析?。玦2 012＝i＋1.故對應的點(1,1)位于復平面內第一象限． 答案　一 考向三　復數(shù)的運算 【例3】?(xx上海)已知復數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i，復數(shù)z2的虛部為2，且z1z2是實數(shù)，求z2. [審題視點] 利用復數(shù)的乘除運算求z1，再設z2＝a＋2i(a∈R)，利用z1z2是實數(shù)，求a. 解　由(z1－2)(1＋i)＝1－i，得z1－2＝＝－i， ∴z1＝2－i. 設z2＝a＋2i(a∈R)， ∴z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1z2∈R. ∴a＝4. ∴z2＝4＋2i. 復數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式． 【訓練3】 (xx湖北)i為虛數(shù)單位，則xx＝(　　)． A．－i B．－1 C．i D．1 解析　因為＝＝i，所以原式＝ixx＝i4502＋3＝i3＝－i. 答案　A　　 難點突破27——復數(shù)的幾何意義問題 復數(shù)的幾何意義是復數(shù)中的難點，化解難點的關鍵是對復數(shù)的幾何意義的正確理解．對于復數(shù)的幾何意義的理解可以從以下兩個方面著手： (1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝，實際上就是指復平面上的點Z到原點O的距離；|z1－z2|的幾何意義是復平面上的點Z1、Z2兩點間的距離． (2)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量 相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?. 【示例1】? (xx山東)復數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)在復平面內對應的點所在象限為(　　)． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【示例2】? (xx全國新課標)已知復數(shù)z＝， 則|z|＝(　　)． A. B. C．1 D．2