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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第1講　合情推理與演繹推理教案 理 新人教版 【xx年高考會這樣考】 1．從近年來的新課標高考來看，高考對本部分的考查多以選擇或填空題的形式出現(xiàn)，主要考查利用歸納推理、類比推理去尋求更為一般的、新的結(jié)論，試題的難度以低、中檔題為主． 2．演繹推理主要與立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識結(jié)合在一起命制綜合題． 【復(fù)習指導(dǎo)】 本講復(fù)習時，要注意做好以下兩點：一要聯(lián)系具體實例，體會和領(lǐng)悟歸納推理、類比推理、演繹推理的原理、內(nèi)涵及特點，并會用這些方法分析、解決具體問題．二由于歸納、類比、演繹推理思維方式貫穿于高中數(shù)學(xué)的整個知識體系，所以復(fù)習時要有意識地培養(yǎng)邏輯分析等方面的訓(xùn)練． 基礎(chǔ)梳理 1．合情推理 (1)歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理．簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理． (2)類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理． (3)合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理． 2．演繹推理 (1)演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情況； ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷． 一條規(guī)律 在進行類比推理時要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，否則，只抓住一點表面現(xiàn)象的相似甚至假象就去類比，那么就會犯機械類比的錯誤． 兩個防范 (1)合情推理是從已知的結(jié)論推測未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進一步嚴格證明． (2)演繹推理是由一般到特殊的推理，它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題，注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規(guī)范性． 雙基自測 1．(人教A版教材習題改編)數(shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　)． A．28 B．32 C．33 D．27 解析　從第2項起每一項與前一項的差構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列，所以x＝20＋12＝32. 答案　B 2．某同學(xué)在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，○○○●●○○○●●○○○…，按這種規(guī)律往下排，那么第36個圓的顏色應(yīng)是(　　)． A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 解析　由題干圖知，圖形是三白二黑的圓周而復(fù)始相繼排列，是一個周期為5的三白二黑的圓列，因為365＝7余1，所以第36個圓應(yīng)與第1個圓顏色相同，即白色． 答案　A 3．給出下列三個類比結(jié)論： ①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 其中結(jié)論正確的個數(shù)是(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析?、壅_． 答案　B 4．“因為指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)，而y＝x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)y＝x是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯誤在于(　　)． A．大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯 B．小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯 C．推理形式錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯 D．大前提和小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯 解析　“指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)”是本推理的大前提，它是錯誤的，因為實數(shù)a的取值范圍沒有確定，所以導(dǎo)致結(jié)論是錯誤的． 答案　A 5．(xx山東)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0) 觀察：f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝，…… 根據(jù)以上事實，由歸納推理可得： 當n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 解析　根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項依次是2,4,8,16，…可知fn(x)的分母中常數(shù)項為2n，分母中x的系數(shù)為2n－1，故fn(x)＝. 答案　. 考向一　歸納推理 【例1】?觀察下列等式： 可以推測：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N*，用含有n的代數(shù)式表示)． [審題視點] 第二列的右端分別是12,32,62,102,152，與第一列比較可得． 解析　第二列等式的右端分別是11,33,66,1010,1515，∵1,3,6,10,15，…第n項an與第n－1項an－1(n≥2)的差為：an－an－1＝n，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，各式相加得， an＝a1＋2＋3＋…＋n，其中a1＝1，∴an＝1＋2＋3＋…＋n，即an＝，∴a＝n2(n＋1)2. 答案　n2(n＋1)2 所謂歸納，就是由特殊到一般，因此在歸納時就要分析所給條件之間的變化規(guī)律，從而得到一般結(jié)論． 【訓(xùn)練1】 已知經(jīng)過計算和驗證有下列正確的不等式：＋＜2，＋＜2，＋＜2，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，請寫出一個對正實數(shù)m，n都成立的條件不等式________． 解析　觀察所給不等式可以發(fā)現(xiàn)：不等式左邊兩個根式的被開方數(shù)的和等于20，不等式的右邊都是2，因此對正實數(shù)m，n都成立的條件不等式是：若m，n∈R＋，則當m＋n＝20時，有＋＜2. 答案　若m，n∈R＋，則當m＋n＝20時，有＋＜2 考向二　類比推理 【例2】?在平面幾何里，有“若△ABC的三邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積為S△ABC＝(a＋b＋c)r”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體ABCD的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為r，則四面體的體積為________”． [審題視點] 注意發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律總結(jié)出共性加以推廣，或?qū)⒔Y(jié)論類比到其他方面，得出結(jié)論． 解析　三角形的面積類比為四面體的體積，三角形的邊長類比為四面體四個面的面積，內(nèi)切圓半徑類比為內(nèi)切球的半徑．二維圖形中類比為三維圖形中的，得V四面體ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r. 答案　V四面體ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r. (1)類比是從已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測正在研究的事物的屬性，是以舊有的認識為基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果；(2)類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性；(3)類比的結(jié)果是猜測性的，不一定可靠，但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能． 【訓(xùn)練2】 已知命題：“若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且am＝a，an＝b(m＜n，m，n∈N*)，則am＋n＝”．現(xiàn)已知數(shù)列{bn}(bn＞0，n∈N*)為等比數(shù)列，且bm＝a，bn＝b(m＜n，m，n∈N*)，若類比上述結(jié)論，則可得到bm＋n＝________. 答案　a 考向三　演繹推理 【例3】?數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N＋)．證明： (1)數(shù)列是等比數(shù)列； (2)Sn＋1＝4an. [審題視點] 在推理論證過程中，一些稍復(fù)雜一點的證明題常常要由幾個三段論才能完成．大前提通常省略不寫，或者寫在結(jié)論后面的括號內(nèi)，小前提有時也可以省略，而采取某種簡明的推理模式． 證明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. ∴＝2，(小前提) 故是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列．(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了) (2)由(1)可知＝4(n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)＝4Sn－1 ＝4an(n≥2)，(小前提) 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.(結(jié)論) (第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件) 演繹推理是從一般到特殊的推理；其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略． 【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)＝(x∈R)． (1)判定函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)判定函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性，并證明． 解　(1)對?x∈R有－x∈R，并且f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)． (2)法一　f(x)在R上單調(diào)遞增，證明如下： 任取x1，x2∈R，并且x1＞x2， f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. ∵x1＞x2，∴2x1＞2x2＞0， 即2x1－2x2＞0，又∵2x1＋1＞0,2x2＋1＞0. ∴＞0. ∴f(x1)＞f(x2)． ∴f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)． 法二　f′(x)＝＞0 ∴f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)． 難點突破25——高考中歸納推理與類比推理問題的求解策略 從近兩年新課標高考試題可以看出高考對歸納推理與類比推理的考查主要以填空題的形式出現(xiàn)，難度為中等，常常以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)、數(shù)列等為載體來考查歸納推理與類比推理． 一、歸納推理 【示例】? (xx陜西)觀察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 照此規(guī)律，第五個等式應(yīng)為________． 二、類比推理 【示例】? 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4，________，______，成等比數(shù)列．