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2019-2020年九年級數(shù)學上冊單元測試《第1章 特殊平行四邊形》 　 一、選擇題 1．下列給出的條件中，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。? A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 2．下列說法中，錯誤的是（　?。? A．平行四邊形的對角線互相平分 B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 C．菱形的對角線互相垂直 D．對角線互相垂直的四邊形是菱形 3．如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D′、C′的位置，若∠EFB=65，則∠AED′等于（　?。? A．50 B．55 C．60 D．65 4．如圖，?ABCD中，EF過對角線的交點O，AB=4，AD=3，OF=1.3，則四邊形BCEF的周長為（　?。? A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.6 5．如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是24米，∠BAD=60，則花壇對角線AC的長等于（　?。? A．6米 B．6米 C．3米 D．3米 6．已知一矩形的兩邊長分別為10cm和15cm，其中一個內(nèi)角的平分線分長邊為兩部分，這兩部分的長為（　?。? A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm 7．如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是 （　?。? A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 8．如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是（　?。? A．7 B．9 C．10 D．11 9．如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45度后得到正方形AB′C′D′，邊B′C′與DC交于點O，則四邊形AB′OD的周長是（　?。? A．2 B．3 C． D．1+ 10．如圖，正方形ABCD的面積為4，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（　?。? A．2 B．3 C． D． 　 二、填空題 11．（5分）已知菱形的兩條對角線長分別為2cm，3cm，則它的面積是　　cm2． 12．（5分）如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O且AC=8，如果∠AOD=60，那么AD=　　． 13．（5分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于　?。? 14．（5分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長為　?。? 　 三、解答題（15題12分，16題12分，17題16分） 15．如圖，已知平行四邊形ABCD，DE是∠ADC的角平分線，交BC于點E． （1）求證：CD=CE； （2）若BE=CE，∠B=80，求∠DAE的度數(shù)． 16．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平面上的F點處，DF交BC于點E． （1）求證：△DCE≌△BFE； （2）若CD=2，∠ADB=30，求BE的長． 17．已知，如圖1，BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點G． （1）求證：△BCE≌△DCF； （2）求CF的長； （3）如圖2，在AB上取一點H，且BH=CF，若以BC為x軸，AB為y軸建立直角坐標系，問在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的P點坐標；若不存在，說明理由． 　 《第1章 特殊平行四邊形》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．下列給出的條件中，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。? A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 【考點】平行四邊形的判定． 【分析】直接根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可． 【解答】解：平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．∴C能判斷， 平行四邊形判定定理1，兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；∴B能判斷； 平行四邊形判定定理2，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；∴D能判定； 平行四邊形判定定理3，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形； 平行四邊形判定定理4，一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形； 故選A． 【點評】此題是平行四邊形的判定，解本題的關(guān)鍵是掌握和靈活運用平行四邊形的5個判斷方法． 　 2．下列說法中，錯誤的是（　?。? A．平行四邊形的對角線互相平分 B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 C．菱形的對角線互相垂直 D．對角線互相垂直的四邊形是菱形 【考點】菱形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行四邊形和菱形的性質(zhì)對各個選項進行分析從而得到最后答案． 【解答】解：根據(jù)平行四邊形和菱形的性質(zhì)得到ABC均正確，而D不正確，因為對角線互相垂直的四邊形也可能是梯形， 故選：D． 【點評】主要考查了平行四邊形和特殊平行四邊形的特性，并利用性質(zhì)解題．平行四邊形基本性質(zhì)：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分．菱形的特性是：四邊相等，對角線互相垂直平分． 　 3．如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D′、C′的位置，若∠EFB=65，則∠AED′等于（　?。? A．50 B．55 C．60 D．65 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】首先根據(jù)AD∥BC，求出∠FED的度數(shù)，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等，則可知∠FED=∠FED′，最后求得∠AED′的大小． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠EFB=∠FED=65， 由折疊的性質(zhì)知，∠FED=∠FED′=65， ∴∠AED′=180﹣2∠FED=50． 故∠AED′等于50． 故選：A． 【點評】本題考查了：1、折疊的性質(zhì)；2、矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平角的概念求解． 　 4．如圖，?ABCD中，EF過對角線的交點O，AB=4，AD=3，OF=1.3，則四邊形BCEF的周長為（　?。? A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.6 【考點】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行四邊形的中心對稱性，可知EF把平行四邊形分成兩個相等的部分，先求平行四邊形的周長，再求EF的長，即可求出四邊形BCEF的周長． 【解答】解：根據(jù)平行四邊形的中心對稱性得：OF=OE=1.3， ∵?ABCD的周長=（4+3）2=14 ∴四邊形BCEF的周長=?ABCD的周長+2.6=9.6． 【點評】主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，并利用性質(zhì)解題．平行四邊形基本性質(zhì)： ①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等； ③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分．平行四邊形是中心對稱圖形． 　 5．如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是24米，∠BAD=60，則花壇對角線AC的長等于（　?。? A．6米 B．6米 C．3米 D．3米 【考點】菱形的性質(zhì)． 【專題】應用題． 【分析】由四邊形ABCD為菱形，得到四條邊相等，對角線垂直且互相平分，根據(jù)∠BAD=60得到三角形ABD為等邊三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的長，即可確定出AC的長． 【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=244=6（米）， ∵∠BAD=60， ∴△ABD為等邊三角形， ∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米）， 在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：OA==3（米）， 則AC=2OA=6米， 故選A． 【點評】此題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 6．已知一矩形的兩邊長分別為10cm和15cm，其中一個內(nèi)角的平分線分長邊為兩部分，這兩部分的長為（　　） A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm 【考點】矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)已知條件以及矩形性質(zhì)證△ABE為等腰三角形得到AB=AE，注意“長和寬分別為15cm和10cm”說明有2種情況，需要分類討論． 【解答】解：如圖，∵矩形ABCD中，BE是角平分線． ∴∠ABE=∠EBC． ∵AD∥BC． ∴∠AEB=∠EBC． ∴∠AEB=∠ABE ∴AB=AE． 當AB=15cm時：則AE=15cm，不滿足題意． 當AB=10cm時：AE=10cm，則DE=5cm． 故選B． 【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)與等腰三角形的判定與性質(zhì)．注意出現(xiàn)角平分線，出現(xiàn)平行線時，一般出現(xiàn)等腰三角形，需注意等腰三角形相等邊的不同． 　 7．如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是 （　?。? A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 【考點】矩形的判定． 【分析】由四邊形ABCD的對角線互相平分，可得四邊形ABCD是平行四邊形，再添加AC=BD，可根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形證明四邊形ABCD是矩形． 【解答】解：可添加AC=BD， ∵四邊形ABCD的對角線互相平分， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∵AC=BD，根據(jù)矩形判定定理對角線相等的平行四邊形是矩形， ∴四邊形ABCD是矩形， 故選：D． 【點評】此題主要考查了矩形的判定，關(guān)鍵是矩形的判定： ①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形； ②有三個角是直角的四邊形是矩形； ③對角線相等的平行四邊形是矩形． 　 8．如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是（　?。? A．7 B．9 C．10 D．11 【考點】三角形中位線定理；勾股定理． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長，根據(jù)三角形的中位線定理得到HG=BC=EF，EH=FG=AD，求出EF、HG、EH、FG的長，代入即可求出四邊形EFGH的周長． 【解答】解：∵BD⊥DC，BD=4，CD=3，由勾股定理得：BC==5， ∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點， ∴HG=BC=EF，EH=FG=AD， ∵AD=6， ∴EF=HG=2.5，EH=GF=3， ∴四邊形EFGH的周長是EF+FG+HG+EH=2（2.5+3）=11． 故選D． 【點評】本題主要考查對勾股定理，三角形的中位線定理等知識點的理解和掌握，能根據(jù)三角形的中位線定理求出EF、HG、EH、FG的長是解此題的關(guān)鍵． 　 9．如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45度后得到正方形AB′C′D′，邊B′C′與DC交于點O，則四邊形AB′OD的周長是（　?。? A．2 B．3 C． D．1+ 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】當AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45度后，剛回落在正方形對角線AC上，可求三角形與邊長的差B′C，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理可求B′O，OD，從而可求四邊形AB′OD的周長． 【解答】解：連接B′C， ∵旋轉(zhuǎn)角∠BAB′=45，∠BAC=45， ∴B′在對角線AC上， ∵AB=AB′=1，用勾股定理得AC=， ∴B′C=﹣1， 在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C=﹣1， 在直角三角形OB′C中，由勾股定理得OC=（﹣1）=2﹣， ∴OD=1﹣OC=﹣1 ∴四邊形AB′OD的周長是：2AD+OB′+OD=2+﹣1+﹣1=2． 故選A． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊三角形邊長的求法．連接B′C構(gòu)造等腰Rt△OB′C是解題的關(guān)鍵． 　 10．如圖，正方形ABCD的面積為4，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（　?。? A．2 B．3 C． D． 【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】由于點B與D關(guān)于AC對稱，所以連接BE，與AC的交點即為P點．此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為4，可求出AB的長，從而得出結(jié)果． 【解答】解：連接BD，與AC交于點F． ∵點B與D關(guān)于AC對稱， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE最?。? ∵正方形ABCD的面積為4， ∴AB=2． 又∵△ABE是等邊三角形， ∴BE=AB=2． ∴所求最小值為2． 故選：A． 【點評】此題主要考查軸對稱﹣﹣最短路線問題，要靈活運用對稱性解決此類問題． 　 二、填空題 11．已知菱形的兩條對角線長分別為2cm，3cm，則它的面積是　3　cm2． 【考點】菱形的性質(zhì)． 【分析】由知菱形的兩條對角線長分別為2cm，3cm，根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半，即可求得答案． 【解答】解：∵菱形的兩條對角線長分別為2cm，3cm， ∴它的面積是：23=3（cm2）． 故答案為：3． 【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)．注意菱形的面積等于對角線乘積的一半． 　 12．如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O且AC=8，如果∠AOD=60，那么AD=　4?。? 【考點】矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得OA=OD=AC，然后判斷出△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三邊都相等解答即可． 【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OD=AC=8=4， ∵∠AOD=60， ∴△AOD是等邊三角形， ∴AD=OA=4． 故答案為：4． 【點評】本題考查了矩形的對角線互相平分且相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 13．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于　3.5?。? 【考點】菱形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理． 【分析】由菱形的四邊相等求出邊長，再根據(jù)對角線互相垂直得出∠AOD=90，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)果． 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD， ∴∠AOD=90， ∵AB+BC+CD+DA=28， ∴AD=7， ∵H為AD邊中點， ∴OH=AD=3.5； 故答案為：3.5． 【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵． 　 14．如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長為?。ǎ﹏﹣1?。? 【考點】正方形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題；規(guī)律型． 【分析】首先求出AC、AE、HE的長度，然后猜測命題中隱含的數(shù)學規(guī)律，即可解決問題． 【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=BC=1，∠B=90， ∴AC2=12+12，AC=； 同理可求：AE=（）2，HE=（）3…， ∴第n個正方形的邊長an=（）n﹣1． 故答案為（）n﹣1． 【點評】該題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及其應用問題；應牢固掌握正方形有關(guān)定理并能靈活運用． 　 三、解答題（15題12分，16題12分，17題16分） 15．（xx?株洲）如圖，已知平行四邊形ABCD，DE是∠ADC的角平分線，交BC于點E． （1）求證：CD=CE； （2）若BE=CE，∠B=80，求∠DAE的度數(shù)． 【考點】平行四邊形的性質(zhì)． 【專題】計算題；證明題． 【分析】（1）根據(jù)DE是∠ADC的角平分線得到∠1=∠2，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠1=∠3，所以∠2=∠3，根據(jù)等角對等邊即可得證； （2）先根據(jù)BE=CE結(jié)合CD=CE得到△ABE是等腰三角形，求出∠BAE的度數(shù)，再根據(jù)平行四邊形鄰角互補得到∠BAD=100，所以∠DAE可求． 【解答】（1）證明：如圖，在平行四邊形ABCD中， ∵AD∥BC ∴∠1=∠3 又∵∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∴CD=CE； （2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，AD∥BC， 又∵CD=CE，BE=CE， ∴AB=BE， ∴∠BAE=∠BEA． ∵∠B=80， ∴∠BAE=50， ∴∠DAE=180﹣50﹣80=50． 【點評】（1）由角平分線得到相等的角，再利用平行四邊形的性質(zhì)和等角對等邊的性質(zhì)求解； （2）根據(jù)“BE=CE”得出AB=BE是解決問題的關(guān)鍵． 　 16．（xx?樂山）如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平面上的F點處，DF交BC于點E． （1）求證：△DCE≌△BFE； （2）若CD=2，∠ADB=30，求BE的長． 【考點】翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）由AD∥BC，知∠ADB=∠DBC，根據(jù)折疊的性質(zhì)∠ADB=∠BDF，所以∠DBC=∠BDF，得BE=DE，即可用AAS證△DCE≌△BFE； （2）在Rt△BCD中，CD=2，∠ADB=∠DBC=30，知BC=2，在Rt△BCD中，CD=2，∠EDC=30，知CE=，所以BE=BC﹣EC=． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， 根據(jù)折疊的性質(zhì)∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90， ∴∠DBC=∠BDF， ∴BE=DE， 在△DCE和△BFE中， ， ∴△DCE≌△BFE； （2）在Rt△BCD中， ∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30， ∴BC=2， 在Rt△ECD中， ∵CD=2，∠EDC=30， ∴DE=2EC， ∴（2EC）2﹣EC2=CD2， ∴CE=， ∴BE=BC﹣EC=． 【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等角對等邊、平行線的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用，熟練的運用折疊的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵． 　 17．（xx春?歷下區(qū)期末）已知，如圖1，BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點G． （1）求證：△BCE≌△DCF； （2）求CF的長； （3）如圖2，在AB上取一點H，且BH=CF，若以BC為x軸，AB為y軸建立直角坐標系，問在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的P點坐標；若不存在，說明理由． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，由全等三角形的判定定理SAS即可證得△BCE≌△DCF； （2）通過△DBG≌△FBG的對應邊相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得； （3）分三種情況分別討論即可求得． 【解答】（1）證明：如圖1， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）； （2）證明：如圖1， ∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的對角線， ∴∠EBC=∠DBC=22.5， 由（1）知△BCE≌△DCF， ∴∠EBC=∠FDC=22.5（全等三角形的對應角相等）； ∴∠BGD=90（三角形內(nèi)角和定理）， ∴∠BGF=90； 在△DBG和△FBG中， ， ∴△DBG≌△FBG（ASA）， ∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的對應邊相等）， ∵BD==， ∴BF=， ∴CF=BF﹣BC=﹣1； （3）解：如圖2，∵CF=﹣1，BH=CF ∴BH=﹣1， ①當BH=BP時，則BP=﹣1， ∵∠PBC=45， 設P（x，x）， ∴2x2=（﹣1）2， 解得x=1﹣或﹣1+， ∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）； ②當BH=HP時，則HP=PB=﹣1， ∵∠ABD=45， ∴△PBH是等腰直角三角形， ∴P（﹣1，﹣1）； ③當PH=PB時，∵∠ABD=45， ∴△PBH是等腰直角三角形， ∴P（，）， 綜上，在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形，所有符合條件的P點坐標為（1﹣，1﹣）、（﹣1+，﹣1+）、（﹣1，﹣1）、（，）． 【點評】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．