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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二講 直線與圓的位置關(guān)系 五 與圓有關(guān)的比例線段課堂探究 新人教A版選修4-1 探究一相交弦定理的應(yīng)用 相交弦定理的結(jié)論是線段成比例，也可以看成等式，因此利用相交弦定理既可以得到成比例線段，又可以建立方程來解決問題．如下面的典型例題1中，利用相交弦定理列出關(guān)于r的方程． 【典型例題1】如圖，過⊙O內(nèi)一點(diǎn)A作直線，交⊙O于B，C兩點(diǎn)，且ABAC＝64，OA＝10，則⊙O的半徑r＝__________. 解析：如圖所示，作直線OA交⊙O于E，F(xiàn)兩點(diǎn)， 則AE＝r－10，AF＝r＋10. 由相交弦定理， 得(r－10)(r＋10)＝64， 解得r1＝2，r2＝－2(不合題意，舍去)． 故r＝2. 答案：2 點(diǎn)評(píng) BC為⊙O的一條弦，再找到直徑EF，利用相交弦定理即可． 探究二割線定理、切割線定理的應(yīng)用 有切線和割線，往往就考查割線定理、切割線定理，而且有時(shí)需要通過轉(zhuǎn)化、代換，才能運(yùn)用定理解題． 【典型例題2】如圖，已知⊙O的割線PAB交⊙O于點(diǎn)A和點(diǎn)B，PA＝6 cm，AB＝8 cm，PO＝10.9 cm，求⊙O的半徑． 思路分析：由于PO既不是⊙O的切線，也不是割線，故需將PO延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，構(gòu)成圓的一條割線，而OD又恰好是⊙O的半徑，于是運(yùn)用割線定理解題即可． 解：如圖，將PO延長(zhǎng)交⊙O于D. 根據(jù)割線定理，可得PAPB＝PCPD. 設(shè)⊙O的半徑為r cm，則 6(6＋8)＝(10.9－r)(10.9＋r)， 解得r＝5.9，即⊙O的半徑為5.9 cm. 反思 如果已知條件中出現(xiàn)過圓外同一點(diǎn)的圓的割線，那么常用到割線定理．本題中，利用割線定理列出了關(guān)于半徑r的方程，進(jìn)而求出了r的值． 【典型例題3】如圖，AB切⊙O于B，ACD為割線，E為的中點(diǎn)，BE交DC于F，求證：AF2＝ACAD. 思路分析：由切割線定理可知ACAD＝AB2，故只需證AF＝AB即可． 證明：連接BC，BD. ∵E為的中點(diǎn)， ∴∠DBE＝∠CBE. 又AB是⊙O的切線， ∴∠ABC＝∠CDB. ∴∠ABC＋∠CBE＝∠DBE＋∠CDB， 即∠ABF＝∠AFB.∴AB＝AF. 又AB是⊙O的切線，ACD為割線，由切割線定理可知ACAD＝AB2，∴AF2＝ACAD. 點(diǎn)評(píng) 已知條件中同時(shí)出現(xiàn)過圓外同一個(gè)點(diǎn)的切線和割線，那么常用到切割線定理． 探究三切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用 如果已知條件中出現(xiàn)過圓外同一點(diǎn)的切線，那么常用到切線長(zhǎng)定理．要注意分析其中的等量關(guān)系，即①切線長(zhǎng)相等，②圓外點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角，然后結(jié)合直角三角形、相似三角形等圖形的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明． 【典型例題4】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線與過A，B兩點(diǎn)的切線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，AF與BE交于點(diǎn)P. 求證：∠EPC＝∠EBF. 思路分析：→→→→ 證明：∵EA，EF，F(xiàn)B是⊙O的切線， ∴EA＝EC，F(xiàn)C＝FB. ∵EA，F(xiàn)B切⊙O于A，B，AB是直徑， ∴EA⊥AB，F(xiàn)B⊥AB.∴EA∥FB.∴＝. ∴＝，∴CP∥FB.∴∠EPC＝∠EBF. 探究四易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn)：因定理結(jié)論記憶不清致誤 【典型例題5】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑作圓交AC于E，F(xiàn)，交AB于D.若E是的中點(diǎn)，且AE∶EF＝3∶1，F(xiàn)C＝4，求∠CBF的正弦值及BC的長(zhǎng)． 錯(cuò)解：連接OE，DF，OF. ∵E為的中點(diǎn)，∴∠DOE＝∠DBF. ∴OE∥BF，∴AO∶OB＝AE∶EF＝3∶1， ∴OE∶BF＝3∶4.設(shè)OB＝r，則OA＝3r，BF＝r. ∴AD＝AO－DO＝AO－OB＝3r－r＝2r. 又由割線定理得，AFAD＝AEAB， ∴＝＝＝2. 錯(cuò)因分析：不能正確運(yùn)用割線定理，因不滿足定理對(duì)應(yīng)條件而致誤． 正解：如圖，連接OE，DF，OF， ∵E為的中點(diǎn)， ∴∠DOE＝∠DBF，∴OE∥BF， ∴AO∶OB＝AE∶EF＝3∶1，∴OE∶BF＝3∶4. 設(shè)OB＝r，則AO＝3r，BF＝r， ∴AD＝AO－DO＝AO－OB＝3r－r＝2r. 又由割線定理得AEAF＝ADAB. ∴AEAF＝2r4r， 即3EF4EF＝8r2， ∴EF＝r. 又由切割線定理，得 BC2＝CFCE＝4(4＋EF)＝4. 在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2， 即(4r)2＋4＝(4EF＋4)2＝2， 解得r＝， ∴BC＝. 又∵∠CBF＝∠BDF， 在Rt△DFB中，sin∠BDF＝＝， ∴sin∠CBF＝.