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2019-2020年中考數(shù)學(xué)培優(yōu)復(fù)習(xí) 第15講 三角形全等與相似 三角形中位線概念 一、知識(shí)系統(tǒng)圖 三角形中位線 三角形中位線性質(zhì) 一般三角形（AAS、SAS、ASA、SSS） ） 三角形全等的概念 三角形全等 三角形全等的判定 三角形 直角三角形（HL） 全等變換 三角形相似的判定方法 直角三角形相似的判定方法 三角形相似 相似三角形的性質(zhì) 二、主要內(nèi)容 1、三角形中位線 2、三角形全等：全等的判定，全等變換 3、三角形相似：相似的判定方法，相似三角形的性質(zhì)。 三、主要知識(shí)點(diǎn)、典型例題及解析及變式練習(xí)： 知識(shí)點(diǎn)1 三角形中的中位線 連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。 （1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。 （2）要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。 三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。 例1：如圖，為測(cè)量位于一水塘旁的兩點(diǎn)A、B間的距離，在地面上確定點(diǎn)O，分別取OA、OB的中點(diǎn)C、D，量得CD=20m，則A、B之間的距離是　 　m． 考點(diǎn)：三角形中位線定理。 常作輔助線：各邊中點(diǎn)的連線。 分析：根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答即可。 變式練習(xí)： 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)．若DE=3，則BC=　 ?。? 知識(shí)點(diǎn)2 三角形全等的判定 全等用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”。如△ABC≌△DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。 注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。 （1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”） （2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”） （3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）。 推論：角角邊定理：兩角和一角的領(lǐng)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”） HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”） 例2：如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)AC中點(diǎn)0作直線，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F． 求證：△AOE≌△COF． 考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定． 分析：據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：OA=OC，∠AEO=∠OFC，∠EAO=∠OCF，所以△AOE≌△COF． 變式練習(xí)： 如圖，C是AB的中點(diǎn)，AD=BE，CD=CE． 求證：∠A=∠B． 例3：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DE平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，BF平分∠ABC，交CD于點(diǎn)F． （1）求證：DE=BF； （2）連接EF，寫(xiě)出圖中所有的全等三角形．（不要求證明） 考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì) 分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明四邊形DEBF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到DE=BF； （2）連接EF，則圖中所有的全等三角形有：△ADE≌△CBF，△DFE≌△BEF 變式練習(xí)： 如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=80，AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，垂足為E，連接DF，則∠CDF等于（　?。? 　 A． 50 B． 60 C． 70 D． 80 知識(shí)點(diǎn)3 全等變換包括一下三種： （1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。 （2）對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180，這種變換叫做對(duì)稱變換。 （3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。 例4：如圖，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至CE位置，連接AE． （1）求證：AB⊥AE； （2）若BC2=AD?AB，求證：四邊形ADCE為正方形． 考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì) 分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=90，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根據(jù)“SAS”可判斷△BCD≌△ACE，則∠B=∠CAE=45，所以∠DAE=90，即可得到結(jié)論 變式練習(xí)：已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足為D。將△ADC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，點(diǎn)A落在BD上點(diǎn)A1處，點(diǎn)C落在DA延長(zhǎng)線上點(diǎn)C1處，A1 C1與AB交于點(diǎn)E。 求證：△A1BE≌△AC1E 知識(shí)點(diǎn)4 三角形相似的判定 （1）三角形相似的判定方法 ①定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似 ②平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 ③判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。 ④判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)相等，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。 ⑤判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。 （2）直角三角形相似的判定方法 ①以上各種判定方法均適用 ②定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似 ③垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。 例5：如圖，在?ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG=4cm，則EF+CF的長(zhǎng)為　 　cm． 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì) 分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得內(nèi)錯(cuò)角∠DAE=∠BEA，等量代換后可證得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的長(zhǎng)；然后，利用平行線分線段成比例的性質(zhì)分別得出EF，F(xiàn)C的長(zhǎng)，即可得出答案； 變式練習(xí)：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)A、C分別在x，y軸的正半軸上．點(diǎn)Q在對(duì)角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長(zhǎng)CQ交邊AB于點(diǎn)P．則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　 ?。? 知識(shí)點(diǎn)5 相似三角形的性質(zhì) ①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例 ②相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比 ③相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 ④相似三角形面積的比等于相似比的平方 例6：寬與長(zhǎng)之比為的矩形叫黃金矩形，黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感，如圖,如果在一個(gè)黃金矩形里畫(huà)一個(gè)正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論. 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；黃金分割 分析：要由黃金分割的定義推廣到黃金矩形 變式練習(xí)：將三角形高分為四等分，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作底邊的平行線，將三角形分四個(gè)部分，則四個(gè)部分面積之比是（ ） A.1∶3∶5∶7 B.1∶2∶3∶4 C.1∶2∶4∶5 D.1∶2∶3∶5 四、難點(diǎn)突破方法總結(jié) 在求解三角形全等與相似試題中，要突出轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)轉(zhuǎn)化尋找量和量之間的關(guān)系，歸納下來(lái)，有這樣幾個(gè)方面值得考生們注意： 1.掌握解題的關(guān)鍵點(diǎn)．（1）有兩角，找任意一邊；（2）有兩邊，找?jiàn)A角；（3）有相似，常需利用相似比求值線段的長(zhǎng)度． 2.重視基本定理與基本圖形相結(jié)合，計(jì)算與推理相結(jié)合，靈活運(yùn)用各種方法． 3.重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用．運(yùn)用分析法、演繹法、截補(bǔ)法，結(jié)合方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想解有關(guān)圓的應(yīng)用題，探索開(kāi)放性題和方案設(shè)計(jì)． 五、拓展演練 一、選擇題： 1．尺規(guī)作圖作的平分線方法如下：以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交、于、，再分別以點(diǎn)、為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線由作法得的根據(jù)是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS　 　D．SSS 2．如圖，將Rt△ABC(其中∠B＝34，∠C＝90）繞A點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△AB1 C1的位置，使得點(diǎn)C、A、B1　在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角最小等于（　?。? 　 　　A.56 B.68 C.124 　 D.180 3. 如圖所示，∠E=∠F=90, ∠B=∠C，AE=AF，結(jié)論：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△CAN≌△ABM.其中正確的有（ ） A. 1個(gè) B. 2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 4.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于點(diǎn)O，則圖中全等三角形共有（ ） A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì) 34 B1 C B A C1 （第5題圖） （第4題圖） （第3題圖） （第2題圖） 5.如圖，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，DE是它的中位線，則下面四個(gè)結(jié)論：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面積與△CAB的面積之比為1：4.其中正確的有 （ ） A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) （第6題圖） （第5題圖） 6.如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)O， 則等于（　?。? A． B． C． D． 7.如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長(zhǎng)分別是3和4及x，那么x的值 （ ） A．只有1個(gè) B．可以有2個(gè) C．有2個(gè)以上但有限 D．有無(wú)數(shù)個(gè) 二、填空題： 8.如圖，中，點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3），如果要使與 全等，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是 . 9.如圖，已知，，要使 ≌，可補(bǔ)充的條件是 （寫(xiě)出一個(gè)即可）． 10.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下五個(gè)結(jié)論：① AD=BE ② PQ∥AE ③ AP=BQ ④ DE=DP ⑤∠AOB=60．恒成立的結(jié)論有____ __________（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）． （第12題圖） A B C E D O P Q A C E B D （第10題圖） （第9題圖） 11．已知△ABC與△DEF相似且對(duì)應(yīng)中線的比為2:3，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為_(kāi)____________. 12．如圖，光源P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，點(diǎn)P到CD的距離是2.7m，則AB與CD間的距離是__________. 三、解答題： 13．兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結(jié)． （1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）； 圖1 圖2 （2）證明：． 14．如圖，一個(gè)含45的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥AE交∠DCE的角平分線于F點(diǎn)，試探究線段AE與EF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。 15.如圖，在ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3， （1）求的值，（2）求BC的長(zhǎng) 16．如圖，在方格紙中 （1）請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳辖⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使，并求出點(diǎn)坐標(biāo)； A B C （2）以原點(diǎn)為位似中心，相似比為2，在第一象限內(nèi)將放大，畫(huà)出放大后的圖形； （3）計(jì)算的面積． 17.正方形邊長(zhǎng)為4，、分別是、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) 點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持和垂直， （1）證明：； （2）設(shè)，梯形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形面積最大，并求出最大面積； （3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，求的值．