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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《導(dǎo)數(shù)的概念》教案2 新人教A版選修2-2 教學(xué)目的： 1.了解曲線的切線的概念 2.掌握用割線的極限位置上的直線來定義切線的方法． 3.并會(huì)求一曲線在具體一點(diǎn)處的切線的斜率與切線方程 教學(xué)重點(diǎn)：理解曲線在一點(diǎn)處的切線的定義，以及曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率的定義.光滑曲線的切線斜率是了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景． 教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)求一條具體的曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率. 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析： 導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)的最大值、最小值問題的有力工具.導(dǎo)數(shù)的知識(shí)形成一門學(xué)科，就是我們通常所說的微積分.微積分除了解決最大值、最小值問題，還能解決一些復(fù)雜曲線的切線問題.導(dǎo)數(shù)的思想最初是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat)為解決極大、極小問題而引入的.但導(dǎo)數(shù)作為微分學(xué)中最主要概念，卻是英國科學(xué)家牛頓(Newton)和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(Leibniz)分別在研究力學(xué)與幾何學(xué)過程中建立的. 微積分能成為獨(dú)立的科學(xué)并給整個(gè)自然科學(xué)帶來革命性的影響，主要是靠了牛頓和萊布尼茲的工作.但遺憾的是他們之間發(fā)生了優(yōu)先權(quán)問題的爭執(zhí).其實(shí)，他們差不多是在相同的時(shí)間相互獨(dú)立地發(fā)明了微積分.方法類似但在用語、符號(hào)、算式和量的產(chǎn)生方式稍有差異.牛頓在1687年以前沒有公開發(fā)表，萊布尼茲在1684年和1686年分別發(fā)表了微分學(xué)和積分學(xué). 所以，就發(fā)明時(shí)間而言，牛頓最于萊布尼茲，就發(fā)表時(shí)間而言，萊布尼茲則早于牛頓.關(guān)于誰是微積分的第一發(fā)明人，引起了爭論.而我們現(xiàn)在所用的符號(hào)大多數(shù)都是萊布尼茲發(fā)明的.而英國認(rèn)為牛頓為第一發(fā)明人，拒絕使用萊布尼茲發(fā)明的符號(hào)，因此，使自己遠(yuǎn)離了分析的主流 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 圓與圓錐曲線的切線定義:與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)并且位于曲線一邊的直線叫切線 二、講解新課： １．曲線的切線 如圖，設(shè)曲線c是函數(shù)的圖象，點(diǎn)是曲線 c 上一點(diǎn)作割線PQ當(dāng)點(diǎn)Q 沿著曲線c無限地趨近于點(diǎn)P，割線PQ無限地趨近于某一極限位置PT我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線c在點(diǎn)P 處的切線 2.確定曲線c在點(diǎn)處的切線斜率的方法： 因?yàn)榍€c是給定的，根據(jù)解析幾何中直線的點(diǎn)斜是方程的知識(shí)，只要求出切線的斜率就夠了設(shè)割線PQ的傾斜角為，切線PT的傾斜角為，既然割線PQ 的極限位置上的直線PT 是切線，所以割線PQ 斜率的極限就是切線PQ的斜率tan,即 tan= 我們可以從運(yùn)動(dòng)的角度來得到切線，所以可以用極限來定義切線，以及切線的斜率.那么以后如果我們碰到一些復(fù)雜的曲線，也可以求出它在某一點(diǎn)處的切線了. 三、講解范例： 例1曲線的方程為y=x2+1，那么求此曲線在點(diǎn)P(1，2)處的切線的斜率，以及切線的方程. 解：k= ∴切線的斜率為2. 切線的方程為y－2=2(x－1)，即y=2x. 例2求曲線f(x)=x3+2x+1在點(diǎn)(1，4)處的切線方程. 解:k= ∴切線的方程為y－4=5(x－1)， 即y=5x－1 例3求曲線f(x)=x3－x2+5在x=1處的切線的傾斜角. 分析：要求切線的傾斜角，也要先求切線的斜率，再根據(jù)斜率k=tanα，求出傾斜角α. 解：∵tanα= ∵α∈［0，π，∴α=π. ∴切線的傾斜角為π. 例4求曲線y=sinx在點(diǎn)()處的切線方程. 解：k= ∴切線方程是， 即 例5 y=x3在點(diǎn)P處的切線斜率為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo). 解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，x03) ∴斜率3= ∴3x02=3，x0=1 ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，1)或(－1，－1) 四、課堂練習(xí)： 1．已知曲線y=2x2上一點(diǎn)A(1，2)，求(1)點(diǎn)A處的切線的斜率.(2)點(diǎn)A處的切線方程. 解：(1)k= ∴點(diǎn)A處的切線的斜率為4. (2)點(diǎn)A處的切線方程是y－2=4(x－1)即y=4x－2 2.求曲線y=x2+1在點(diǎn)P(－2，5)處的切線方程. 解：k= ∴切線方程是y－5=－4(x+2)，即y=－4x－3. 點(diǎn)評(píng)：求切線的斜率與方程，主要轉(zhuǎn)化為求極限，要從切線的斜率的定義出發(fā) 五、小結(jié) ：這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了曲線在一點(diǎn)處的切線以及切線的斜率的概念.要學(xué)會(huì)利用求極限來得到切線的斜率以及斜率的方程 六、課后作業(yè)： 1. 求下列曲線在指定點(diǎn)處的切線斜率. (1)y=－+2,　x＝２處?。ǎ玻﹜＝，x＝０處． 答案：(1)k=－１２，（２）k=－１ 七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：