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2019-2020年高中數學 1.3.3 全稱命題與特稱命題的否定教案 北師大選修1-1 一、創(chuàng)設情境 數學命題中出現“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個”、“至少有一個”等的詞語，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞（用符號分別記為“ ”與“”來表示）；由這樣的量詞構成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。在全稱命題與存在性命題的邏輯關系中，都容易判斷，但它們的否定形式是我們困惑的癥結所在。 二、活動嘗試 問題1：指出下列命題的形式，寫出下列命題的否定。 （1）所有的矩形都是平行四邊形； （2）每一個素數都是奇數； （3）"xR，x2-2x+1≥0 分析：（1）"，否定：存在一個矩形不是平行四邊形； （2），否定：存在一個素數不是奇數； （3），否定：$xR，x2-2x+1<0； 這些命題和它們的否定在形式上有什么變化？ 結論：從命題形式上看，這三個全稱命題的否定都變成了存在性命題. 三、師生探究 問題2：寫出命題的否定 （1）p：$ x∈R，x2＋2x+2≤0； （2）p：有的三角形是等邊三角形； （3）p：有些函數沒有反函數； （4）p：存在一個四邊形，它的對角線互相垂直且平分； 分析：（1）" xR，x2＋2x+2>0； （2）任何三角形都不是等邊三角形； （3）任何函數都有反函數； （4）對于所有的四邊形，它的對角線不可能互相垂直或平分； 從集合的運算觀點剖析：, 四、數學理論 1.全稱命題、存在性命題的否定 一般地，全稱命題P：" xM,有P（x）成立；其否定命題┓P為：$x∈M,使P（x）不成立。存在性命題P：$xM，使P（x）成立；其否定命題┓P為：" xM,有P（x）不成立。 用符號語言表示： P:"M, p(x）否定為 P: $M, P（x） P:$M, p(x）否定為 P: "M, P（x） 在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 2.關鍵量詞的否定 詞語 是 一定是 都是 大于 小于 且 詞語的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 詞語 必有一個 至少有n個 至多有一個 所有x成立 所有x不成立 詞語的否定 一個也沒有 至多有n-1個 至少有兩個 存在一個x不成立 存在有一個成立 五、鞏固運用 例1 寫出下列全稱命題的否定： （1）p：所有人都晨練； （2）p："xR，x2＋x+1>0； （3）p：平行四邊形的對邊相等； （4）p：$ x∈R，x2－x+1＝0； 解：（1） P：有的人不晨練；（2）$ x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四邊形，它的的對邊不相等；（4）"xR，x2－x+1≠0； 例2 寫出下列命題的否定。 （1） 所有自然數的平方是正數。 （2） 任何實數x都是方程5x-12=0的根。 （3） 對任意實數x，存在實數y，使x+y＞0. （4） 有些質數是奇數。 解：（1）的否定：有些自然數的平方不是正數。 （2）的否定：存在實數x不是方程5x-12=0的根。 （3）的否定：存在實數x,對所有實數y，有x+y≤0。 （4）的否定：所有的質數都不是奇數。 解題中會遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡化形式，如“若x＞3，則x2＞9”。在求解中極易誤當為簡單命題處理；這種情形下時應先將命題寫成完整形式，再依據法則來寫出其否定形式。 例3 寫出下列命題的否定。 （1） 若x2＞4 則x＞2.。 （2） 若m≥0,則x2+x-m=0有實數根。 （3） 可以被5整除的整數，末位是0。 （4） 被8整除的數能被4整除。 （5） 若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等。 解（1）否定：存在實數，雖然滿足＞4，但≤2?；蛘哒f：存在小于或等于2的數，滿足＞4。（完整表達為對任意的實數x, 若x2＞4 則x＞2） （2）否定：雖然實數m≥0,但存在一個，使+ -m=0無實數根。（原意表達：對任意實數m,若m≥0,則x2+x-m=0有實數根。） （3）否定：存在一個可以被5整除的整數，其末位不是0。 （4）否定：存在一個數能被8整除，但不能被4整除.(原意表達為所有能被8整除的數都能被4整除) （5）否定：存在一個四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。（原意表達為無論哪個四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。） 例4 寫出下列命題的非命題與否命題，并判斷其真假性。　 （1）p：若x＞y,則5x＞5y； （2）p：若x2+x﹤2,則x2-x﹤2； （3）p：正方形的四條邊相等； （4）p：已知a,b為實數，若x2+ax+b≤0有非空實解集，則a2-4b≥0。 解：（1） P：若 x＞y，則5x≤5y； 假命題 　　 否命題：若x≤y，則5x≤5y；真命題 （2） P：若x2+x﹤2，則x2-x≥2；真命題 　　 否命題：若x2+x≥2，則x2-x≥2）；假命題。 　 （3） P：存在一個四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等；假命題。　　 否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題。 （4） P：存在兩個實數a,b，雖然滿足x2+ax+b≤0有非空實解集，但使a2-4b﹤0。假命題。 　　 否命題：已知a,b為實數，若x2+ax+b≤0沒有非空實解集，則a2-4b﹤0。真命題。 評注：命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由： 1．任何命題均有否定，無論是真命題還是假命題；而否命題僅針對命題“若P則q”提出來的。2．命題的否定（非）是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。 3． 原命題“若P則q” 的形式，它的非命題“若p，則q”；而它的否命題為 “若┓p，則┓q”，既否定條件又否定結論。 六、回顧反思 在教學中，務必理清各類型命題形式結構、性質關系，才能真正準確地完整地表達出命題的否定，才能避犯邏輯性錯誤，才能更好把邏輯知識負載于其它知識之上，達到培養(yǎng)和發(fā)展學生的邏輯思維能力。