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2019-2020年中考數(shù)學(xué)培優(yōu)復(fù)習(xí) 第14講 三角形與全等三角形 一：【知識(shí)梳理】 1、三角形的分類(lèi)： 1．三角形按角分為_(kāi)______，______，_______． 2．三角形按邊分為_(kāi)_________,______________. 2、三角形的性質(zhì)： 1．三角形中任意兩邊之和____第三邊，兩邊之差_____第三邊 2．三角形的內(nèi)角和為_(kāi)______，外角與內(nèi)角的關(guān)系：__________________． 3、三角形中的主要線(xiàn)段： 1．_______________________叫三角形的中位線(xiàn)． 2．中位線(xiàn)的性質(zhì)：________________________． 3．三角形的中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)都是____________．(線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)) 4、等腰三角形的性質(zhì)與判定： 1. 等腰三角形的兩底角__________； 2. 等腰三角形底邊上的______，底邊上的________，頂角的_______，三線(xiàn)合一； 3. 有兩個(gè)角相等的三角形是_________． 5、等邊三角形的性質(zhì)與判定： 1. 等邊三角形每個(gè)角都等于_______，同樣具有“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)； 2. 三個(gè)角相等的三角形是________，三邊相等的三角形是_______，一個(gè)角等于60的_______三角形是等邊三角形． 6、直角三角形的性質(zhì)與判定： 1. 直角三角形兩銳角________． 2. 直角三角形中30所對(duì)的直角邊等于斜邊的________． 3. 直角三角形中，斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的___．； 4. 勾股定理：___________________________． 5. 勾股定理的逆定理：___________________． 7.兩個(gè)重要定理： （1）角平分線(xiàn)性質(zhì)定理及逆定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上；三角形的三條角平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)（內(nèi)心） （2）垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理及逆定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上；三角形的三邊的垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)（外心） 8.全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形. 9. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法還有________. 10. 全等三角形的性質(zhì)：全等三角形___________，____________. 11、 全等三角形的面積_______、周長(zhǎng)_____、對(duì)應(yīng)高、______、_______相等. 12、注意事項(xiàng)：（1）說(shuō)明兩個(gè)三角形全等時(shí)，應(yīng)注意緊扣判定的方法，找出相應(yīng)的條件，同時(shí)要從實(shí)際圖形出發(fā)，弄清對(duì)應(yīng)關(guān)系，把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上． （2）注意三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，另外已知兩個(gè)三角形的兩邊 與一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形也不一定全等． 二、【典型例題】 1．如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角頂點(diǎn)重合于 點(diǎn)O，則∠AOC+∠DOB的度數(shù)為 度． 2．如圖，在△ABC中，∠C=90，AD是△ABC中∠CAB的角平分線(xiàn)，DE⊥AB于E，要使△ADC≌△BDE，需要添加一個(gè)條件，這個(gè)條件是 ． 3．等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線(xiàn)BD將這個(gè)等腰三角形周長(zhǎng)分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)． 4． 已知：在梯形ABCD中，AB//CD，E是BC的中點(diǎn)，直線(xiàn)AE與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F. 求證：AB=CF. 5.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE＝AD，DF⊥AE于F，連結(jié)DE，求證：DF＝DC． 三、當(dāng)堂檢測(cè) 1．(xx畢節(jié))下列敘述正確的是( ) A．方差越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定 B．在不等式兩邊同乘或同除以一個(gè)不為0的數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向不變 C．不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓 D．兩邊及其一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 2．(xx云南)如圖，在△ABC中，∠A＝50，∠ABC＝70，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數(shù)是( )A．85　　　　B．80　　　　C．75　　　　D．70 ,第2題圖)　　　,第3題圖) 3．(xx益陽(yáng))如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線(xiàn)BD上的兩點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能是( ) A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠2 4．(xx嘉興)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20，則∠A等于( ) A．40 B．60 C．80 D．90 5．(xx遂寧)如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC長(zhǎng)是( ) A．3 B．4 C．6 D．5 6．(xx泰州)如果三角形滿(mǎn)足一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，那么我們稱(chēng)這個(gè)三角形為“智慧三角形”．下列各組數(shù)據(jù)中，能作為一個(gè)智慧三角形三邊長(zhǎng)的一組是( ) A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2， 二、填空題 7．(xx綏化)如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠D，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件，使△AOB≌△DOC，你補(bǔ)充的條件是__ __．(填出一個(gè)即可) ,第7題圖)　　　,第9題圖) 8．已知三條不同的直線(xiàn)a，b，c在同一平面內(nèi)，下列四個(gè)命題：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中為真命題的是__ __．(填寫(xiě)所有真命題的序號(hào)) 9．如圖，三角形紙片ABC中，∠A＝65，∠B＝75，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)，若∠1＝20，則∠2的度數(shù)為_(kāi) __． 10．如圖，△ABC中，AB＝AC＝13 cm，AB的垂直平分線(xiàn)交AB于D，交AC于E，若△EBC的周長(zhǎng)為21 cm，則BC＝__ __cm. ,第10題圖)　　　　,第12題圖) 11．在△ABC中，若AB＝BC≠AC，則與△ABC只有一條公共邊，且與△ABC全等的三角形一共有_ __個(gè)． 12．(xx綿陽(yáng))如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，∠EAF＝45，△ECF的周長(zhǎng)為4，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為_(kāi)_ __． 三、解答題 13．(xx云南)如圖，在△ABC和△ABD中，AC與BD相交于點(diǎn)E，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，求證：AC＝BD. 14．(xx臺(tái)灣)如圖，四邊形ABCD中，E點(diǎn)在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90，且BC＝CE.請(qǐng)說(shuō)明為何△ABC與△DEC全等的理由． 15．(xx內(nèi)江)如圖，點(diǎn)M，N分別是正五邊形ABCDE的邊BC，CD上的點(diǎn)，且BM＝CN，AM交BN于點(diǎn)P. (1)求證：△ABM≌△BCN； (2)求∠APN的度數(shù)． 16．(xx德州)問(wèn)題背景： 如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120，∠B＝∠ADC＝90，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60.探究圖中線(xiàn)段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系． 小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE.連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是__ __； 探索延伸： 如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由； 實(shí)際應(yīng)用： 如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．