2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷 理(含解析).doc
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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷 理(含解析)一、選擇題(每小題5分,共60分)1(5分)下列說(shuō)法正確的是()A三點(diǎn)確定一個(gè)平面B四邊形一定是平面圖形C梯形一定是平面圖形D兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn),則這兩條直線平行2(5分)一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為,則球的表面積為()AB8CD43(5分)用斜二測(cè)畫法作一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形,則其直觀圖的面積為()AB2C4D4(5分)如圖,空間四邊形OABC中,=,=,=,點(diǎn)M在線段OA上,且OM=2MA,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),則=()A+B+C+D+5(5分)某幾何體三視圖如圖(單位;cm),則該幾何體的體積是()A1500cm3B1025cm3C625cm3D1200cm36(5分)已知正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn),則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()ABCD7(5分)下列結(jié)論正確的是()A各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等,則該棱錐可能是正六棱錐D圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線8(5分)已知=(1,5,2),=(3,1,z),若,=(x1,y,3),且BP平面ABC,則實(shí)數(shù)x、y、z分別為()A,4B,4C,2,4D4,159(5分)已知兩條不重合的直線m、n和兩個(gè)不重合的平面、,有下列命題:若mn,m,則n; 若m,n,mn,則; 若m、n是兩條異面直線,m,n,m,n,則; 若,=m,n,nm,則n其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A1B2C3D410(5分)如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()ABCD11(5分)已知正四棱錐SABCD中,SA=2,那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí),它的高為()A1BC2D312(5分)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M在AB上,且AM=,點(diǎn)P是平面ABCD上的動(dòng)點(diǎn),且動(dòng)點(diǎn)P到直線A1D1的距離與動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為1,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是()A圓B拋物線C雙曲線D直線二、填空題(每小題5分,共20分)13(5分)若將銳角A為60,邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD沿對(duì)角線BD折成60的二面角,則A與C之間的距離為14(5分)將圓心角為120,面積為3的扇形,作為圓錐的側(cè)面,則圓錐的體積為15(5分)如圖,直三棱柱ABCDA1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=,AA1=3,M為線段BB1上的一動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)AM+MC1最小時(shí),點(diǎn)C到平面AMC1的距離為16(5分)在體積一定的正方體ABCDA1B1C1D1中,E是棱CC1的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且A1F平面D1AE,記A1F與平面BCC1B1所成的角為,下列說(shuō)法中正確的是點(diǎn)F的軌跡是一條線段;三棱錐FAD1E的體積為定值;A1F與D1E不可能平行;A1F與CC1是異面直線;tan的最大值為3三、解答題17(10分)如圖所示,P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),M、N分別為AB、PC的中點(diǎn),平面PAD平面PBC=l(1)判斷BC與l的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)判斷MN與平面PAD的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論18(12分)已知幾何體ABCED的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形,已知幾何體ABCED的體積為16(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)將直角三角形ABD繞斜邊AD旋轉(zhuǎn)一周,求該旋轉(zhuǎn)體的表面積19(12分)如圖所示,已知四棱錐的側(cè)棱PD平面ABCD,且底面ABCD是直角梯形,ADCD,ABCD,AB=AD=CD=2,點(diǎn)M是側(cè)棱PC的中點(diǎn)(1)求證:BC平面BDP;(2)若tanPCD=,求三棱錐MBDP的體積20(12分)如圖所示,正四棱錐PABCD被過(guò)棱錐高上O點(diǎn)且平行底面的平面ABCD所截,得到正四棱臺(tái)OO和較小的棱錐PO,其中O分PO為=,側(cè)棱PA長(zhǎng)為15cm,小棱錐底面邊長(zhǎng)AB為6cm(1)求截得棱臺(tái)的體積(2)求棱錐PABCD的內(nèi)切球的表面積21(12分)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為直角梯形,ADBC,ADC=90,平面PAD底面ABCD,Q為AD的中點(diǎn),M是棱PC上的點(diǎn),PA=PD=2,BC=AD=1,CD=()求證:平面PQB平面PAD;()若M為棱PC的中點(diǎn),求異面直線AP與BM所成角的余弦值;()若二面角MBQC大小為30,求QM的長(zhǎng)22(12分)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn),且滿足(如圖1)將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使二面角A1DEB成直二面角,連結(jié)A1B、A1C (如圖2)(1)求證:A1D丄平面BCED;(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使直線PA1與平面A1BD所成的角為60?若存在,求出PB的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由江西省南昌市xx高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題(每小題5分,共60分)1(5分)下列說(shuō)法正確的是()A三點(diǎn)確定一個(gè)平面B四邊形一定是平面圖形C梯形一定是平面圖形D兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn),則這兩條直線平行考點(diǎn):命題的真假判斷與應(yīng)用 專題:簡(jiǎn)易邏輯分析:A,根據(jù)公理2以及推論判斷AB,四邊形有兩種:空間四邊形和平面四邊形;C,梯形中因?yàn)橛幸唤M對(duì)邊平等,故梯形是平面圖形D,利用平行線的定義、判定與性質(zhì),即可確定D解答:解:對(duì)于A、根據(jù)公理2知,必須是不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,故A不對(duì);對(duì)于B,四邊形有兩種:空間四邊形和平面四邊形,四邊形不一定是平面圖形,故B不成立;對(duì)于C,梯形中因?yàn)橛幸唤M對(duì)邊平等,梯形是平面圖形,故C成立對(duì)于D,根據(jù)異面直線的定義:既不平行也不相交的直線為異面直線,可以判斷當(dāng)兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)可能平行也可能異面故選:C點(diǎn)評(píng):本題主要考查了確定平面的依據(jù),注意利用公理2的以及推論的作用和條件,可以利用符合題意的幾何體來(lái)判斷,考查了空間想象能力2(5分)一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為,則球的表面積為()AB8CD4考點(diǎn):球的體積和表面積;球面距離及相關(guān)計(jì)算 專題:計(jì)算題分析:求出截面圓的半徑,利用勾股定理求球的半徑,然后求出球的表面積解答:解:球的截面圓的半徑為:=r2,r=1球的半徑為:R=所以球的表面積:4R2=4=8故選B點(diǎn)評(píng):本題考查球的體積和表面積,考查計(jì)算能力,邏輯思維能力,是基礎(chǔ)題3(5分)用斜二測(cè)畫法作一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形,則其直觀圖的面積為()AB2C4D考點(diǎn):斜二測(cè)法畫直觀圖 專題:規(guī)律型分析:根據(jù)斜二測(cè)畫法的原則得到直觀圖的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)關(guān)系,即可求出相應(yīng)的面積解答:解:根據(jù)斜二測(cè)畫法的原則可知OC=2,OA=1,對(duì)應(yīng)直觀圖的面積為,故選:D點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用斜二測(cè)畫法畫空間圖形的直觀圖,利用斜二測(cè)畫法的原則是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ)4(5分)如圖,空間四邊形OABC中,=,=,=,點(diǎn)M在線段OA上,且OM=2MA,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),則=()A+B+C+D+考點(diǎn):空間向量的加減法 專題:空間向量及應(yīng)用分析:由題意,把,三個(gè)向量看作是基向量,由圖形根據(jù)向量的線性運(yùn)算,將用三個(gè)基向量表示出來(lái),即可得到答案,選出正確選項(xiàng)解答:解:=,=+,=+,=+,=,=,=,=+,故選:A點(diǎn)評(píng):本題考點(diǎn)是空間向量基本定理,考查了用向量表示幾何的量,向量的線性運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形把所研究的向量用三個(gè)基向量表示出來(lái),本題是向量的基礎(chǔ)題5(5分)某幾何體三視圖如圖(單位;cm),則該幾何體的體積是()A1500cm3B1025cm3C625cm3D1200cm3考點(diǎn):由三視圖求面積、體積 專題:計(jì)算題;空間位置關(guān)系與距離分析:根據(jù)幾何體的三視圖,得出該幾何體是底面為矩形的直四棱錐,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積解答:解:根據(jù)幾何體的三視圖,得;該幾何體是底面為矩形,高為15cm的直四棱錐;且底面矩形的長(zhǎng)為20cm,寬為15cm,如圖所示;該四棱錐的體積為201515=1500cm2故選:A點(diǎn)評(píng):本題考查了空間幾何體的三視圖的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了空間想象能力與數(shù)據(jù)的計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題目6(5分)已知正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn),則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()ABCD考點(diǎn):異面直線及其所成的角 專題:空間角分析:由E為AB的中點(diǎn),可取AD中點(diǎn)F,連接EF,則CEF為異面直線CE與BD所成角,設(shè)出正四面體的棱長(zhǎng),求出CEF的三邊長(zhǎng),然后利用余弦定理求解異面直線CE與BD所成角的余弦值解答:解:如圖,取AD中點(diǎn)F,連接EF,CF,E為AB的中點(diǎn),EFDB,則CEF為異面直線BD與CE所成的角,ABCD為正四面體,E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點(diǎn),CE=CF設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2a,則EF=a,CE=CF=在CEF中,由余弦定理得:=故選:B點(diǎn)評(píng):本題考查異面直線及其所成的角,關(guān)鍵是找角,考查了余弦定理的應(yīng)用,是中檔題7(5分)下列結(jié)論正確的是()A各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等,則該棱錐可能是正六棱錐D圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線考點(diǎn):簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征 專題:數(shù)形結(jié)合分析:通過(guò)簡(jiǎn)單幾何體和直觀圖說(shuō)明A和B錯(cuò)誤,根據(jù)正六棱錐的過(guò)中心和定點(diǎn)的截面知C錯(cuò)誤,由圓錐的母線進(jìn)行判斷知D正確解答:解:A、如圖(1)所示,由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,各面都是三角形,但它不是棱錐,故A錯(cuò)誤;B、如圖(2)(3)所示,若ABC不是直角三角形,或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐,故B錯(cuò)誤;C、若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等,則底面多邊形是正六邊形由過(guò)中心和定點(diǎn)的截面知,若以正六邊形為底面,側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng),故C錯(cuò)誤;D、根據(jù)圓錐母線的定義知,故D正確故選D點(diǎn)評(píng):本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用,結(jié)合柱體、椎體和臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征,以及幾何體的直觀圖進(jìn)行判斷,考查了空間想象能力8(5分)已知=(1,5,2),=(3,1,z),若,=(x1,y,3),且BP平面ABC,則實(shí)數(shù)x、y、z分別為()A,4B,4C,2,4D4,15考點(diǎn):向量語(yǔ)言表述線線的垂直、平行關(guān)系 專題:空間向量及應(yīng)用分析:利用數(shù)量積與垂直的關(guān)系、線面垂直的性質(zhì)定理即可得出解答:解:,=3+52Z=0,解得z=4BP平面ABC,化為,解得,z=4故選:B點(diǎn)評(píng):本題考查了數(shù)量積與垂直的關(guān)系、線面垂直的性質(zhì)定理,屬于中檔題9(5分)已知兩條不重合的直線m、n和兩個(gè)不重合的平面、,有下列命題:若mn,m,則n; 若m,n,mn,則; 若m、n是兩條異面直線,m,n,m,n,則; 若,=m,n,nm,則n其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A1B2C3D4考點(diǎn):平面與平面之間的位置關(guān)系 專題:證明題分析:直線與平面的位置關(guān)系有三種:平行,相交,在平面內(nèi),此命題中n可能在平面內(nèi),故錯(cuò)誤;利用“垂直于同一條直線的兩平面平行即可判斷正確;利用線面垂直的判定定理,先證明平面內(nèi)有兩條相交直線與平面平行,再由面面平行的判定定理證明兩面平行,正確;若兩平面垂直,則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面,由此性質(zhì)定理即可判斷正確解答:解:若mn,m,則n可能在平面內(nèi),故錯(cuò)誤m,mn,n,又n,故正確過(guò)直線m作平面交平面與直線c,m、n是兩條異面直線,設(shè)nc=O,m,m,=cmc,m,c,c,n,c,nc=O,c,n;故正確由面面垂直的性質(zhì)定理:,=m,n,nm,n故正確故正確命題有三個(gè),故選C點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了直線與平面的位置關(guān)系,面面平行的判定定理及結(jié)論,面面垂直的性質(zhì)定理等基礎(chǔ)知識(shí)10(5分)如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()ABCD考點(diǎn):直線與平面所成的角 專題:計(jì)算題分析:由題意,由于圖形中已經(jīng)出現(xiàn)了兩兩垂直的三條直線所以可以利用空間向量的方法求解直線與平面所成的夾角解答:解:以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1)=(2,0,1),=(2,2,0),且為平面BB1D1D的一個(gè)法向量cos,=BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為故答案為D點(diǎn)評(píng):此題重點(diǎn)考查了利用空間向量,抓住直線與平面所成的角與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角之間的關(guān)系這一利用向量方法解決了抽象的立體幾何問(wèn)題11(5分)已知正四棱錐SABCD中,SA=2,那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí),它的高為()A1BC2D3考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 專題:計(jì)算題;壓軸題分析:設(shè)出底面邊長(zhǎng),求出正四棱錐的高,寫出體積表達(dá)式,利用求導(dǎo)求得最大值時(shí),高的值解答:解:設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,則高h(yuǎn)=,所以體積V=a2h=,設(shè)y=12a4a6,則y=48a33a5,當(dāng)y取最值時(shí),y=48a33a5=0,解得a=0或a=4時(shí),當(dāng)a=4時(shí),體積最大,此時(shí)h=2,故選C點(diǎn)評(píng):本試題主要考查椎體的體積,考查高次函數(shù)的最值問(wèn)題的求法是中檔題12(5分)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M在AB上,且AM=,點(diǎn)P是平面ABCD上的動(dòng)點(diǎn),且動(dòng)點(diǎn)P到直線A1D1的距離與動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為1,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是()A圓B拋物線C雙曲線D直線考點(diǎn):軌跡方程;拋物線的定義 專題:計(jì)算題分析:作PQAD,作QRD1A1,PR即為點(diǎn)P到直線A1D1的距離,由勾股定理得 PR2PQ2=RQ2=1,又已知PR2PM2=1,PM=PQ,即P到點(diǎn)M的距離等于P到AD的距離解答:解:如圖所示:正方體ABCDA1B1C1D1 中,作PQAD,Q為垂足,則PQ面ADD1A1,過(guò)點(diǎn)Q作QRD1A1,則D1A1面PQR,PR即為點(diǎn)P到直線A1D1的距離,由題意可得 PR2PQ2=RQ2=1又已知 PR2PM2=1,PM=PQ,即P到點(diǎn)M的距離等于P到AD的距離,根據(jù)拋物線的定義可得,點(diǎn)P的軌跡是拋物線,故選 B點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線的定義,求點(diǎn)的軌跡方程的方法,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,得到PM=PQ是解題的關(guān)鍵二、填空題(每小題5分,共20分)13(5分)若將銳角A為60,邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD沿對(duì)角線BD折成60的二面角,則A與C之間的距離為a考點(diǎn):點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算 專題:計(jì)算題;空間位置關(guān)系與距離分析:取BD的中點(diǎn)E,連接AE,CE,則AEBD,CEBD,故AEC是二面角ABDC的平面角,判定AEC是等邊三角形,即可得到結(jié)論解答:解:由題意,取BD的中點(diǎn)E,連接AE,CE,則AEBD,CEBDAEC是二面角ABDC的平面角AEC=60,菱形ABCD中,銳角A為60,邊長(zhǎng)為a,AE=CE=aAEC是等邊三角形A與C之間的距離為a,故答案為:a點(diǎn)評(píng):本題考查面面角,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題14(5分)將圓心角為120,面積為3的扇形,作為圓錐的側(cè)面,則圓錐的體積為考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺(tái)) 專題:計(jì)算題分析:設(shè)出圓錐的母線與底面半徑,根據(jù)所給的圓錐的側(cè)面積和圓心角,求出圓錐的母線長(zhǎng)與底面半徑,利用體積公式做出結(jié)果解答:解:設(shè)圓錐的母線為l,底面半徑為r,3=l2l=3,120=360,r=1,圓錐的高是=2圓錐的體積是122=故答案為:點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐的體積,解題時(shí)注意圓錐的展開(kāi)圖與圓錐的各個(gè)量之間的關(guān)系,做好關(guān)系的對(duì)應(yīng),本題是一個(gè)易錯(cuò)題15(5分)如圖,直三棱柱ABCDA1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=,AA1=3,M為線段BB1上的一動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)AM+MC1最小時(shí),點(diǎn)C到平面AMC1的距離為考點(diǎn):點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算 專題:計(jì)算題;空間位置關(guān)系與距離分析:先將直三棱柱ABCA1B1C1沿棱BB1展開(kāi)成平面連接AC1,與BB1的交點(diǎn)即為滿足AM+MC1最小時(shí)的點(diǎn)M,由此可以求得AMC1的三邊長(zhǎng),再由余弦定理求出其中一角,由面積公式求出面積解答:解:將直三棱柱ABCA1B1C1沿棱BB1展開(kāi)成平面連接AC1,與BB1的交點(diǎn)即為滿足AM+MC1最小時(shí)的點(diǎn)M,由于AB=1,BC=2,AA1=3,再結(jié)合棱柱的性質(zhì),可得BM=AA1=1,故B1M=2由圖形及棱柱的性質(zhì),可得AM=,AC1=,MC1=2,cosAMC1=故sinAMC1=,AMC1的面積為=,設(shè)點(diǎn)C到平面AMC1的距離為h,則由等體積可得,h=故答案為:點(diǎn)評(píng):本題考查棱柱的特征,求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其棱長(zhǎng)等求出三角形的邊長(zhǎng),再由面積公式求面積,本題代數(shù)與幾何相結(jié)合,綜合性強(qiáng),解題時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確,正確認(rèn)識(shí)圖形中的位置關(guān)系16(5分)在體積一定的正方體ABCDA1B1C1D1中,E是棱CC1的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且A1F平面D1AE,記A1F與平面BCC1B1所成的角為,下列說(shuō)法中正確的是點(diǎn)F的軌跡是一條線段;三棱錐FAD1E的體積為定值;A1F與D1E不可能平行;A1F與CC1是異面直線;tan的最大值為3考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積;棱柱的結(jié)構(gòu)特征 專題:空間位置關(guān)系與距離分析:找出F所在平面上的軌跡,然后判斷的正誤;利用體積是否變化判斷的正誤;找出F的特殊位置判斷大致為;求出tan的最大值,判斷的正誤;解答:解:對(duì)于,取BC 的中點(diǎn)G,BB1,B1C1的中點(diǎn)NM,連結(jié)MN,EG,則F在MN上,滿足F是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且A1F平面D1AE,所以正確;對(duì)于,因?yàn)镸NEG,則F到平面AD1E的距離是定值,三棱錐FAD1E的體積為定值,所以正確;對(duì)于,當(dāng)F在N時(shí),A1F與D1E平行,所以不正確;對(duì)于,A1F與CC1是異面直線;滿足異面直線的定義,所以正確;對(duì)于,A1F與平面BCC1B1所成的角為,tan=2,所以不正確;故答案為:點(diǎn)評(píng):本題考查棱柱的幾何特征,直線與平面所成角,幾何體的體積的求法,直線與平面平行的判斷,考查邏輯推理以及計(jì)算能力三、解答題17(10分)如圖所示,P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),M、N分別為AB、PC的中點(diǎn),平面PAD平面PBC=l(1)判斷BC與l的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)判斷MN與平面PAD的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論考點(diǎn):空間中直線與平面之間的位置關(guān)系;空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 專題:空間位置關(guān)系與距離分析:(1)由ADBC,可得BC平面PAD,再利用線面平行的性質(zhì)可得BCl;(2)取CD的中點(diǎn)Q,連接MQ、NQ,可證平面MNQ平面PAD,再由面面平行的性質(zhì)得線面平行解答:解:(1)結(jié)論:BCl證明:ADBC,BC平面PAD,AD平面PAD,BC平面PAD又BC平面PBC,平面PAD平面PBC=l,BCl(2)結(jié)論:MN平面PAD證明:取CD的中點(diǎn)Q,連結(jié)NQ,MQ,則NQPD,MQAD,又NQMQ=Q,PDAD=D,平面MNQ平面PAD又MN平面MNQ,MN平面PAD點(diǎn)評(píng):本題考查了線面平行的判定與性質(zhì),考查了面面平行的判定與性質(zhì),體現(xiàn)了線線、線面、面面平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,要熟記相關(guān)定理的條件18(12分)已知幾何體ABCED的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形,已知幾何體ABCED的體積為16(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)將直角三角形ABD繞斜邊AD旋轉(zhuǎn)一周,求該旋轉(zhuǎn)體的表面積考點(diǎn):由三視圖求面積、體積;旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺(tái)) 專題:計(jì)算題;空間位置關(guān)系與距離分析:(1)由該幾何體的三視圖知AC面BCED,且EC=BC=AC=4,BD=a,利用幾何體ABCED的體積為16,求實(shí)數(shù)a的值;(2)過(guò)B作AD的垂線BH,垂足為H,得,求出圓錐底面周長(zhǎng)為,兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)分別為和2,即可求該旋轉(zhuǎn)體的表面積解答:解:(1)由該幾何體的三視圖知AC面BCED,且EC=BC=AC=4,BD=a,體積V=16,解得a=2;(2)在RTABD中,BD=2,AD=6,過(guò)B作AD的垂線BH,垂足為H,得,該旋轉(zhuǎn)體由兩個(gè)同底的圓錐構(gòu)成,圓錐底面半徑為,所以圓錐底面周長(zhǎng)為,兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)分別為和2,故該旋轉(zhuǎn)體的表面積為點(diǎn)評(píng):本題考查了圓錐的側(cè)面積公式、積體公式和解三角形等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題19(12分)如圖所示,已知四棱錐的側(cè)棱PD平面ABCD,且底面ABCD是直角梯形,ADCD,ABCD,AB=AD=CD=2,點(diǎn)M是側(cè)棱PC的中點(diǎn)(1)求證:BC平面BDP;(2)若tanPCD=,求三棱錐MBDP的體積考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積;直線與平面垂直的判定 專題:空間位置關(guān)系與距離分析:(1)由ABAD,AB=AD=2,可得BD=2,又AD=2,CD=4,AB=2,可得BC=2,利用勾股定理的逆定理可得BDBC由PD平面ABCD,利用線面垂直的性質(zhì)定理可得PDBC利用線面垂直的判定定理即可證明(2)如圖,過(guò)M作MGDC交DC于點(diǎn)G由PDDC,M是PC中點(diǎn),知MG是DCP的中位線,又PD平面ABCD,可得MG平面BDC又tanPCD=,得PD=2,MG=PD=1利用VMBDP=VPBCDVMBCD,即可得出解答:(1)證明:ABAD,AB=AD=2,BD=2,又AD=2,CD=4,AB=2,則BC=2,BD2+BC2=16=DC2,BDBCPD平面ABCD,BC平面ABCD,PDBC又BDPD=D,BC平面BDP(2)解:如圖,過(guò)M作MGDC交DC于點(diǎn)G由PDDC,M是PC中點(diǎn),知MG是DCP的中位線,MGPD,MG=PD,又PD平面ABCD,MG平面BDC又tanPCD=,得PD=2,MG=PD=1VMBDP=VPBCDVMBCD=222221=點(diǎn)評(píng):本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、勾股定理及其逆定理、三角形中位線定理、三棱錐的體積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題20(12分)如圖所示,正四棱錐PABCD被過(guò)棱錐高上O點(diǎn)且平行底面的平面ABCD所截,得到正四棱臺(tái)OO和較小的棱錐PO,其中O分PO為=,側(cè)棱PA長(zhǎng)為15cm,小棱錐底面邊長(zhǎng)AB為6cm(1)求截得棱臺(tái)的體積(2)求棱錐PABCD的內(nèi)切球的表面積考點(diǎn):球的體積和表面積;棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 專題:計(jì)算題;空間位置關(guān)系與距離分析:(1)計(jì)算出棱臺(tái)的上、下底的邊長(zhǎng),高,可得截得棱臺(tái)的體積;(2)由等體積計(jì)算棱錐PABCD的內(nèi)切球的半徑,即可求出棱錐PABCD的內(nèi)切球的表面積解答:解:(1)由ABAB得,=,PA=5,AB=18,PO=3OO=PO=2,V臺(tái)=(36+182+)2=312(cm3)(6分)(2)作軸截面圖如下,設(shè)球心為E,半徑為R,由PH=PQ=12,HQ=AB=18,PO=3,則SPHQ=(PH+PQ+HQ)R,=(12+12+18)R,R=,棱錐PABCD的內(nèi)切球的表面積為4R2=(cm2)(12分)點(diǎn)評(píng):本題考查棱臺(tái)的體積,考查棱錐PABCD的內(nèi)切球的表面積,考查學(xué)生的計(jì)算能力,求出棱錐PABCD的內(nèi)切球的半徑是關(guān)鍵,屬于中檔題21(12分)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為直角梯形,ADBC,ADC=90,平面PAD底面ABCD,Q為AD的中點(diǎn),M是棱PC上的點(diǎn),PA=PD=2,BC=AD=1,CD=()求證:平面PQB平面PAD;()若M為棱PC的中點(diǎn),求異面直線AP與BM所成角的余弦值;()若二面角MBQC大小為30,求QM的長(zhǎng)考點(diǎn):異面直線及其所成的角;平面與平面垂直的判定 專題:空間位置關(guān)系與距離分析:()由題意易證QBAD,由面面垂直的性質(zhì)可得BQ平面PAD,可得結(jié)論;()易證PQ平面ABCD,以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則可得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),可得向量和的坐標(biāo),可得夾角的余弦值,由反三角函數(shù)可得答案;()可得平面BQC的法向量為,又可求得平面MBQ法向量為,結(jié)合題意可得的方程,解方程可得,可得所求解答:解:()ADBC,BC=AD,Q為AD的中點(diǎn),四邊形BCDQ為平行四邊形,CDBQ又ADC=90,AQB=90 即QBAD又平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,BQ平面PADBQ平面PQB,平面PQB平面PAD()PA=PD,Q為AD的中點(diǎn),PQAD平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,PQ平面ABCD 如圖,以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則Q(0,0,0),A(1,0,0),M是PC中點(diǎn),設(shè)異面直線AP與BM所成角為則cos=,異面直線AP與BM所成角的余弦值為;()由()知平面BQC的法向量為,由 ,且01,得,又,平面MBQ法向量為二面角MBQC為30,|QM|=點(diǎn)評(píng):本題考查空間角,涉及平面與平面垂直的判定,建立空間直角坐標(biāo)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,屬中檔題22(12分)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn),且滿足(如圖1)將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使二面角A1DEB成直二面角,連結(jié)A1B、A1C (如圖2)(1)求證:A1D丄平面BCED;(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使直線PA1與平面A1BD所成的角為60?若存在,求出PB的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn):用空間向量求直線與平面的夾角;直線與平面垂直的判定;直線與平面所成的角 專題:計(jì)算題;空間角;空間向量及應(yīng)用分析:(1)等邊ABC中,根據(jù)得到AD=1且AE=2,由余弦定理算出DE=,從而得到AD2+DE2=AE2,所以ADDE結(jié)合題意得平面A1DE平面BCDE,利用面面垂直的性質(zhì)定理,可證出A1D丄平面BCED;(2)作PHBD于點(diǎn)H,連接A1H、A1P,由A1D丄平面BCED得A1D丄PH,所以PH平面A1BD,可得PA1H是直線PA1與平面A1BD所成的角,即PA1H=60設(shè)PB=x(0x3),分別在RtBA1H、RtPA1H和RtDA1H中利用三角函數(shù)定義和勾股定理,建立等量關(guān)系得12+(2x)2=(x)2,解之得x=,從而得到在BC上存在點(diǎn)P且當(dāng)PB=時(shí),直線PA1與平面A1BD所成的角為60解答:解:(1)正ABC的邊長(zhǎng)為3,且=AD=1,AE=2,ADE中,DAE=60,由余弦定理,得DE=AD2+DE2=4=AE2,ADDE折疊后,仍有A1DDE二面角A1DEB成直二面角,平面A1DE平面BCDE又平面A1DE平面BCDE=DE,A1D平面A1DE,A1DDEA1D丄平面BCED;(2)假設(shè)在線段BC上存在點(diǎn)P,使直線PA1與平面A1BD所成的角為60如圖,作PHBD于點(diǎn)H,連接A1H、A1P由(1)得A1D丄平面BCED,而PH平面BCED所以A1D丄PHA1D、BD是平面A1BD內(nèi)的相交直線,PH平面A1BD由此可得PA1H是直線PA1與平面A1BD所成的角,即PA1H=60設(shè)PB=x(0x3),則BH=PBcos60=,PH=PBsin60=x在RtPA1H中,PA1H=60,所以A1H=,在RtDA1H中,A1D=1,DH=2x由A1D2+DH2=A1H2,得12+(2x)2=(x)2解之得x=,滿足0x3符合題意所以在線段BC上存在點(diǎn)P,使直線PA1與平面A1BD所成的角為60,此時(shí)PB=點(diǎn)評(píng):本題給出平面翻折問(wèn)題,求證直線與平面垂直并探索了直線與平面所成角的問(wèn)題,著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和直線與平面所成角的求法等知識(shí),屬于中檔題- 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