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2019-2020年九年級(jí)總復(fù)習(xí)（河北）習(xí)題 專(zhuān)題三 開(kāi)放探究問(wèn)題 強(qiáng)化突破 1．(xx綏化)如圖，A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，∠A＝∠C＝90，AB＝CD，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件__答案不唯一，如：AE＝CB或∠EBD＝90等__，使得△EAB≌△BCD. 2．(xx淄博)已知?ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使?ABCD成為一個(gè)菱形，你添加的條件是__答案不唯一，如：AD＝CD或AC⊥BD等__． 3．(xx北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P(x，y)，我們把點(diǎn)P′(－y＋1，x＋1)叫做點(diǎn)P的伴隨點(diǎn)．已知點(diǎn)A1的伴隨點(diǎn)為A2，點(diǎn)A2的伴隨點(diǎn)為A3，點(diǎn)A3的伴隨點(diǎn)為A4，…，這樣依次得到點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，….若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(3，1)，則點(diǎn)A3的坐標(biāo)為_(kāi)_(－3，1)__，點(diǎn)Axx的坐標(biāo)為_(kāi)_(0，4)__；若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(a，b)，對(duì)于任意的正整數(shù)n，點(diǎn)An均在x軸上方，則a，b應(yīng)滿足的條件為_(kāi)_－1＜a＜1且0＜b＜2__． 4．(xx武漢)觀察下列一組圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中第1個(gè)圖中共有4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖中共有10個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖中共有19個(gè)點(diǎn)，……，按此規(guī)律第5個(gè)圖中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( B ) A．31 B．46 C．51 D．66 5．(xx天門(mén))小文、小亮從學(xué)校出發(fā)到青少年宮參加書(shū)法比賽，小文步行一段時(shí)間后，小亮騎自行車(chē)沿相同路線行進(jìn)，兩人均勻速前行．他們的路程差s(米)與小文出發(fā)時(shí)間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列說(shuō)法：①小亮先到達(dá)青少年宮；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a＝24；④b＝480.其中正確的是( B ) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 6．(xx南京)學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究． 【初步思考】 我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類(lèi)，可以分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究． 【深入探究】 第一種情況：當(dāng)∠B為直角時(shí)，△ABC≌△DEF. (1)如圖①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90，根據(jù)__HL__，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF. 第二種情況：當(dāng)∠B為鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF. (2)如圖②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF. 第三種情況：當(dāng)∠B為銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等． (3)如圖③，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡) (4)∠B還要滿足什么條件，就可以使得△ABC≌△DEF，請(qǐng)直接填寫(xiě)結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是銳角，若__∠B≥∠A__，則△ABC≌△DEF. 解：(1)HL　(2)如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作DH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H，∵∠B＝∠E，且∠B，∠E都是鈍角，∴180－∠B＝180－∠E，即∠CBG＝∠FEH，可證△CBG≌△FEH(AAS)，∴CG＝FH，可證Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，∴∠A＝∠D，從而可證△ABC≌△DEF(AAS)　(3)如圖，△DEF和△ABC不全等　(4)答案不唯一，如：∠B≥∠A 7．(xx淄博)如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N，AB＝AC＝BD.連接MF，NF. (1)判斷△BMN的形狀，并證明你的結(jié)論； (2)判斷△MFN與△BDC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由． 解：(1)△BMN是等腰直角三角形．證明：∵AB＝AC，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC.∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，∴∠AEB＝90，∴∠EAB＋∠EBA＝90，∴∠MNB＝∠NAB＋∠ABN＝(∠BAE＋∠ABE)＝45，∴∠MBN＝90－∠MNB＝45，∴∠MBN＝∠MNB，∴△BMN是等腰直角三角形 (2)△MFN∽△BDC.證明：∵點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴FM∥AC，F(xiàn)M＝AC.∵AC＝BD，∴FM＝BD，即＝.∵△BMN是等腰直角三角形，∴NM＝BM＝BC，即＝，∴＝.∵AM⊥BC，∴∠NMF＋∠FMB＝90.∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB.∵∠CEB＝90，∴∠ACB＋∠CBD＝90，∴∠CBD＋∠FMB＝90，∴∠NMF＝∠CBD，∴△MFN∽△BDC 8．(xx陜西)問(wèn)題探究 (1)請(qǐng)?jiān)趫D①中作出兩條直線，使它們將圓面四等分； (2)如圖②，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D②中作出兩條直線(要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M)，使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說(shuō)明理由． 問(wèn)題解決 (3)如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＋CD＝BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)．如果AB＝a，CD＝b，且b＞a，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由． 解：(1)過(guò)圓心O作兩條互相垂直的直線即可　(2)連接AC，BD相交于點(diǎn)O，作直線OM分別交AD，BC于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OM的垂線分別交AB，CD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則直線OM，EF將正方形ABCD的面積四等分．理由：利用ASA易證△OAP≌△OBE≌△OCQ≌△ODF，從而可得直線OM，EF將正方形ABCD的面積四等分 (3)存在，當(dāng)BQ＝CD＝b時(shí)，PQ將四邊形ABCD面積二等分．理由如下：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使AE＝b，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)F，使DF＝a，連接EF，易得四邊形EBCF是菱形．連接BF交AD于M，則△MAB≌△MDF，∴AM＝DM，∴P，M兩點(diǎn)重合，∴P點(diǎn)是菱形EBCF對(duì)角線的交點(diǎn)，在BC上截取BQ＝CD＝b，則CQ＝AB＝a.設(shè)點(diǎn)P到菱形EBCF一邊的距離為d，則(AB＋BQ)d＝(CQ＋CD)d＝(a＋b)d，∴S四邊形ABQP＝S四邊形CDPQ，∴當(dāng)BQ＝b時(shí)，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分 9．(xx襄陽(yáng))如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－2. (1)求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)； (2)點(diǎn)D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線上的另一點(diǎn)，已知以AB為一底邊的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式，并指出頂點(diǎn)E的坐標(biāo)； (3)點(diǎn)P是(2)中拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，且以1個(gè)單位/秒的速度從此拋物線的頂點(diǎn)E向上運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒． ①當(dāng)t為_(kāi)_2__秒時(shí)，△PAD的周長(zhǎng)最?。划?dāng)t為_(kāi)_4或4－或4＋__秒時(shí)，△PAD是以AD為腰的等腰三角形；(結(jié)果保留根號(hào)) ②點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在一點(diǎn)P，使△PAD是以AD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)B(－3，0)　(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交CD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，由題意可知AB∥CD，由拋物線的軸對(duì)稱(chēng)性可得CD＝2DM.∵M(jìn)N∥y軸，AB∥CD，∴四邊形ODMN是矩形，∴DM＝ON＝2，∴CD＝22＝4.∵A(－1，0)，B(－3，0)，∴AB＝2.∵梯形ABCD的面積＝(AB＋CD)OD＝9，∴OD＝3，即c＝3.把A(－1，0)，B(－3，0)代入y＝ax2＋bx＋3得a＝1，b＝4，∴y＝x2＋4x＋3，化為頂點(diǎn)式為y＝(x＋2)2－1，得E(－2，－1)　(3)①2；4或4－或4＋ ②存在．∵∠APD＝90，∠PMD＝∠PNA＝90，∴∠PDM＋∠APN＝90，∠DPM＋∠PDM＝90，∴∠PDM＝∠APN，又∵∠PMD＝∠ANP，∴△APN∽△PDM，∴＝，∴＝，∴PN2－3PN＋2＝0，∴PN＝1或PN＝2，∴P(－2，1)或(－2，2)