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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.1 命題教案 新人教A版選修1-1 ●三維目標(biāo) 1.知識與技能 理解命題的概念和命題的構(gòu)成，能判斷給定陳述句是否為命題，能判斷命題的真假；能把命題改寫成“若p，則q”的形式． 2．過程與方法 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力． 3．情感、態(tài)度與價值觀 通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣． ●重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：命題的概念、命題的構(gòu)成． 難點(diǎn)：分清命題的條件、結(jié)論和判斷命題的真假． (教師用書獨(dú)具) ●教學(xué)建議 命題的概念在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過，可以通過回顧初中知識引入，講清命題概念中的兩個問題，判斷是否為陳述句，能否判斷真假；重點(diǎn)放在命題的形式和判斷命題真假的教學(xué)中，基于教材內(nèi)容簡單且以前曾經(jīng)接觸過，可以采用提問式、討論式的教學(xué)方法，讓學(xué)生在討論、回答問題的過程中學(xué)習(xí)知識，增長技能，進(jìn)而突破重難點(diǎn)． ●教學(xué)流程 ??????? (對應(yīng)學(xué)生用書第1頁) 課標(biāo)解讀 1.了解命題的概念及構(gòu)成．(重點(diǎn)) 2．會判斷命題的真假．(難點(diǎn)、易錯點(diǎn)) 命題的概念 【問題導(dǎo)思】 觀察下列實例： ①一條直線l，不是與平面α平行就是相交； ②4是集合{1,2,3,4}的元素； ③若x∈R，方程x2－x＋2＝0無實根； ④作△ABC∽△A′B′C′ 上述語句中，哪些能判斷真假？ 【提示】?、?、②、③、④是祈使句不能判斷真假． 1．定義 在數(shù)學(xué)中，把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題． 2．分類 ①真命題：判斷為真的語句叫做真命題；②假命題：判斷為假的語句叫做假命題. 命題的形式 【問題導(dǎo)思】　 1．“同位角相等”是命題嗎？如果是命題，是真命題還是假命題？ 【提示】　是命題，為假命題． 2．你能把“同位角相等”寫成“若……，則……”的形式嗎？ 【提示】　若兩個角為同位角，則這兩個角相等． 　命題的形式：“若p，則q”，其中命題的條件是p，結(jié)論是q. (對應(yīng)學(xué)生用書第1頁) 命題的判斷 　判斷下列語句是否為命題，并說明理由． (1)x－2＞0； (2)梯形是不是平面圖形呢？ (3)若a與b是無理數(shù)，則ab是無理數(shù)； (4)這盆花長得太好了！ (5)若x＜2，則x＜3. 【思路探究】　(1)這些語句是陳述句嗎？(2)你能判斷它們的真假嗎？ 【自主解答】　(1)不是命題，因為變量x的值沒有給定，不能判斷真假． (2)不是命題，疑問句不是命題． (3)是命題，因為此語句是陳述句且是假的．(反例a＝b＝) (4)不是命題，感嘆句不是命題． (5)是命題，因為此語句是陳述句且是真的． 判斷一個語句是否為命題的步驟： (1)語句格式是否為陳述句，只有陳述句才有可能是命題． (2)該語句能否判斷真假，語句敘述的內(nèi)容是否與客觀實際相符，是否符合已學(xué)過的公理、定理，是明確的，不能模棱兩可． 判斷下列語句是否為命題，并說明理由． (1)一條直線l，與平面α不是平行就是相交； (2)若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)； (3)作△ABC∽△A′B′C′. 【解】　(1)是命題．直線l與平面α有相交、平行、l在平面α內(nèi)三種關(guān)系，為假． (2)是命題．因xy＝1時，x，y互為倒數(shù)，為真． (3)不是命題，祈使句不是命題． 命題真假的判定 　判斷下列語句是否是命題，若是，判斷其真假，并說明理由． (1)函數(shù)y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π； (2)若x＝4，則2x＋1＜0； (3)一個等比數(shù)列的公比大于1時，該數(shù)列為遞增數(shù)列； (4)求證：x∈R時，方程x2－x＋2＝0無實根． 【思路探究】　 【自主解答】　(1)(2)(3)是命題，(4)不是命題． 命題(1)中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，顯然其最小正周期為π，為真命題． 命題(2)中，當(dāng)x＝4,2x＋1＞0，是假命題． 命題(3)中，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的首項a1＜0，公比q＞1時，該數(shù)列為遞減數(shù)列，是假命題． (4)是一個祈使句，沒有作出判斷，不是命題． 1．真假命題的判定方法： (1)真命題的判定方法： 真命題的判定過程實際就是利用命題的條件，結(jié)合正確的邏輯推理方法進(jìn)行正確邏輯推理的一個過程．判斷命題為真的關(guān)鍵是弄清命題的條件，選擇正確的邏輯推理方法． (2)假命題的判定方法： 通過構(gòu)造一個反例否定命題的正確性，這是判斷一個命題為假命題的常用方法． 2．解決本類問題的難點(diǎn)是對相關(guān)知識的理解與掌握． 在本例中，把不是命題的改為命題后，再把假命題改為真命題． 【解】　(2)是假命題，改為真命題為：若x＝4時，則2x＋1＞0. (3)是假命題，改為真命題為：一個等比數(shù)列的公比大于1，首項大于零時，該數(shù)列為遞增數(shù)列． (4)不是命題，改為真命題為：若x∈R，則方程x2－x＋2＝0無實根. 命題的形式及改寫 　把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假． (1)兩個周長相等的三角形面積相等； (2)已知x，y為正整數(shù)，當(dāng)y＝x＋1時，y＝3，x＝2； (3)當(dāng)m＞1時，x2－2x＋m＝0無實根； (4)當(dāng)abc＝0時，a＝0且b＝0且c＝0. 【思路探究】　(1)這些命題的條件與結(jié)論分別是什么？ (2)第2小題中大前提“已知x、y為正整數(shù)”該怎樣處理？ 【自主解答】　(1)若兩個三角形周長相等，則這兩個三角形面積相等，假命題； (2)已知x，y為正整數(shù)，若y＝x＋1，則y＝3，x＝2，假命題； (3)若m＞1，則x2－2x＋m＝0無實根，真命題； (4)若abc＝0，則a＝0且b＝0且c＝0，假命題． 1．解決本例問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)命題的條件和結(jié)論，進(jìn)而化成“若p，則q”的形式． 2．對于命題的大前提，應(yīng)當(dāng)寫在前面，不要寫在條件中；對于改寫時語句不通順的情況，要適當(dāng)補(bǔ)充使語句順暢． 把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假． (1)奇數(shù)不能被2整除； (2)當(dāng)(a－1)2＋(b－1)2＝0時，a＝b＝1； (3)兩個相似三角形是全等三角形； (4)在空間中，平行于同一個平面的兩條直線平行． 【解】　(1)若一個數(shù)是奇數(shù)，則它不能被2整除，是真命題； (2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，則a＝b＝1，是真命題； (3)若兩個三角形是相似三角形，則這兩個三角形是全等三角形，是假命題． (4)在空間中，若兩條直線平行于同一個平面，則這兩條直線平行，是假命題．  (對應(yīng)學(xué)生用書第4頁) 因知識欠缺，導(dǎo)致對命題真假判斷失誤 　判斷下列命題的真假． (1)若a＞b，則＜； (2)x＝1是方程(x－1)(x－2)＝0的一個根． 【錯解】　(1)真命題．　(2)假命題． 【錯因分析】　(1)誤認(rèn)為“兩數(shù)比較大小時，大數(shù)的倒數(shù)反而小”，而忽視a、b的條件，當(dāng)a＞0，b＜0時，a＞b但＞. (2)因為方程的根為x＝1或x＝2，解題時誤認(rèn)為x＝1不全面，而沒有分析清邏輯關(guān)系． 【防范措施】　平時學(xué)習(xí)時一定要對每一個基礎(chǔ)知識理解透徹． 【正解】　(1)假命題　(2)真命題 1．判斷一個語句是否是命題要注意兩點(diǎn)： (1)是不是陳述句； (2)能否判斷真假． 2．命題的真假判斷要結(jié)合已有知識，進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理，對于描述較為簡潔的命題可以分清條件和結(jié)論后改寫成“若p，則q”的形式再加以判斷. (對應(yīng)學(xué)生用書第4頁) 1．下列語句中是命題的是(　　) A.是無限不循環(huán)小數(shù)　　 B．3x≤5 C．什么是“溫室效應(yīng)” D．《非常學(xué)案》真好呀！ 【解析】　疑問句和祈使句不是命題，C、D不是命題，對于B無法判斷真假，只有A是命題． 【答案】　A 2．下列命題中是假命題的是(　　) A．5是15的約數(shù)　　　 B．對任意實數(shù)x，有x2＜0 C．對頂角相等 D．0不是奇數(shù) 【解析】　對任意實數(shù)x，有x2≥0，所以B為假命題．A、C、D均為真命題． 【答案】　B 3．把命題“垂直于同一平面的兩條直線互相平行”改寫成“若p，則q”的形式為________． 【答案】　若兩條直線都垂直于同一個平面，則這兩條直線互相平行 4．判斷下列語句是否為命題，若是命題，判斷其真假． (1)求證：是無理數(shù)． (2)若G2＝ab，則a、G、b成等比數(shù)列． (3)末位數(shù)字是0的整數(shù)能被5整除． (4)你是高二的學(xué)生嗎？ 【解】　(1)不是命題，(2)假命題，(3)真命題，(4)不是命題. 一、選擇題 1．(xx鄭州高二檢測)在空間，下列命題正確的是(　　) A．平行直線的平行投影重合 B．平行于同一直線的兩個平面平行 C．垂直于同一平面的兩個平面平行 D．垂直于同一平面的兩條直線平行 【解析】　A中平行投影可能平行，A為假命題．B、C中的兩個平面可以平行或相交，為假命題．由線面垂直的性質(zhì)，D為真命題． 【答案】　D 2．命題“6的倍數(shù)既能被2整除，也能被3整除”的結(jié)論是(　　) A．這個數(shù)能被2整除 B．這個數(shù)能被3整除 C．這個數(shù)既能被2整除，也能被3整除 D．這個數(shù)是6的倍數(shù) 【解析】　“若p，則q”的形式：若一個數(shù)是6的倍數(shù)，則這個數(shù)既能被2整除，也能被3整除． 【答案】　C 3．下列命題中，是真命題的是(　　) A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集 B．若x2＝1，則x＝1 C．空集是任何集合的真子集 D．若＝，則x＝y(tǒng) 【解析】　A中方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解，故為假命題；B中，若x2＝1，則x＝1，也為假命題；因為空集是任何非空集合的真子集，故C為假命題，D為真． 【答案】　D 4．給出命題：方程x2＋ax＋1＝0沒有實數(shù)根，則使該命題為真命題的a的一個值可以是(　　) A．4　　　　B．2　　　　C．0　　　　D．－3 【解析】　方程無實根應(yīng)滿足Δ＝a2－4＜0即a2＜4，故當(dāng)a＝0時適合條件． 【答案】　C 5．有下列命題： ①若xy＝0，則|x|＋|y|＝0；②若a＞b，則a＋c＞b＋c；③矩形的對角線互相垂直． 其中真命題共有(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【解析】?、儆蓌y＝0得到x＝0或y＝0， 所以|x|＋|y|＝0不正確，是假命題； ②當(dāng)a＞b時，有a＋c＞b＋c成立，正確，所以是真命題； ③矩形的對角線不一定垂直，不正確．是假命題． 【答案】　B 二、填空題 6．把“正弦函數(shù)是周期函數(shù)”寫成“若p，則q”的形式是________． 【答案】　若函數(shù)為正弦函數(shù)，則此函數(shù)是周期函數(shù)． 7．如果命題“若x∈A，則x＋≥2”為真命題，則集合A可以是________．(寫出一個即可) 【解析】　當(dāng)x＞0時，有x＋≥2，故A可以為{x|x＞0}． 【答案】　{x|x＞0} 8．下列命題：①若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)，②平行四邊形是梯形，③若a＞b，則ac2＞bc2，④若x、y互為相反數(shù)，則x＋y＝0，其中真命題為________． 【解析】?、偈钦婷}，②平行四邊形不是梯形，假命題，③若a＞b，則ac2≥bc2，故為假命題，④為真命題． 【答案】?、佗? 三、解答題 9．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假： (1)實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)； (2)等底等高的兩個三角形是全等三角形； (3)當(dāng)ac＞bc時，a＞b； (4)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等． 【解】　(1)若一個數(shù)是實數(shù)，則它的平方是非負(fù)數(shù)，真命題． (2)若兩個三角形等底等高，則這兩個三角形是全等三角形，假命題． (3)若ac＞bc，則a＞b，假命題． (4)若一個點(diǎn)是一個角的平分線上的點(diǎn)，則該點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等，真命題． 10．判斷下列命題的真假并說明理由． (1)合數(shù)一定是偶數(shù)； (2)若ab＞0，且a＋b＞0，則a＞0且b＞0； (3)若m＞，則方程mx2－x＋1＝0無實根． 【解】　(1)假命題．例如9是合數(shù)，但不是偶數(shù)． (2)真命題．因為ab＞0，則a、b同號． 又a＋b＞0故a、b不能同負(fù)， 故a、b只能同正，即a＞0且b＞0. (3)真命題．因為當(dāng)m＞時，Δ＝1－4m＜0； ∴方程無實根． 11．若命題“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍． 【解】　因為ax2－2ax－3＞0不成立， 所以ax2－2ax－3≤0恒成立． (1)當(dāng)a＝0時，－3≤0成立； (2)當(dāng)a≠0時，應(yīng)滿足 解之得－3≤a＜0. 由(1)(2)，得a的取值范圍為[－3,0]．  (教師用書獨(dú)具) 下列四個命題： ①若向量a，b滿足ab＜0，則a與b的夾角為鈍角； ②已知集合A＝{正四棱柱}，B＝{長方體}，則A∩B＝B； ③在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)M(|a|，|a－3|)與N(cos α，sin α)在直線x＋y－2＝0的異側(cè)； ④規(guī)定下式對任意a，b，c，d都成立． 2＝＝，則2＝. 其中真命題是________(將你認(rèn)為正確的命題序號都填上)． 【解析】　當(dāng)a與b的夾角為π時，有ab＜0，但此時的夾角不為鈍角，所以①是錯誤的；因為正四棱柱的底面是正方形，所以A∩B＝A，故②也是錯誤的；因為|a|＋|a－3|－2≥|a－a＋3|－2＝1＞0，cos α＋sin α－2＝sin－2＜0，所以點(diǎn)M，N在直線x＋y－2＝0的異側(cè)，故③是真命題；根據(jù)題意有 2＝ ＝＝， 所以④是真命題，故填③④. 【答案】?、邰? 把下面命題補(bǔ)充完整，使其成為一個真命題． 若函數(shù)f(x)＝3＋log2x(x＞0)的圖象與g(x)的圖象關(guān)于x軸對稱，則g(x)＝________. 【解析】　設(shè)g(x)圖象上任一點(diǎn)(x，y)，則它關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(x，－y)，此點(diǎn)在f(x)的圖象上，故有：－y＝3＋log2x成立，即y＝－3－log2x(x＞0)． 【答案】?。?－log2x(x＞0)