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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題9 思想方法專題 第三講 分類討論思想 理 分類討論思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略．對問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于是增加的一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度． 1．由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等． 2．由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等． 3．由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等． 4．由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等． 5．由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法． 6．由實(shí)際意義引起的討論：此類問題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計(jì)數(shù)問題時(shí)常用． 　　　　　　　　　　　　　　　　 判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊?． (1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.() (2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函數(shù)．() (3)冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1，1)和點(diǎn)(0，0)．() (4)當(dāng)n>0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是定義域上的增函數(shù)．() (5)若函數(shù)f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上單調(diào)遞增，則k＝.() (6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0，3)，則f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.() 1．過雙曲線2x2－y2＝2的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝4，則這樣的直線有(B) A．4條　　　B．3條　　　C．2條　　　D．1條 解析：由2x2－y2＝2，得x2－＝1. 當(dāng)l無斜率時(shí)，|AB|＝＝4，符合要求。 當(dāng)l有斜率時(shí)，若A、B兩點(diǎn)都在右支上，則|AB|>4不符合要求，A、B在左、右兩支上，有兩條，所以共3條． 2．已知正三角形ABC的邊長為3，到這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離都等于1的平面的個(gè)數(shù)是(D) A．2 B．3 C．5 D．8 解析：對三個(gè)頂點(diǎn)和平面的位置分類：在平面同一側(cè)有2個(gè)，在平面的兩側(cè)有6個(gè)． ∴共有2＋6＝8個(gè)． 3．滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個(gè)數(shù)有(B) A．14 B．13 C．12 D．10 解析：方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，分析討論． ①當(dāng)a＝0時(shí)，很顯然為垂直于x軸的直線方程，有解，此時(shí)b可以取4個(gè)值，故有4個(gè)有序數(shù)對； ②當(dāng)a≠0時(shí)，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.顯然有3個(gè)實(shí)數(shù)對不滿足題意，分別為(1，2)，(2，1)，(2，2)． ∵(a，b)共有44＝16個(gè)實(shí)數(shù)對，故答案應(yīng)為16－3＝13. 4. (xx浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(f(a))≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，]． 解析：由題意或解得f(a)≥－2，當(dāng)或解得a≤. 故a的取值范圍是(－∞，]． 一、選擇題 1．已知實(shí)數(shù)m是2，8的等比中項(xiàng)，則曲線x2－＝1的離心率為(D) A.　　　　　　　　　B. C. D.或 解析：∵m是2，8的等比中項(xiàng)，∴m2＝16，∴m＝4. 當(dāng)m＝4時(shí)，曲線為雙曲線，其中a＝1，c＝，e＝＝； 當(dāng)m＝－4時(shí)，曲線為橢圓，其中a＝2，c＝，e＝＝，故選D. 2．已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)≤2的解集是(A) A．[0，＋∞) B．[－1，2] C．[0，2] D．[1，＋∞) 解析：由得0≤x≤1；由得x>1，∴解集是[0，＋ ∞)，故選A. 3．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x3.又函數(shù)g(x)＝|xcos πx|，則函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(B) A．5個(gè)　　　B．6個(gè)　　　C．7個(gè)　　　D．8個(gè) 解析：因?yàn)楫?dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x3. 所以當(dāng)x∈[1，2]，(2－x)∈[0，1]， f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3, 當(dāng)x∈時(shí)，g(x)＝xcos(πx)；當(dāng)x∈時(shí)，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函數(shù)f(x), g(x)都是偶函數(shù)，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1), f＝ g＝0，作出函數(shù)f(x), g(x)的大致圖象，函數(shù)h(x)除了0，1這兩個(gè)零點(diǎn)之外，分別在區(qū)間，，，上各有一個(gè)零點(diǎn)，共有6個(gè)零點(diǎn)．故選B. 4．經(jīng)過點(diǎn)P(2，3)且在x，y軸上截距相等的直線方程是(B) A．x＋y－5＝0，x－y＋1＝0 B．x＋y－5＝0，3x－2y＝0 C．x＋y－5＝0，x－y＋1＝0，3x－2y＝0 D．x－y＋1＝0，3x－2y＝0 解析：當(dāng)截距為零時(shí)，直線方程為 3x－2y＝0；當(dāng)截距不為零時(shí)，直線方程為x＋y－5＝0. 5．已知A，B為平面內(nèi)兩定點(diǎn)，過該平面內(nèi)動點(diǎn)M作直線AB的垂線，垂足為N，2＝λ，其中λ為常數(shù)，則動點(diǎn)M的軌跡不可能是(C) A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線 解析：考查曲線方程、分類討論的思想．不妨設(shè)|AB|＝2，以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則A(－1，0)，B(1，0)，設(shè)M(x，y)，則N(x，0)，＝(0，－y)，＝(x＋1，0)，＝(1－x，0)，代入已知式子得λx2＋y2＝λ，當(dāng)λ＝1時(shí)，曲線為A：當(dāng)λ＝2時(shí)，曲線為B；當(dāng)λ＜0時(shí)，曲線為D，所以選C. 6．已知點(diǎn)O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB為直角三角形，則必有(C) A．b＝a3 B．b＝a3＋ C．(b－a3)(b－a3－)＝0 D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0 解析：根據(jù)直角三角形的直角的位置求解． 若以O(shè)為直角頂點(diǎn)，則B在x軸上，則a必為0，此時(shí)O，B重合，不符合題意； 若∠A＝，則b＝a3≠0. 若∠B＝，根據(jù)斜率關(guān)系可知a2＝－1， 所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－＝0. 以上兩種情況皆有可能，故只有C滿足條件。 二、填空題 7．設(shè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，已知點(diǎn)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|＞|PF2|，則的值為或2． 解析：若∠PF2F1＝90， 則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2. 又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2， 解得|PF1|＝，|PF2|＝， ∴＝. 若∠F1PF2＝90，則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝ |PF1|2＋(6－|PF1|)2， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴＝2. 綜上可知，＝或2. 8．正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，則它的體積為4或． 解析：分側(cè)面矩形長、寬分別為6和4或4和6兩種情況． 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝2asin2x－2asin xcos x＋a＋b(a≠0)的定義域?yàn)?，值域?yàn)閇－5，1]，求常數(shù)a，b的值． 解析：f(x)＝a(1－cos 2x)－asin 2x＋a＋b＝ －2asin＋2a＋b， ∵x∈， ∴2x＋∈，∴－≤sin≤1， 因此，由f(x)的值域?yàn)閇－5，1]， 可得 或 解得或 10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，且 l過點(diǎn)T(4，0)．求證：＝0. 解析：設(shè)過點(diǎn)T(4，0)的直線l交拋物線y2＝4x于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝4，此時(shí)直線l與拋物線交于點(diǎn)A(4，4)，B(4，－4)， ∴＝0. ②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)， 設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)． 其中k≠0，由得ky2－4y－16k＝0， 則y1y2＝－16. 又∵x1＝y(tǒng)，x2＝y(tǒng)， ∴＝x1x2＋y1y2 ＝y(tǒng)y＋y1y2＝0. 綜上所述，＝0得證． 11．如圖所示，已知一條線段AB，它的兩個(gè)端點(diǎn)分別在直二面角PlQ的兩個(gè)面內(nèi)移動，若AB和平面P，Q所成的角分別為α，β.試討論α＋β的取值范圍． 解析：①當(dāng)AB⊥l時(shí)，α＋β＝90. ②當(dāng)AB與l不垂直且不在l上時(shí)，在平面P內(nèi)作AC⊥l，C為垂足，連接BC， ∵平面P⊥平面Q， ∴AC⊥平面Q. ∴∠ABC是AB與平面Q所成的角， 即∠ABC＝β. 在平面Q內(nèi)作BD⊥l，垂足為D， 連接AD，同理∠BAD＝α. 在Rt△BDA， Rt△BCD和Rt△ABC中，BD＜BC， ＜，即sin α＜sin ∠BAC. ∵α和∠BAC均為銳角， ∴α＜∠BAC，而∠BAC＋β＝90，∴α＋β＜90. ③若AB在l上，則α＋β＝0. 綜上可知，0≤α＋β≤90. 12．(xx重慶卷)已知函數(shù)f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)為偶函數(shù)，且曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線的斜率為4－c. (1)確定a，b的值； (2)若c＝3，判斷f(x)的單調(diào)性； (3)若f(x)有極值，求c的取值范圍． 分析：(1)由f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)?f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c， 因?yàn)閒′(x)是偶函數(shù)，所以f′(－x)＝f′(x)，又曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線的斜率為4－c，所以有f′(0)＝4－c，利用以上兩條件列方程組可解a，b的值； (2)由(1)，f′(x)＝2ex＋2e－x－c，當(dāng)c＝3時(shí)，利用f′(x)的符號判斷f(x)的單調(diào)性； (3)要使函數(shù)f(x)有極值，必須f′(x)有零點(diǎn)，由于2ex＋2e－x≥4，所以可以對c的取值分類討論，得到滿足條件的C的取值范圍． 解析：(1)對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c，由f′(x)為偶函數(shù)，知f′(－x)＝f′(x)恒成立，即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0恒成立，所以a＝b， 又f′(0)＝2a＋2b－c，故a＝1，b＝1. (2)當(dāng)c＝3時(shí)，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么 f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥2－3＝1＞0， 故f(x)在R上為增函數(shù)． (3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥2＝4，當(dāng)x＝0時(shí)等號成立． 下面分三種情況進(jìn)行討論． ①當(dāng)c＜4時(shí)，對任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c＞0，此時(shí)f(x)無極值； ②當(dāng)c＝4時(shí)，對任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4＞0，此時(shí)f(x)無極值； ③當(dāng)c＞4時(shí)，令e2x＝t，注意到方程2t＋－c＝0有兩根，t1，2＝＞0， 即f′(x)＝0有兩個(gè)根x1＝ln t1或x2＝ln t2. 當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f′(x)＜0；又當(dāng)x＞x2時(shí)，f′(x)＞0，從而f(x)在x＝x2處取得極小值． 綜上，若f(x)有極值，則c的取值范圍為(4，＋∞)．