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2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第三講數(shù)列與不等式 第二節(jié)解不等式 文 不等式是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容，對不等式的性質(zhì)、一元二次不等式、簡單的線性規(guī)劃、均值不等式的考查多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，這類試題雖然難度不大，但往往有一定的靈活性.若是解答題,也是中等難度的題目；高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、三角、數(shù)列、解析幾何等知識為載體，綜合考查不等式的解法和證明. 不等式因它的基礎(chǔ)性（是研究函數(shù)、方程、極限等必不可少的工具）、滲透性（容易與其它各部分知識結(jié)合在一起）、應(yīng)用性（實(shí)際應(yīng)用廣泛），很自然地成為每年高考的熱點(diǎn).近幾年，高考關(guān)于不等式的命題趨勢是： （1）單純不等式的題目多以選擇填空題的形式出現(xiàn)，若是解答題也是中等難度的題目； （2）高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、解析幾何等知識為載體，綜合考查不等式的解法和證明，突出不等式的工具性.在高考試卷中，有關(guān)解不等式的試題一般有一到兩道． 考試要求 （1）不等關(guān)系：了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景． （2）一元二次不等式 ① 會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型． ② 通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系． ③ 會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖． （3）二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題 ① 會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組． ② 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組． ③ 會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決． 題型一： 不等式的解法 例1(xx上海理科20)已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足。 ⑴ 若，判斷函數(shù)的單調(diào)性； ⑵ 若，求時的取值范圍。 點(diǎn)撥；解不等式的基本思想方法是轉(zhuǎn)化：一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式，分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，指數(shù)與對數(shù)不等式（通過化“同底”）轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，抽象函數(shù)不等式（通過單調(diào)性）轉(zhuǎn)化為具體不等式等.本題是指數(shù)不等式，可通過化“同底”求解． 解：⑴ 當(dāng)時，任意，則 ∵ ，， ∴ ，函數(shù)在上是增函數(shù)。 當(dāng)時，同理，函數(shù)在上是減函數(shù)。 ⑵ 當(dāng)時，，則； 當(dāng)時，，則. 易錯點(diǎn)：對符號的討論. 變式與引申1：（1）不等式的解集是 . （2） （xx年天津卷第8題） 設(shè)函數(shù)則不等式的解集是（ ） A B C D 題型二：含參數(shù)不等式的解法 例2 解關(guān)于的不等式． 如果，不等式可化為， 解得或. 綜上，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為； 　當(dāng)時，不等式的解集為； 當(dāng)時，不等式的解集為； 　當(dāng)時，不等式的解集為． 易錯點(diǎn)：在規(guī)范化的過程中，對可能為零視而不見；在已經(jīng)規(guī)范化了之后，對不確定的根的大小關(guān)系不加區(qū)分.整體表現(xiàn)為不能有序地進(jìn)行分類討論. 變式引申2：（1）解關(guān)于的不等式． （2）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）且方程f(x)－x+12=0有兩個實(shí)根為x1=3, x2=4. （1）求函數(shù)f(x)的解析式； （2）設(shè)k>1，解關(guān)于x的不等式； 題型三：不等式的恒成立問題 例3已知函數(shù)． （1）若，求的值； （2）若對于恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍 點(diǎn)撥：不等式恒成立問題通常有以下處理方法：（1）分離參數(shù)法，將參數(shù)與變量進(jìn)行分離，再轉(zhuǎn)化為最值問題解決；（2）變換主元法，有些題分離參數(shù)后很難求最值，可考慮變換思維角度，即主元與參數(shù)互換位置（3）數(shù)形結(jié)合法。本題分離參數(shù)后可求最值. 解（1）. 由已知， 解得 ∵ . （2）當(dāng)即∵, ∴在上恒成立,∴.又時,, 故的取值范圍是. 易錯點(diǎn)：（1）絕對值的處理方法不明確，找不到解題的突破口（2）指數(shù)運(yùn)算不熟悉，不能正確地將參數(shù)與變量進(jìn)行分離（3）能否取等號也是常見的錯誤. 變式與引申3：（1）已知，當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍． （2）奇函數(shù)上是增函數(shù)，當(dāng)時，是否存在實(shí)數(shù)m，使對所有的均成立？若存在，求出適合條件的所有實(shí)數(shù)m；若不存在，說明理由. 題型四：線性規(guī)劃問題與基本不等式 例4 （1） 設(shè)滿足則( ). 圖 （A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，無最大值 （C）有最大值3，無最小值 （D）既無最小值，也無最大值 （2）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)， 若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值 為 ． 點(diǎn)撥：（1）首先準(zhǔn)確地作出線性約束條件下的可行域，再由y＝－x 經(jīng)過平移得到結(jié)論，這里關(guān)鍵就在于轉(zhuǎn)化與化歸．（2）找出定點(diǎn)的坐標(biāo)， 代入直線方程，得，由均值不等式得結(jié)果. 解（1）畫出不等式表示的平面區(qū)域，如右圖，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，畫出y＝－x的圖象，當(dāng)它的平行線經(jīng)過A（2,0）時，z取得最小值，最小值為：z＝2，無最大值，故選.B （2）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn),,，,∴. 易錯點(diǎn)： 可行域畫不準(zhǔn)確，將y＝－x經(jīng)過平移后得到的最優(yōu)解不正確， 變式與引申4：（1） (xx安徽文科數(shù))設(shè)變量x,y滿足,則的最大值和最小值分別為 說明：若對數(shù)據(jù)適當(dāng)?shù)念A(yù)處理，可避免對大數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算. （A） 1，1 (B) 2，2 (C ) 1，2 (D)2，1[ （2）已知，則的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D．5 本節(jié)主要考查：（1）一元一次不等式、一元二次不等式的性質(zhì)及能轉(zhuǎn)化為它們的分式不等式、絕對值不等式、指數(shù)與對數(shù)不等式的解法以及含字母系數(shù)不等式的解法；（2）基本不等式及其應(yīng)用，簡單的線性規(guī)劃等問題（3）圖解法、換元法、分析法、綜合法等方法（4）數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用以及邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等基本數(shù)學(xué)能力. 點(diǎn)評： （1）解不等式的關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化.分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式；指數(shù)與對數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式；抽象函數(shù)的不等式在確定其單調(diào)性的前提下去掉函數(shù)符號轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式． （2）在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一.通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式；通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系.對含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法，有時可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰． （3）等價轉(zhuǎn)化．具體地說，分式化為整式，高次化為低次，絕對值化為非絕對值，指數(shù)與對數(shù)化為代數(shù)式等．分類討論．分類討論的目的是處理解決問題過程中遇到的障礙，在無障礙時不要提前進(jìn)行分類討論．?dāng)?shù)形結(jié)合．有些不等式的解決可化為兩個函數(shù)圖像間的位置關(guān)系的討論等幾何問題． （4）函數(shù)方程思想．解不等式可化為解方程或求函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的問題，根據(jù)題意判斷所求解的區(qū)間．如“穿根法”實(shí)際上就是一種函數(shù)方程思想． （5）線性規(guī)劃問題的解題步驟：①根據(jù)線性約束條件畫出可行域；②利用線性目標(biāo)函數(shù)求出最優(yōu)解。最優(yōu)“整點(diǎn)”不一定在可行區(qū)域內(nèi)，這時需要將相近的點(diǎn)一一列出，再代入約束條件和目標(biāo)函數(shù)逐一檢驗，得出正確答案. （6）在利用基本不等式解決有關(guān)問題時，特別注意不等式成立的條件，即“一正，二定值，三相等”在使用基本不等式時，要掌握常見的恒等變形技巧。 （7）不等式滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用．如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題等，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系.因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的靈活性、綜合性．在解決問題時，要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解． 習(xí)題3－2 1．(xx山東文科7)設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5 3．已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋－a)的定義域為A，值域為B．（1）當(dāng)a＝4時，求集合A；（2）設(shè)I＝R為全集，集合M＝{x|y＝}，若(CIM)∪(CIB)＝，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 4．解關(guān)于x的不等式＞1(a≠1) ． 5．設(shè)不等式的解集為，如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】 變式與引申1 （1） 【解析】: ，數(shù)軸標(biāo)根得： （2）解析：由已知,∴當(dāng)時，由得,,解得或. 當(dāng)，由得,,解得. 綜上所述：不等式的解集是.選A. 變式與引申2 （1）解：本題與例2解法類似，請自行設(shè)計算法框圖，再求解.這里僅提供答案：當(dāng)時， 解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時， 解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為. （2）解（1）將得 （2）不等式即為,即 ①當(dāng) ②當(dāng) ③. 變式與引申3 （1）解：設(shè)，則問題的條件變?yōu)楫?dāng)時，恒成立.∵當(dāng),即時，恒成立. 又當(dāng)時，在上恒成立的充要條件是 x y O 答圖 ， 故a的取值范圍是. 本題實(shí)際上也是一道恒成立的問題，此類問題還可運(yùn)用分離參數(shù)法求解，請自行嘗試解答. （2）解：易知奇函數(shù)在上遞增,且,則 .令,則.由題意,在上不等式恒成立,從而或或,解得. 因此，滿足條件的實(shí)數(shù)存在，它可取內(nèi)的一切值. 變式與引申4： 【答案】B 【解析】三條直線的交點(diǎn)分別為（0,1），（0，－1），（1,0），分別代入，得最大值為2，最小值為－2.故選B. （2）因為當(dāng)且僅當(dāng)，且， 即時，取“=”號,選C. 【解析】， 又，由題意對一切則xR恒成立，則對一切則xR恒成立，即，恒成立，而，所以，此時.所以. ①，故①正確； ②， ， 所以＜，②錯誤； ③，所以③正確； ④由①知，， 由知，所以③不正確； ⑤由①知，要經(jīng)過點(diǎn)（a，b）的直線與函數(shù)的圖像不相交，則此直線與橫軸平行，又的振幅為，所以直線必與圖像有交點(diǎn).⑤不正確. 3． 解：（1）當(dāng)a＝4時，由x＋－4＝＝＞0， 解得0＜x＜1或x＞3，　　 故A＝{x|0＜x＜1或x＞3} 　?。?）由(CIM)∪(CIB)＝，得CIM＝，且CIB＝，即M＝B＝R， 若B＝R，只要u＝x＋－a可取到一切正實(shí)數(shù)，則x＞0及umin≤0， ∴umin＝2－a≤0，解得a≥2……① 　　 若M＝R，則a＝5或 解得1＜a≤5 　　 由①②得實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，5] 4．【解析】原不等式可化為 ＞0， ①當(dāng)時，原不等式與同解． 由于∴原不等式的解為． ②當(dāng)時，原不等式與.由于, 當(dāng)時，,解集為； 當(dāng)時，，解集為； 當(dāng)時，,解集為． 綜上所述 當(dāng)時解集為； 當(dāng)時，解集為； 當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為 5．【解析】解：有兩種情況其一是，此時；其二是，此時或.以下分三種情況求的取值范圍． 設(shè)，有. (1)當(dāng)時，，. (2)當(dāng)時，或.當(dāng)時??；當(dāng)時， (3)當(dāng)時，或.設(shè)方程的兩根，且，那么， 答圖3—2－3 即解得. ∴的取值范圍是．