2019-2020年高二數(shù)學數(shù)列 極限 數(shù)學歸納法 用數(shù)學歸納法證明不等式教案 人教版.doc
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2019-2020年高二數(shù)學數(shù)列 極限 數(shù)學歸納法 用數(shù)學歸納法證明不等式教案 人教版教學目標1牢固掌握數(shù)學歸納法的證明步驟,熟練表達數(shù)學歸納法證明的過程2通過事例,學生掌握運用數(shù)學歸納法證明不等式的思想方法3培養(yǎng)學生的邏輯思維能力,運算能力,和分析問題、解決問題的能力教學重點與難點重點:鞏固對數(shù)學歸納法意義和有效性的理解,并能正確表達解題過程,以及掌握利用數(shù)學歸納法證明不等式的基本思路難點:應用數(shù)學歸納法證明的不同方法的選擇及解題技巧教學過程設計(一)復習回顧師:上次課我們已經(jīng)學習了數(shù)學歸納法以及運用數(shù)學歸納法解題的步驟,請同學們聯(lián)想“多米諾骨牌”游戲,說出數(shù)學歸納法的步驟?生:數(shù)學歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關的命題的一種方法設要證命題為P(n)(1)證明當n取第一個值n0時,結論正確,即驗證P(n0)正確;(2)假設n=k(kN且kn0)時結論正確,證明當n=k+1時,結論也正確,即由P(k)正確推出P(k+1)正確,根據(jù)(1),(2),就可以判定命題P(n)對于從n0開始的所有自然數(shù)n都正確師:演示小黑板或運用投影儀講評作業(yè)(講評作業(yè)的目的是從錯誤中進一步強調恰當?shù)剡\用歸納假設是數(shù)學歸納法的關鍵)作業(yè)中用數(shù)學歸納法證明:2+4+6+8+2n=n(n+1)如采用下面的證法,對嗎?證明:(1)當n=1時,左=2,右=2,則等式成立(2)假設n=k時(kN,k1),等式成立,即2+4+6+2k=k(k+1)當n=k+1時,2+4+6+2k+(k+1)所以n=k+1時,等式也成立根據(jù)(1)(2)可知,對于任意自然數(shù)n,原等式都能成立生甲:證明過程正確生乙:證明方法不是數(shù)學歸納法,因為第二步證明時,沒有應用歸納假設師:從形式上看此種證明方法是數(shù)學歸納法,但實質在要證明n=k+1正確時,未用到歸納假設,直接采用等差數(shù)列求和公式,違背了數(shù)學歸納法的本質特點遞推性,所以不能稱之為數(shù)學歸納法因此告誡我們在運用數(shù)學歸納法證明時,不能機械套用兩個步驟,在證明n=k+1命題成立時,一定要利用歸納假設(課堂上講評作業(yè),指出學生作業(yè)中不妥之處,有利于鞏固舊知識,為新知識的學習掃清障礙,使學生引以為戒,所謂溫故而知新)(二)講授新課師:在明確數(shù)學歸納法本質的基礎上,我們來共同研究它在不等式證明中的應用(板書)例1已知x-1,且x0,nN,n2求證:(1+x)n1+nx師:首先驗證n=2時的情況(板書)證:(1)當n=2時,左邊=(1+x)2=1+2x+x2,右邊=1+2x,因x20,則原不等式成立(在這里,一定要強調之所以左邊右邊,關鍵在于x20是由已知條件x0獲得,為下面證明做鋪墊)(2)假設n=k時(k2),不等式成立,即(1+x)k1+kx師:現(xiàn)在要證的目標是(1+x)k+11+(k+1)x,請同學考慮生:因為應用數(shù)學歸納法,在證明n=k+1命題成立時,一定要運用歸納假設,所以當n=k+1時應構造出歸納假設適應的條件所以有:(1+x)k+1=(1+x)k(1+x),因為x-1(已知),所以1+x0于是(1+x)k(1+x)(1+kx)(1+x)師:現(xiàn)將命題轉化成如何證明不等式(1+kx)(1+x)1+(k+1)x顯然,上式中“=”不成立故只需證:(1+kx)(1+x)1+(k+1)x提問:證明不等式的基本方法有哪些?生甲:證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法(提問的目的是使學生明確在第二步證明中,合理運用歸納假設的同時,其本質是不等式證明,因此證明不等式的所有方法、技巧手段都適用)生乙:證明不等式(1+kx)(1+x)1+(k+1)x,可采用作差比較法(1+kx)(1+x)-1+(k+1)x=1+x+kx+kx2-1-kx-x=kx20(因x0,則x20)所以,(1+kx)(1+x)1+(k+1)x生丙:也可采用綜合法的放縮技巧(1+kx)(1+x)=1+kx+x+lx2=1+(k+1)x+kx2因為kx20,所以1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,即(1+kx)(1+x)1+(1+k)x成立生?。海▽W生可能還有其他多種證明方法,這樣培養(yǎng)了學生思維品質的廣闊性,教師應及時引導總結)師:這些方法,哪種更簡便,更適合數(shù)學歸納法的書寫格式?學生丙用放縮技巧證明顯然更簡便,利于書寫(板書)將例1的格式完整規(guī)范當n=k+1時,因為x-1,所以1+x0,于是左邊=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+lx)=1+(k+1)x+kx2;右邊=1+(k+1)x因為kx20,所以左邊右邊,即(1+x)k+11+(k+1)x這就是說,原不等式當n=k+1時也成立根據(jù)(1)和(2),原不等式對任何不小于2的自然數(shù)n都成立(通過例1的講解,明確在第二步證明過程中,雖然可以采取證明不等式的有關方法,但為了書寫更流暢,邏輯更嚴謹,通常經(jīng)歸納假設后,要進行合理放縮,以達到轉化的目的)師:下面再舉例子,來說明合理放縮的重要性(板書)例2證明:2n+2n2,nN+師:(1)當 n=1時,左邊=21+2=4;右邊=1,左邊右邊所以原不等式成立(2)假設n=k時(k1且kN)時,不等式成立,即2k+2k2現(xiàn)在,請同學們考慮n=k+1時,如何論證2k+1+2(k+1)2成立生:利用歸納假設2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-22k2-2師:將不等式2k2-2(k+1)2,右邊展開后得:k2+2k+1,由于轉化目的十分明確,所以只需將不等式的左邊向k2+2k+1方向進行轉化,即:2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3由此不難看出,只需證明k2-2k-30,不等式2k2-2k2+2k+1即成立生:因為k2-2k-3=(k-3)(k+1),而kN,故k+10,但k-30成立的條件是k3,所以當kN時,k-30未必成立師:不成立的條件是什么?生:當k=1,2時,不等式k-30不成立師:由于使不等式不成立的k值是有限的,只需利用歸納法,將其逐一驗證原命題成立,因此在證明第一步中,應補充驗證n=2時原命題成立,那么,n=3時是否也需要論證?生:n=3需要驗證,這是因為數(shù)學歸納法中的第一步驗證是第二步歸納假設的基礎,而第二步中對于k是大于或等于3才成立,故在驗證時,應驗證n=3時,命題成立師:(補充板書)當n=2時,左=22+2=6,右=22=4,所以左右;當n=3時,左=23+2=10,右=32=9,所以左右因此當n=1,2,3時,不等式成立(以下請學生板書)(2)假設當n=k(k3且kN)時,不等式成立即2k+2k2因為2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-22k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3=(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)(因k3,則k-30,k+10)k2+2k+1=(k+1)2所以2k+1+2(k+1)2故當n=k+1時,原不等式也成立根據(jù)(1)和(2),原不等式對于任何nN都成立師:通過例2可知,在證明n=k+1時命題成立過程中,針對目標k2+2k+1,采用縮小的手段,但是由于k的取值范圍(k1)太大,不便于縮小,因此,用增加奠基步驟(把驗證n=1擴大到驗證n=1,2,3)的方法,使假設中k的取值范圍適當縮小到k3,促使放縮成功,達到目標(板書)例3求證:當n2時,(由學生自行完成第一步的驗證;第二步中的假設,教師應重點講解n=k到n=k+1命題的轉化過程)師:當n=k+1時,不等式的左邊表達式是怎樣的?生:當n=k+1時,k項,應是第2k項,數(shù)列各項分母是連續(xù)的自然數(shù),最后一項是以3k在3k后面還有3k+1、3k+2最后才為3k+3即3(k+1),所以正確(在這里,學生極易出現(xiàn)錯誤,錯誤的思維定勢認為從n=k到n=k+1時,只增加一項,求和式中最后一項即為第幾項的通項,教師在這里要著重分析,化解難點)運算,應針對問題的特點,巧妙合理地利用“放縮技巧”,使問題獲得簡捷的證明:(板書略)師:設S(n)表示原式左邊,f(n)表示原式右邊,則由上面的證法可知,從n=k到n=k+1命題的轉化途徑是:要注意:這里 S(k)不一定是一項,應根據(jù)題目情況確定(三)課堂小結1用數(shù)學歸納法證明,要完成兩個步驟,這兩個步驟是缺一不可的但從證題的難易來分析,證明第二步是難點和關鍵,要充分利用歸納假設,做好命題從n=k到n=k+1的轉化,這個轉化要求在變化過程中結構不變2用數(shù)學歸納法證明不等式是較困難的課題,除運用證明不等式的幾種基本方法外,經(jīng)常使用的方法就是放縮法,針對目標,合理放縮,從而達到目標3數(shù)學歸納法也不是萬能的,也有不能解決的問題錯誤解法:(2)假設n=k時,不等式成立,即當n=k+1時,則n=k+1時,不等式也成立根據(jù)(1)(2),原不等式對nN+都成立(四)課后作業(yè)1課本P121:5,P122:62證明不等式:(提示:(1)當n=1時,不等式成立(2)假設n=k時,不等式成立,即那么,這就是說,n=k+1時,不等式也成立根據(jù)(1)(2)可知不等式對nN+都成立)3對于任意大于1的自然數(shù)n,求證:(提示:(2)假設n=k時,不等式成立,即這就是說,n=k+1時,原不等式成立根據(jù)(1),(2)可知,對任意大于1的自然數(shù)n,原不等式都成立)用數(shù)學歸納法證明式:(1)當n=3時,式成立(2)假設 n=k(k3,kN)時,式成立,即2k2k+1那么2k+1=2k22(2k+1)=2(k+1)+1+(2k-1)2(k+1)+1(因k3,則2k-150)這就是說,當n=k+1時,式也成立根據(jù)(1)(2)可知,對一切nN,n3式都成立,即f課堂教學設計說明1數(shù)歸法是以皮亞諾的歸納公理作為依據(jù),把歸納法與演繹法結合起來的一種完全歸納法數(shù)學歸納法證明中的兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想在教學中應使學生明確這兩個步驟的關系:第一步是遞推的基礎;第二步是遞推的依據(jù),缺一不可,否則就會導致錯誤為了取得良好的教學效果,不妨利用“多米諾骨牌”游戲來加深這兩步驟之間的關系的理解,在演示時,應分三種情況:(1)推倒第一張,接著依次倒下直至最后一張;(2)推倒第一張,中途某處停止,最后一張不倒;(3)第一張不倒,后面不管能否推倒,都不會全部倒下通過具體生動的模型,幫助學生理解數(shù)學歸納法的實質2用數(shù)學歸納法證明不等式,宜先比較n=k與n=k+1這兩個不等式間的差異,以決定n=k時不等式做何種變形,一般地只能變出n=k+1等式的一邊,然后再利用比較、分析、綜合、放縮及不等式的傳遞性來完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的證明3要注意:在證明的第二步中,必須利用“n=k時命題成立”這一歸納假設,并且由f(k)到 f(k+1),并不總是僅增加一項,如例2,4要教會學生思維,離開研究解答問題的思維過程幾乎是不可能的,因此在日常教學中,尤其是解題教學中,必須把教學集中在問題解答者解答問題的整個過程上,培養(yǎng)學生構作問題解答過程的框圖,因為用文字、符號或圖表簡明地表達解答過程或結果的能力,敘述表達自己解題思路的能力,這也是問題解答所必需的- 配套講稿:
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