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2019-2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 數(shù)列問(wèn)題的題型與方法教案 蘇教版 一．復(fù)習(xí)目標(biāo)： 1． 能靈活地運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式解題； 2．能熟練地求一些特殊數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)的和； 3．使學(xué)生系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題； 4．通過(guò)解決探索性問(wèn)題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力． 5．在解綜合題的實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，溝通各類知識(shí)的聯(lián)系，形成更完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力． 6．培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問(wèn)方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問(wèn)題的自覺(jué)性、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神和科學(xué)理性的思維方法． 二．考試要求： 1．理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)。 2．理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解答簡(jiǎn)單的問(wèn)題。 3．理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。 4．?dāng)?shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位。高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏。解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問(wèn)題的能力，試題大多有較好的區(qū)分度。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來(lái)，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。應(yīng)用問(wèn)題考查的重點(diǎn)是現(xiàn)實(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)化，常需構(gòu)造數(shù)列模型，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決。 三．教學(xué)過(guò)程： （Ⅰ）基礎(chǔ)知識(shí)詳析 1．可以列表復(fù)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì). 2．判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法： (1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。 (2)通項(xiàng)公式法： ①若=+（n-1）d=+（n-k）d，則為等差數(shù)列； ②若，則為等比數(shù)列。 (3)中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證都成立。 3.在等差數(shù)列中,有關(guān)Sn的最值問(wèn)題——常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解： (1)當(dāng),d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值. (2)當(dāng),d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。 在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。 4.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。 5．注意事項(xiàng)： ⑴證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過(guò)證明或而得。 ⑵在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便。 ⑶對(duì)于一般數(shù)列的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。 ⑷注意一些特殊數(shù)列的求和方法。 ⑸注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如： =，=． ⑹數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬(wàn)變不離其宗，就是離不開(kāi)數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會(huì)迅速打通解題思路． ⑺解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來(lái)龍去脈，透過(guò)給定信息的表象，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，揭示問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略． ⑻通過(guò)解題后的反思，找準(zhǔn)自己的問(wèn)題，總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)，吸取失敗的教訓(xùn)，增強(qiáng)解綜合題的信心和勇氣，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力． （Ⅱ）范例分析 例1．已知數(shù)列{a}是公差d≠0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S． (2)過(guò)點(diǎn)Q(1，a)，Q(2，a)作直線12，設(shè)l與l的夾角為θ， 證明：(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列{a}的公差d≠0，所以 Kpp是常數(shù)(k=2，3，…，n)． (2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d． 例2．已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且， ⑴設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列； ⑵設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列； ⑶求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。 分析：由于和{c}中的項(xiàng)都和{a}中的項(xiàng)有關(guān)，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入點(diǎn)探索解題的途徑． 解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練) a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b ① 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 ② 由①和②得，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=32． 當(dāng)n≥2時(shí)，S=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時(shí)，S=a=1也適合上式． 綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2． 說(shuō)明：1．本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。 2．解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問(wèn)的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過(guò)程中適時(shí)應(yīng)用． 例3．已知數(shù)列{a}是首項(xiàng)a1＞0，q＞-1且q≠0的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)b=a-ka(n∈N)，數(shù)列{a}、的前n項(xiàng)和分別為S，T．如果T＞kS對(duì)一切自然數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 分析：由探尋T和S的關(guān)系入手謀求解題思路。 解：因?yàn)閧a}是首項(xiàng)a＞0，公比q＞-1且q≠0的等比數(shù)列，故 a=aq，a=aq． 所以 b=a-ka=a(q-kq)． T=b+b+…+b=(a+a+…+a)(q-kq)=S(q-kq)． 依題意，由T＞kS，得S(q-kq)＞kS， ①對(duì)一切自然數(shù)n都成立． 當(dāng)q＞0時(shí)，由a1＞0，知a＞0，所以S＞0； 當(dāng)-1＜q＜0時(shí)，因?yàn)閍1＞0，1-q＞0，1-q＞0，所以S= 綜合上面兩種情況，當(dāng)q＞-1且q≠0時(shí)，S＞0總成立． 由①式可得q-kq＞k ②， 例4．從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加。(Ⅰ)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元.寫(xiě)出an，bn的表達(dá)式(Ⅱ)至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入? 解析：第1年投入800萬(wàn)元，第2年投入800（1-）萬(wàn)元……， 第n年投入800（1－）n－1萬(wàn)元 所以總投入an＝800＋800（1－）＋……＋800（1－）n－1＝4000［1－（）n］ 同理：第1年收入400萬(wàn)元，第2年收入400（1＋）萬(wàn)元，……， 第n年收入400（1＋）n－1萬(wàn)元 bn＝400＋400（1＋）＋……＋400（1＋）n－1＝1600［（）n－1］ (2)∴bn－an＞0，1600［（）n－1］－4000［1－（）n］＞0 化簡(jiǎn)得，5（）n＋2（）n－7＞0 設(shè)x＝（）n，5x2－7x＋2＞0∴x＜，x＞1（舍)即（）n＜，n≥5. 說(shuō)明：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，數(shù)列求和，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。解數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)用題重點(diǎn)在過(guò)好三關(guān)：（1）事理關(guān)：閱讀理解，知道命題所表達(dá)的內(nèi)容；（2）文理關(guān)：將“問(wèn)題情景”中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)關(guān)系式表述事件；（3）數(shù)理關(guān)：由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，并解答這一數(shù)學(xué)模型，得出符合實(shí)際意義的解答。 例5．設(shè)實(shí)數(shù)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，記， 求證：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意自然數(shù)都有= 解：。 記① ② ①+②得③ 說(shuō)明：本例主要復(fù)習(xí)利用錯(cuò)位相減解決差比數(shù)列的求和問(wèn)題。關(guān)鍵是先研究通項(xiàng)，確定是等差數(shù)列，等比數(shù)列。 解法一：設(shè)等差數(shù)列{a}的首項(xiàng)a=a，公差為d，則其通項(xiàng)為 根據(jù)等比數(shù)列的定義知S≠0，由此可得 一步加工，有下面的解法) 解法二： 依題意，得 例7．設(shè)二次方程x-+1x+1=0(n∈N)有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3． (1)試用表示a； 例8．在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。 ⑴求點(diǎn)的坐標(biāo)； ⑵設(shè)拋物線列中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。 ⑶設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，，求的通項(xiàng)公式。 解：（1） （2）的對(duì)稱軸垂直于軸，且頂點(diǎn)為.設(shè)的方程為： 把代入上式，得，的方程為：。 ， = （3）， T中最大數(shù). 設(shè)公差為，則，由此得 說(shuō)明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（2）兩問(wèn)運(yùn)用幾何知識(shí)算出，解決（3）的關(guān)鍵在于算出及求數(shù)列的公差。 例9．?dāng)?shù)列中，且滿足 ⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式； ⑵設(shè)，求； ⑶設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解：（1）由題意，，為等差數(shù)列，設(shè)公差為， 由題意得，. （2）若， 時(shí)， 故 （3） 若對(duì)任意成立，即對(duì)任意成立， 的最小值是，的最大整數(shù)值是7。 即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有 說(shuō)明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題。 例10．如圖，在y軸的正半軸上依次有點(diǎn)其中點(diǎn)，且，在射線上依次有點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），且 ⑴用含的式子表示； ⑵用含的式子表示的坐標(biāo)； ⑶求四邊形面積的最大值。 解：（1）， （2）由（1）得 的坐標(biāo)， 是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列 （3）連接，設(shè)四邊形的面積為，則 單調(diào)遞減. 的最大值為. 說(shuō)明：本例為數(shù)列與幾何的綜合題。由題意知為等比，為等差，（3）利用函數(shù)單調(diào)性求最值。 例11．設(shè)正數(shù)數(shù)列{a}為一等比數(shù)列，且a=4，a=16． 說(shuō)明：試題涉及對(duì)數(shù)、數(shù)列、極限的綜合題，主要考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，對(duì)數(shù)計(jì)算，求數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力． 例12．已知拋物線，過(guò)原點(diǎn)作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn)，又過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，再過(guò)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，，如此繼續(xù)，一般地，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)． （Ⅰ）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列． （Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小． 解：（1）因?yàn)?、在拋物線上，故①②，又因?yàn)橹本€的斜率為，即，①②代入可得 ，故是以為公比的等比數(shù)列； （2），故只要比較與的大小． 方法（一）， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)； 當(dāng)時(shí)，． 方法（二）用數(shù)學(xué)歸納法證明，其中假設(shè)時(shí)有, 則當(dāng)時(shí),. a)，… 是公差為-1的等差數(shù)列，又2a-a，2a-a，…，2a-a，… (1)求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式； (2)計(jì)算(a+a+…+a)． 分析：由于題設(shè)中的等差數(shù)列和等比數(shù)列均由數(shù)列{an}的相關(guān)項(xiàng)構(gòu)成，分別求出它們的通項(xiàng)公式構(gòu)造關(guān)于a的方程組． 解：(1)設(shè)b=log(3a-a)，因?yàn)閧bn}是等差數(shù)列，d=-1．b1=log 3a-a＝2 ① 設(shè)c=2a-a，{c}是等比數(shù)列，公比為q，|q|＜1， c=2a-a= 例14．等比數(shù)列{a}中，已知a1≠0，公比q＞0，前n項(xiàng)和為S，自然數(shù)b，c，d，e滿足b＜c≤d＜e，且b+e=c+d．求證：SS＜SS． 分析：凡是有關(guān)等比數(shù)列前n項(xiàng)Sn的問(wèn)題，首先考慮q=1的情況，證明條件不等式時(shí)，正確適時(shí)地應(yīng)用所給的條件是成敗的關(guān)鍵． (證明不等式首選方法是差比較法，即作差—變形—判定符號(hào)，變形要有利于判定符號(hào)．) be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d)． 因?yàn)閏＜e，d＜e，所以c-e＜0，e-d＞0，于是(c-e)(e-d)＜0．又 同理 (要比較SS與SS的大小，只要比較(1-qb)(1-qe)與(1-qc)(1-qd)的大小，仍然運(yùn)用差比較法．) (1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)． (能否將qc-qb用qe-qd表示是上式化成積的關(guān)鍵，利用給定的c+d=b+e，尋求變形的途徑，c=b+e-d，d、e出現(xiàn)了，于是qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd)．恒等變形只有目標(biāo)明確，變形才能有方向．) 上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd)．因?yàn)閝＞0．所以q-d＞0． (運(yùn)用函數(shù)的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判別乘積的符號(hào))事實(shí)上，由b＜d＜e，q＞0， ①當(dāng)0＜q＜1時(shí)，y=qx是減函數(shù)，qe＜qd，qb＞qd，即qe-qd＜0，qb-qd＞0； ②當(dāng)q＞1時(shí)，y=qx是增函數(shù)，qe＞qd，qb＜qd，即qe-qd＞0，qb-qd＜0． 所以無(wú)論0＜q＜1還是q＞1，都有qe-qd與qb-qd異號(hào)，即(qe-qd)(qb-qd)＜0． 綜上所述，無(wú)論q=1還是q≠1，都有SS＜SS． 說(shuō)明：復(fù)習(xí)課的任務(wù)在于對(duì)知識(shí)的深化，對(duì)能力的提高、關(guān)鍵在落實(shí)．根據(jù)上面所研究的問(wèn)題，進(jìn)一步提高運(yùn)用函數(shù)的思想、方程的思想解決數(shù)列問(wèn)題的能力． 例15．（北京高考）如圖，在邊長(zhǎng)為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去.記圓On的面積為. （Ⅰ）證明是等比數(shù)列； （Ⅱ）求的值. （Ⅰ）證明：記rn為圓On的半徑， 則 所以 故成等比數(shù)列. （Ⅱ）解：因?yàn)樗? 說(shuō)明：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、三角函數(shù)等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力. 例16．（xx年北京春季高考20）下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”： 4 7 （） （） （） …… …… 7 12 （） （） （） …… …… （） （） （） （） （） …… …… （） （） （） （） （） …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第i行第j列的數(shù)。 （I）寫(xiě)出的值；（II）寫(xiě)出的計(jì)算公式； （III）證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。 分析：本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。 解：（I） （II）該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列： 第二行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列： …… 第i行是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此 （III）必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i，j使得 從而 即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。 充分性：若2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個(gè)不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k，l，使得 ，從而 可見(jiàn)N在該等差數(shù)陣中。 綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積。 （Ⅲ）、強(qiáng)化訓(xùn)練 1．設(shè)S和T分別為兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意n∈N， （ ） A．4∶3B．3∶2C．7∶4D．78∶71 2．一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列中，前3項(xiàng)的和等于前11項(xiàng)的和，當(dāng)這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和最大時(shí)，n等于． （ ） A．5 B．6C．7 D．8 3．若數(shù)列中，，且，則數(shù)列的通項(xiàng)． 4．設(shè)在等比數(shù)列中，求及 5．根據(jù)下面各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，求其通項(xiàng)公式 ⑴ ⑵ ⑶ 6．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為不等于0，1的常數(shù))，求其通項(xiàng)公式 7．某縣位于沙漠地帶，人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到xx年底全縣的綠化率已達(dá)30%。從xx年開(kāi)始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時(shí)，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化。 （1）設(shè)全縣面積為1，xx年底綠化面積為經(jīng)過(guò)年綠化總面積為 求證 （2）至少需要多少年（年取整數(shù)，）的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%？ 8．（xx年春招試題）已知點(diǎn)的序列（，0），，其中=0，，A3是線錢A1A2的中點(diǎn)，A4是線段A2A3的中點(diǎn)，…，An是線段的中點(diǎn)，…。 （I）寫(xiě)出與、之間的關(guān)系式（≥3） （II）設(shè)，計(jì)算，，，由此推測(cè)數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，并加以證明。 9．(94年全國(guó)理)設(shè)｛an｝是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)所有自然數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng). (1)寫(xiě)出數(shù)列｛an｝的前三項(xiàng)；(2)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式(寫(xiě)出推證過(guò)程)； (3)令bn=(n∈N)，求：b1+b2+…+bn-n. （Ⅳ）、參考答案 1．解：設(shè)這兩個(gè)等差數(shù)列分別為{an}和{bn}． 故選擇A． 說(shuō)明：注意巧妙運(yùn)用等差中項(xiàng)的性質(zhì)來(lái)反映等差數(shù)列的通項(xiàng)an與前2n-1項(xiàng)和S2n-1的內(nèi)在聯(lián)系． 2．解：依題意知．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減，公差d＜0．因?yàn)? S3=S11=S3+a4+a5+…+a10+a11 所以 a4+a5+…+a7+a8+…+a10+a11=0 即 a4+a11=…=a7+a8=0， 故當(dāng)n=7時(shí)，a7＞0，a8＜0．選擇C． 解選擇題注意發(fā)揮合理推理和估值的作用． 3．解：多次運(yùn)用迭代，可得 4．解：，又，由以上二式得 或；由此得或. 說(shuō)明：本例主要復(fù)習(xí)數(shù)列的基本運(yùn)算和方程思想的應(yīng)用。 5．解：（1），， （2）= 又解：由題意，對(duì)一切自然數(shù)成立， （3）是首項(xiàng)為 公比為的等比數(shù)列， 說(shuō)明：本例復(fù)習(xí)求通項(xiàng)公式的幾種方法：迭加法、迭乘法、構(gòu)造法。 6．解：由可得當(dāng)時(shí)，，，，，是公比為的等比數(shù)列. 又當(dāng)時(shí)，，，。 說(shuō)明：本例復(fù)習(xí)由有關(guān)與遞推式求，關(guān)鍵是利用與的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 7．（1）證明：由已知可得確定后，表示如下：= 即=80%+16%=+ （2）解：由=+可得：=（）=（）2（）=…= 故有=，若則有即 兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得 故，故使得上式成立的最小為5， 故最少需要經(jīng)過(guò)5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%. 8．（I）解：當(dāng)n≥3時(shí)， （II）解： . 由此推測(cè)。 證法一：因?yàn)?，? （n≥2）所以。 證法二：（用數(shù)學(xué)歸納法證明：） （i）當(dāng)時(shí)，，公式成立， （ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，公式成立，即成立。 那么當(dāng)時(shí)， =式仍成立。 根據(jù)（i）與（ii）可知，對(duì)任意，公式成立 評(píng)注：本小題主要考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、等比數(shù)列等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力。 9．解：(1)由題意=an＞0 令n=1時(shí)，=S1=a1解得a1=2 令n=2時(shí)有==a1+a2解得a2=6 令n=3時(shí)有=S3=a1+a2+a3解得a3=10 故該數(shù)列的前三項(xiàng)為2、6、10. (2)解法一：由(1)猜想數(shù)列｛an｝有通項(xiàng)公式an=4n-2，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是an=4n-2(n∈N) 1當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)?1-2＝2，又在(1)中已求得a1=2，所以上述結(jié)論正確. 2假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論正確，即有ak=4k-2 由題意有得ak=4k-2,代入上式得2k=,解得Sk=2k2 由題意有=Sk+1=Sk+ak+1得Sk=2k2代入得=2(ak+1+2k2) 整理a2k+1-4ak+1+4-16k2=0由于ak+1＞0，解得：ak+1=2+4k 所以ak+1=2+4k=4(k+1)-2 這就是說(shuō)n=k+1時(shí)，上述結(jié)論成立. 根據(jù)1，2上述結(jié)論對(duì)所有自然數(shù)n成立. 解法二：由題意有，=(n∈N)整理得Sn=(an+2)2 由此得Sn+1=(an+1+2)2所以an+1=Sn+1-Sn=［（an+1+2)2-(an+2)2］ 整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0由題意知an+1+an≠0,所以an+1-an=4 即數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，其中a1=2,公差d=4， 所以an=a1＋(n-1)d=2+4(n-1)即通項(xiàng)公式an=4n-2. (3)令cn=bn-1, 則cn=== b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn = 說(shuō)明：該題的解題思路是從所給條件出發(fā)，通過(guò)觀察、試驗(yàn)、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)律，然后再對(duì)歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.對(duì)于含自然數(shù)n的命題，可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，該題著重考查了歸納、概括和數(shù)學(xué)變換的能力.