2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第四講概率與統(tǒng)計(jì) 第一節(jié)概率 文.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第四講概率與統(tǒng)計(jì) 第一節(jié)概率 文 在近六年新課程試卷高考中, 概率與統(tǒng)計(jì)試題的題量大致為一道解答題和一道客觀題，約占全卷總分的12％左右，試題的難度為中等或中等偏易，難度值在0.5～0.8. 考試要求：（1）事件與概率① 了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別.② 了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型 ①理解古典概型及其概率計(jì)算公式.②會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.（3）隨機(jī)數(shù)與幾何概型①了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.②了解幾何概型的意義. 題型一 古典概率 例1 已知集合 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M (,) 的坐標(biāo). （1）求點(diǎn)M不在軸上的概率；（2）求點(diǎn)M正好落在區(qū)域上的概率. 點(diǎn)撥: 本題主要考查概率的概念和古典概率的求法以及不等式組表示平面區(qū)域的考查. 解. 集合A＝{-2,0,1,3}, 點(diǎn) M (,) 的坐標(biāo)， 點(diǎn)M的坐標(biāo)共有：個(gè)，分別是：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（0,-2）， （0,0），（0,1），（0,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3） （1）點(diǎn)M不在軸上的坐標(biāo)共有12種：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（1,-2），（1,0）， （1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3） 所以點(diǎn)M不在軸上的概率是. （2）點(diǎn)M正好落在區(qū)域上的坐標(biāo)共有3種：（1,1），（1,3），（3,1）. 故M正好落在該區(qū)域上的概率為 易錯(cuò)點(diǎn): 事件總數(shù)及所求事件個(gè)數(shù)的計(jì)算不準(zhǔn)確. 變式與引申1：曲線C的方程為=1，其中m、n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點(diǎn)數(shù)，事件A=｛方程=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢 圓｝，那么= ． 例2 一個(gè)袋中有4個(gè)大小相同的小球，其中紅球1個(gè)，白球2個(gè)，黑球1個(gè)，現(xiàn)從袋中有放回地取球，每次隨機(jī)取一個(gè)，求： （1）連續(xù)取兩次都是白球的概率； （2）若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，取一個(gè)黑球記0 分，連續(xù)取三次分?jǐn)?shù)之和為4分的概率． 點(diǎn)撥: 本題主要考查古典概率,注意用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù). 解：（1）設(shè)連續(xù)取兩次的事件總數(shù)為：(紅,紅)，(紅,白1)，(紅,白2)，(紅,黑)，（白1,紅），（白1,白1），（白1,白2），（白1,黑）；（白2,紅），（白2,白1），（白2,白2），（白2,黑），(黑,紅)， (黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以． 設(shè)事件A：連續(xù)取兩次都是白球，（白1，白1），（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2）共4個(gè)， 所以，. （2）連續(xù)取三次的基本事件總數(shù)為N：（紅，紅，紅），（紅，紅，白1），（紅，紅，白2），（紅，紅，黑），有4個(gè)；（紅，白1，紅），（紅，白1，白1），等等也是4個(gè)，如此，個(gè)； 設(shè)事件B：連續(xù)取三次分?jǐn)?shù)之和為4分；因?yàn)槿∫粋€(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，取一個(gè)黑球記0 分，則連續(xù)取三次分?jǐn)?shù)之和為4分的有如下基本事件： （紅，白1，白1），（紅，白1，白2），（紅，白2，白1），（紅，白2，白2），（白1，紅，白1）， （白1，紅，白2），（白2，紅，白1），（白2，紅，白2），（白1，白1，紅），（白1，白2，紅）， （白2，白1，紅），（白2，白2，紅），（紅，紅，黑），（紅，黑，紅），（黑，紅，紅）， 共15個(gè)基本事件, 所以，． 易錯(cuò)點(diǎn): 事件總數(shù)及所求事件個(gè)數(shù)的計(jì)算不準(zhǔn)確. 變式與引申2： 111先后隨機(jī)投擲 2枚正方體骰子，其中 表示第枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，表示第枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)． ⑴求點(diǎn)在直線上的概率； ⑵求點(diǎn)滿足的概率． 例3 某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，從裝有編號(hào)為0,1，2，3四個(gè)小球的抽獎(jiǎng)箱中同時(shí)抽出兩個(gè)小球，兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于5中一等獎(jiǎng)，等于4中二等獎(jiǎng)，等于3中三等獎(jiǎng).則 （1）中三等獎(jiǎng)的概率＝ ； （2）中獎(jiǎng)的概率＝ . 點(diǎn)撥: 本題主要考查古典概率和互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率. 解：兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于3中三等獎(jiǎng)，兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和不小于3中獎(jiǎng)， 設(shè)“中三等獎(jiǎng)”的事件為A，“中獎(jiǎng)”的事件為B,從四個(gè)小球任選兩個(gè)共有 (0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)六種不同的方法. （1）兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于3的取法有2種：、， 故中三等獎(jiǎng)的概率. （2）方法一: 兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于3的取法有2種：、； 兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于4的取法有1種：； 兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于2的取法有1種：； 故中獎(jiǎng)的概率. 方法二: 兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于1的取法有1種：； 兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于2的取法有1種：； 故中獎(jiǎng)的概率. 易錯(cuò)點(diǎn): 對(duì)中獎(jiǎng)的情況考慮不清. 變式與引申3： 甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． （I）若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，寫(xiě)出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率； （II）若從報(bào)名的6名教師中任選2名，寫(xiě)出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率． 題型二 幾何概率 例4 在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，的值介于0到之間的概率為( ). A. B. C. D. 點(diǎn)撥 : 本題考查了三角函數(shù)的值域和幾何概型長(zhǎng)度型問(wèn)題, 由自變量的取值范圍,得到函數(shù)值的范圍,再由長(zhǎng)度型幾何概型求得. 解: 在區(qū)間 上隨機(jī)取一個(gè)數(shù), 即時(shí), 要使的值介于0到之間, 需使或， 區(qū)間長(zhǎng)度為，由幾何概型知的值介于0到之間的概率為 故選A. 易錯(cuò)點(diǎn): 的值介于0到之間時(shí), 值的計(jì)算. 變式與引申5： 設(shè)有關(guān)于的一元二次方程． （1）若是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則上述方程有實(shí)根的概率 ． （2）若是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù)，是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù)，則上述方程有實(shí)根的概率 ． 變式與引申6. 已知，， 若向區(qū)域上隨機(jī)投1個(gè)點(diǎn)，求這個(gè)點(diǎn)落入?yún)^(qū)域的概率= ． 本節(jié)主要考查: (1)古典概型及其概率計(jì)算公式; (2) 幾何概型的意義及其計(jì)算公式; (3)互斥事件的概率加法公式計(jì)算一些事件的概率. 點(diǎn)評(píng)：（1）古典概型應(yīng)注意用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；（2）幾何概型應(yīng)注意題目中求的是相應(yīng)的長(zhǎng)度比，還是面積比，體積比； 習(xí)題4-1 1. 在一個(gè)袋子中裝有標(biāo)注數(shù)字1、2、3、4、5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注數(shù)字外完全相 同， 現(xiàn)從中隨機(jī)取2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是（ ） A． B． C． D． 2. 有五根細(xì)木棒，長(zhǎng)度分別為1，3，5，7，9（cm），從中任取三根，能搭成三角形的概率是（ ） A． B． C． D． 3．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（ ） A . B. C. D. 4.甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是( ) A . B. C. D. 5. 在集合中任取一個(gè)元素，所取元素恰好滿足方程的概率 是 6. 有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則 這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為 _ __ 7. 向面積為S的△ABC內(nèi)任投一點(diǎn)P，則△PBC的面積小于的概率為_(kāi)_______． 8. 將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，求： （1）兩數(shù)之和為5的概率； （2）兩數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)的概率； （3）以第一次向上點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)y的點(diǎn)(x,y)在圓x2+y2=15的內(nèi)部的概率． 9. 已知直線：，直線：，其中，． （1）求直線的概率；改為：求直線與沒(méi)有交點(diǎn)的概率； （2）求直線與的交點(diǎn)位于第一象限的概率． 【答案】 變式與引申1 解：試驗(yàn)中所含基本事件個(gè)數(shù)為36；若想表示橢圓則前后兩次的骰子點(diǎn)數(shù)不能相同，則去掉6種可能，既然橢圓焦點(diǎn)在x軸上，則，又只剩下一半情況，即15種，因此． 變式與引申3： 解：（I）甲校兩男教師分別用A、B表示，女教師用C表示； 乙校男教師用D表示，兩女教師分別用E、F表示 從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為： （A，D）（A，E），（A，F(xiàn)），（B，D），（B，E），（B，F(xiàn)），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)）共9種。 從中選出兩名教師性別相同的結(jié)果有：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F(xiàn)）共4種， 選出的兩名教師性別相同的概率為 （II）從甲校和乙校報(bào)名的教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為： （A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F(xiàn)），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F(xiàn)）， （C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)）共15種， 從中選出兩名教師來(lái)自同一學(xué)校的結(jié)果有： （A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)）共6種， 選出的兩名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率為 變式與引申4： 解:幾何概型長(zhǎng)度型問(wèn)題 答案： 變式與引申5： 1. 解：設(shè)事件為“方程有實(shí)根”． 當(dāng)，時(shí)，方程有實(shí)根的充要條件為． （1）基本事件共12個(gè)： ． 其中第一個(gè)數(shù)表示的取值，第二個(gè)數(shù)表示的取值． 事件中包含9個(gè)基本事件，所以事件發(fā)生的概率為． （2）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋? 構(gòu)成事件的區(qū)域?yàn)椋? 所以所求的概率為 變式與引申6： 解: 幾何概型面積型問(wèn)題 答案： 習(xí)題4-1 1. 選D. 隨機(jī)取2個(gè)小球，基本事件有（1,2）、（1,3）、（1,4）、（1,5）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（3,4）、（3,5）、（4,5）；取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的事件有（1,2）、（1,5）、（2,4) ∴取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率為. 2. 選D.注意到構(gòu)成三角形的充要條件是兩棒之和大于最長(zhǎng)棒的長(zhǎng)度，只有（3，5，7），（3，7，9），（5，7，9）三種情況，故概率為． 3. 選C.解： 由向量夾角的定義，圖形直觀可得，當(dāng)點(diǎn)位于直線上及其下方時(shí)， 滿足，點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為個(gè)，而位于直線上及其下方 的點(diǎn)有個(gè)，故所求概率， 4. 答案 C.解:正方形四個(gè)頂點(diǎn)可以確定6條直線，甲乙各自任選一條共有36個(gè)基本事件。兩條直線相互垂直的情況有5種（4組鄰邊和對(duì)角線）包括10個(gè)基本事件，所以概率等于. 5. 答案 考查古典概型知識(shí) 6. 考查古典概型知識(shí), 7. 答案 解析：∵S△PBC下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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