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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 二次函數(shù)問題 專題教案 蘇教版 一、知識回顧 二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡單又具有豐富的內(nèi)涵和外延． 作為最基本的初等函數(shù)，可以以它為素材來研究函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機聯(lián)系；這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題．　 同時，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是學(xué)生進入高校繼續(xù)深造的重要知識基礎(chǔ)．因此，從這個意義上說，有關(guān)二次函數(shù)的問題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足為奇了． 學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖像特征． 從解析式出發(fā)，可以進行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法． 如：二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式： 頂點式： 零點式：存在零點， 則有 二、例題精講 例1.若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的最小值為 ． 解：∵二次函數(shù)是偶函數(shù)，∴其圖像關(guān)于軸對稱．∴．∴函數(shù)的最小值為． 練習(xí)1. 若二次函數(shù)的圖像的對稱軸是軸，則實數(shù)的值是 ． 解：由已知解得． 例2. 已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點處的切線方程是 . 解：由 得， 即，∴ ∴，∴切線方程為，即 練習(xí)2.設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處切線的斜率為 ． 解：由已知，而，∴ 例3.若函數(shù)的定義域為一切實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 ． 解：由已知對一切實數(shù)恒成立． （1）當(dāng)時，滿足題意；（2）當(dāng)時，只須解得． 由（1）、（2）得． 練習(xí)3.若函數(shù)的定義域為一切實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 ． 解：由已知對一切實數(shù)恒成立． （1）當(dāng)時，滿足題意；（2）當(dāng)時，只須．解得． 由（1）、（2）得． 例4. 已知二次函數(shù)和函數(shù)， （1）若為偶函數(shù)，試判斷的奇偶性； （2）若方程有兩個不等的實根，求證：函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù). 解：（1）∵為偶函數(shù), ∴,，即,∴. ∴. ∵的定義域為, 且 , ∴函數(shù)為奇函數(shù). （2）由,得 ， 由△，且, 得,即 ∴ 函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù). 練習(xí)4.已知二次函數(shù)的圖像過點，且得解集為． （1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍； （2）求函數(shù)在上的最值． 解：由已知設(shè)二次函數(shù)，其中．將點帶入，解得． ∴． （1），要使在區(qū)間上單調(diào)遞增， 只須，解得； （2）由，得． ∵，∴．∴． ∴函數(shù)在上的最大值為0，最小值為． 例5. 設(shè)為實數(shù),記函數(shù)的最大值為,求. 解: (1) 若,則, ∴. (2) 若,則, ①當(dāng)時，由知在上單調(diào)遞增， ∴； ②當(dāng)時， 若，即，則， 若，即，則， 若，即，則. 綜上所述：=. 思考： 設(shè)為實數(shù)，記函數(shù)的最大值為， 求. 分析: 令，則， ∴ . ∵函數(shù)的定義域為, ∴. ∴，. 由題意知即為函數(shù)，的最大值，化歸為例2求解. 或由函數(shù)的定義域為，可令，，則 ，又令，則， ∴， 練習(xí)5. 設(shè)為實數(shù)，函數(shù)． （1）若，求實數(shù)的取值范圍； （2）求的最小值． 解：（1）若，則 （2）當(dāng)時， 當(dāng)時， 綜上 例6.已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行,且在=－1處取得最小值m－1(m).設(shè)函數(shù) (1)若曲線上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為,求m的值； (2) 如何取值時,函數(shù)存在零點,并求出零點. 解：（1）設(shè)，則； 又的圖像與直線平行，．即． 又在取最小值，∴ ，即． ，；∴ ． 設(shè)， 則． ∴ ，解得或； （2）由， 得 當(dāng)時，方程有一解，函數(shù)有一零點； 當(dāng)時，方程有二解， ①若，， 函數(shù)有兩個零點； ②若，， 函數(shù)有兩個零點； 當(dāng)時，方程有一解, , 函數(shù)有一零點 練習(xí)6.已知關(guān)于的二次方程． （1）若方程有兩根，其中一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍； （2）若方程兩根均在區(qū)間內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍． 解:設(shè)二次方程所對應(yīng)的函數(shù)為． （1）要使方程的兩根一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)， 由根的分布知識得解得； （2）要使方程兩根均在區(qū)間內(nèi)，由根的分布知識得 解得即． 備用．己知， （1） （2），證明：對任意，的充要條件是； 證明：（1）依題意，對任意，都有 （2）充分性： 必要性：對任意 ．