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2019-2020年高考數(shù)學專題復習導練測 第九章 第7講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 理 新人教A版 一、選擇題 1．直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x交于A，B兩點，若|AB|＝4，則弦AB的中點到直線x＋＝0的距離等于 (　　)． A. B．2 C. D．4 解析　直線4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直線4kx－4y－k＝0過拋物線y2＝x的焦點.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，則弦AB的中點的橫坐標是，弦AB的中點到直線x＋＝0的距離是＋＝. 答案　C 2．設斜率為的直線l與橢圓＋＝1(a>b>0)交于不同的兩點，且這兩個交點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為 (　　)． A. B. C. D. 解析　由于直線與橢圓的兩交點A，B在x軸上的射影分別為左、右焦點F1，F(xiàn)2，故|AF1|＝|BF2|＝，設直線與x軸交于C點，又直線傾斜角θ的正切值為，結(jié)合圖形易得tan θ＝＝＝，故|CF1|＋|CF2|＝＝|F1F2|＝2c，整理并化簡得b2＝(a2－c2)＝ac，即(1－e2)＝e，解得e＝. 答案　C 3．拋物線y2＝2px與直線2x＋y＋a＝0交于A，B兩點，其中點A的坐標為(1,2)，設拋物線的焦點為F，則|FA|＋|FB|的值等于 (　　)． A．7 B．3 C．6 D．5 解析　點A(1,2)在拋物線y2＝2px和直線2x＋y＋a＝0上，則p＝2，a＝－4，F(xiàn)(1,0)，則B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7. 答案　A 4．設雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2＝ (　　)． A．1＋2 B．4－2 C．5－2 D．3＋2 解析　如圖，設|AF1|＝m，則|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8)a2＝4c2，∴e2＝＝5－2，故應選C. 答案　C 5．已知直線l：y＝k(x－2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，若|AF|＝2|BF|，則k的值是 (　　)． A. B. C．2 D. 解析　法一　據(jù)題意畫圖，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，BD⊥AA1. 設直線l的傾斜角為θ，|AF|＝2|BF|＝2r， 則|AA1|＝2|BB1|＝2|AD|＝2r， 所以有|AB|＝3r，|AD|＝r， 則|BD|＝2r，k＝tan θ＝tan∠BAD＝＝2. 法二　直線y＝k(x－2)恰好經(jīng)過拋物線y2＝8x的焦點F(2,0)，由可得ky2－8y－16k＝0，因為|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB.則yA＋yB＝－2yB＋yB＝，所以yB＝－，yAyB＝－16，所以－2y＝－16，即yB＝2.又k>0，故k＝2. 答案　C 6．過雙曲線－＝1(a>0)的右焦點F作一條直線，當直線斜率為2時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同交點，則雙曲線離心率的取值范圍是 (　　)． A．(，5) B．(，) 　C．(1，) D．(5,5) 解析　令b＝，c＝，則雙曲線的離心率為e＝，雙曲線的漸近線的斜率為. 據(jù)題意，2<<3，如圖所示． ∵＝， ∴2<<3， ∴5b>0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓C的方程為________． 解析　由題意，得 解得∴橢圓C的方程為＋＝1. 答案　＋＝1 9．過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左頂點A且斜率為1的直線與橢圓的另一個交點為M，與y軸的交點為B，若|AM|＝|MB|，則該橢圓的離心率為________． 解析　由題意知A點的坐標為(－a,0)，l的方程為y＝x＋a，∴B點的坐標為(0，a)，故M點的坐標為，代入橢圓方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝. 答案　 10．已知曲線－＝1(ab≠0，且a≠b)與直線x＋y－1＝0相交于P，Q兩點，且＝0(O為原點)，則－的值為________． 解析　將y＝1－x代入－＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝.＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.所以－＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以－＝2. 答案　2 三、解答題 11．在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點． (1)如果直線l過拋物線的焦點，求的值； (2)如果＝－4，證明：直線l必過一定點，并求出該定點． (1)解　由題意：拋物線焦點為(1,0)， 設l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x， 消去x得y2－4ty－4＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， ∴＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)證明　設l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x， 消去x得y2－4ty－4b＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b， ∴＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b. 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2， ∴直線l過定點(2,0)． ∴若＝－4，則直線l必過一定點． 12．給出雙曲線x2－＝1. (1)求以A(2,1)為中點的弦所在的直線方程； (2)若過點A(2,1)的直線l與所給雙曲線交于P1，P2兩點，求線段P1P2的中點P的軌跡方程； (3)過點B(1,1)能否作直線m，使得m與雙曲線交于兩點Q1，Q2，且B是Q1Q2的中點？這樣的直線m若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由． 解　(1)設弦的兩端點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則兩式相減得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 所以直線斜率k＝＝4. 故求得直線方程為4x－y－7＝0. (2)設P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 按照(1)的解法可得＝， ① 由于P1，P2，P，A四點共線， 得＝， ② 由①②可得＝，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，檢驗當x1＝x2時，x＝2，y＝0也滿足方程，故P1P2的中點P的軌跡方程是2x2－y2－4x＋y＝0. (3)假設滿足題設條件的直線m存在，按照(1)的解法可得直線m的方程為y＝2x－1. 考慮到方程組無解， 因此滿足題設條件的直線m是不存在的． 13．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1. (1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積． (2)設斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點．若l與圓x2＋y2＝1相切，求證：OP⊥OQ. (3)設橢圓C2：4x2＋y2＝1.若M、N分別是C1、C2上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值． (1)解　雙曲線C1：－y2＝1，左頂點A，漸近線方程：y＝x. 不妨取過點A與漸近線y＝x平行的直線方程為 y＝，即y＝x＋1. 解方程組得 所以所求三角形的面積為S＝|OA||y|＝. (2)證明　設直線PQ的方程是y＝x＋b. 因為直線PQ與已知圓相切，故＝1，即b2＝2. 由得x2－2bx－b2－1＝0. 設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則 又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以 ＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2 ＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0. 故OP⊥OQ. (3)證明　當直線ON垂直于x軸時， |ON|＝1，|OM|＝，則O到直線MN的距離為. 當直線ON不垂直于x軸時，設直線ON的方程為y＝kx， 則直線OM的方程為y＝－x. 由得所以|ON|2＝. 同理|OM|2＝. 設O到直線MN的距離為d， 因為(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2， 所以＝＋＝＝3，即d＝. 綜上，O到直線MN的距離是定值． 14．在圓x2＋y2＝4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段，D為垂足，點M在線段PD上，且|DP|＝|DM|，點P在圓上運動． (1)求點M的軌跡方程； (2)過定點C(－1,0)的直線與點M的軌跡交于A，B兩點，在x軸上是否存在點N，使為常數(shù)，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由． 解　(1)設P(x0，y0)，M(x，y)，則x0＝x，y0＝y(tǒng). ∵P(x0，y0)在x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4. ∴x2＋2y2＝4，即＋＝1. 點M的軌跡方程為＋＝1(x≠2)． (2)假設存在．當直線AB與x軸不垂直時， 設直線AB的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)， 聯(lián)立方程組 整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. ∴＝(x1－n，y1)(x2－n，y2) ＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2 ＝(1＋k2)＋(k2－n)＋k2＋n2 ＝＋n2 ＝＋n2 ＝(2n2＋4n－1)－. ∵是與k無關(guān)的常數(shù)，∴2n＋＝0. ∴n＝－，即N，此時＝－. 當直線AB與x軸垂直時，若n＝－，則＝－. 綜上所述，在x軸上存在定點N，使為常數(shù)．